![Questão 4: 4 - UEFS - Sendo A = { 1, 3 } e B = [-2 , 2], o gráfico cartesiano de AxB é representado por: a) 4 pontos b) 4 retas c)um retângulo d)retas paralelas a Ox *e) dois segmentos de reta](https://image.slidesharecdn.com/conjuntosautorantoniocarloscarneirobarroso-090531055318-phpapp02/85/Conjuntos-Autor-Antonio-Carlos-Carneiro-Barroso-39-320.jpg)
Conjuntos Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso
- 1. Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso 31/05/2009 Professor de Matemática do Colégio Estadual Dinah Gonçalves em Valéria Salvador Bahia Graduado pela UFBA e pós Graduado em Metodologia e Didática do Ensino Superior Veja esse e outros trabalhos em meu blog www.ensinodematemtica.blogspot.com
- 2. Conjunto: Operações com Conjuntos Conheça as principais operações com conjuntos e saiba como aplicá-las e resolver os exercícios. Nesta aula você vai estudar União de conjuntos, Interseção de conjuntos, Diferença de conjuntos, Complementar de conjuntos, Elementos do conjunto, Partição de conjuntos e muito mais
- 3. União de conjuntos: Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A c B = { x; x 0 A ou x 0 B}. Exemplo: {0,1,3} c { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B. Propriedades imediatas: a) A c A = A b) A c φ = A c) A c B = B c A (a união de conjuntos é uma operação comutativa) d) A c U = U , onde U é o conjunto universo
- 4. Interseção de conjuntos: Interseção de Conjuntos (1 ) Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A 1 B = {x; x 0 A e x 0 B}. Exemplo: {0,2,4,5} 1 { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B. Propriedades imediatas: a) A 1 A = A b) A 1 i = i c) A 1 B = B 1 A ( a interseção é uma operação comutativa) d) A 1 U = A onde U é o conjunto universo.
- 5. Importante: São importantes também as seguintes propriedades das operações com conjuntos: P1. A 1 ( B c C ) = (A 1 B) c ( A 1 C) (propriedade distributiva) P2. A c ( B 1 C ) = (A c B ) 1 ( A c C) (propriedade distributiva) P3. A 1 (A c B) = A (lei da absorção) P4. A c (A 1 B) = A (lei da absorção) Obs: Se A 1 B = φ , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos. Diferença A - B = {x ; x 0 A e x ó B}. Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. Exemplos: { 0,5,7} - {0,7,3} = {5}. {1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.
- 6. Complementar: Complementar de um conjunto Quando se estuda Operações com Conjuntos precisa-se entender a complementar de um conjunto. Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B d A , a diferença A - B chama-se, neste Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B’ .Observe que o conjunto B’ é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja: B’ = {x; x ó B}. É óbvio, então, que: a) B 1 B’ = φ b) B 1 B’ = U c) φ ’ = U d) U’ = φ_
- 7. Partes do conjunto: Partição de um conjunto Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições: 1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio. 2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio. 3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A. Exemplo: Seja A = {2, 3, 5} Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø. Assim, o conjunto das partes de A será: P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø } Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A): X = { {2}, {3,5} } Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois: a) nenhum dos elementos de X é Ø . b) {2} 1 {3, 5}ó = Ø c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A. Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A. Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, …}, {1, 3, 5, 7, …} } é uma partição do conjunto N dos números naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, …} {1, 3, 5, 7, …} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, …} U {1, 3, 5, 7, …} = N .
- 8. União: Número de elementos da união de dois conjuntos Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B). Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto. Representando o número de elementos da interseção A 1 B por n(A 1 B) e o número de elementos da união A c B por n(A c B) , podemos escrever a seguinte fórmula: n(A c B) = n(A) + n(B) - n(A c B)
- 9. Conjuntos Numéricos: Conjuntos Numéricos Aula completa de matemática sobre Conjuntos Numéricos abrangendo: Conjunto vazio, Números naturais, Sub Conjuntos, Relação de Pertinência, Conjuntos numéricos fundamentais, Conjunto dos números racionais, irracionais, intervalos numéricos, conjunto dos números reais e muito mais.
- 10. Definição: Definição de Conjunto : Conjunto é o agrupamento de elementos que possuem características semelhantes. Os Conjuntos numéricos especificamente são compostos por números. Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever: P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }
- 11. Pertinência: Relação de pertinência Sendo x um elemento do conjunto numérico A , escrevemos x 0 A , onde o símbolo 0significa "pertence a". Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y A. O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por φ . Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U. Assim é que, pode-se escrever como exemplos: i= { x; x ≠ x} e U = {x; x = x}.
- 12. Subconjunto: Subconjunto Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A d B. Notas: a) todo conjunto numérico é subconjunto de si próprio. ( A d A ) b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (id A) c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {φ , {c}, {d}, {c,d}} e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.
- 13. Conjuntos numéricos: Conjuntos numéricos fundamentais Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber: Conjunto dos números naturais N = {0,1,2,3,4,5,6,... } Conjunto dos números inteiros Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... } Obs: é evidente que N d Z.
- 14. Números racionais: Conjunto dos números racionais Q = {x; x = p/q com p 0 Z , q 0 Z e q … 0 }. Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que não existe divisão por zero! São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc. Notas: a) é evidente que N d Z d Q. b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração. Exemplo: 0,4444... = 4/9 _
- 15. Números irracionais: Conjunto dos números irracionais I = {x; x é uma dízima não periódica}. Exemplos de números irracionais: Π = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro) 2,01001000100001... (dízima não periódica) √ 3 = 1,732050807... (raiz não exata).
- 16. Os reais: Conjunto dos números reais R = { x; x é racional ou x é irracional}. Notas: a) é óbvio que N d Z d Q d R b) I d R c) I cQ = R d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese!
- 17. Intervalos: Intervalos numéricos Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto.
- 19. Exercícios: Faça os exercícios sobre conjuntos e prepare-se para as provas. Os exercícios de conjuntos irão lhe ajudar a entender a matéria e desenvolver um raciocínio lógico. As respostas para os exercícios se encontram ao final.
- 20. Questão 1: 1) USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que: a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; b) quando chove de manhã não chove à tarde; c) houve 5 tardes sem chuva; d) houve 6 manhãs sem chuva. Podemos afirmar então que n é igual a: a)7 b)8 c)9 d)10 e)111) USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que: a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; b) quando chove de manhã não chove à tarde; c) houve 5 tardes sem chuva; d) houve 6 manhãs sem chuva. Podemos afirmar então que n é igual a: a)7 b)8 c)9 d)10 e)11
- 21. Questão 2: 2) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era: I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B; II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A; III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B. Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a: a)48 b)35 c)36 d)47 e)37
- 22. Questão 3: 3) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi: a) 29 b) 24 c) 11 d) 8 e) 5
- 23. Questão 4: 4) FEI/SP - Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas: a)século XIX b)século XX c)antes de 1860 d)depois de 1830 e)nenhuma das anteriores Pode-se garantir que a resposta correta é: a)a b)b c)c d)d e)e
- 24. Questão 5: 5) - Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a: a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e)10
- 25. Questão 6: 6) - Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma ? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0
- 26. Questão 7: 7) PUC-SP - Se A = e B = { }, então: a) A 0 B b) A c B = i c) A = B d) A 1 B = B e) B d A
- 27. Questão 8: FGV-SP - Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A 1 B é 30, o número de elementos de A 1 C é 20 e o número de elementos de A 1 B 1 C é 15. Então o número de elementos de A 1 (B c C) é igual a: a)35 b)15 c)50 d)45 e)20
- 28. Questão 9: 9) Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são: a)2 ou 5 b)3 ou 6 c)1 ou 5 d)2 ou 6 e)4 ou 5 RESULTADO 1) c 2) a 3) a 4) c 5) e 6) a 7) a a 9) a
- 29. Relações Binárias: Relações Binárias PAR ORDENADO : conjunto ordenado de dois elementos, representado pelo símbolo (x;y) onde x e y são números reais, denominados respectivamente de abscissa e ordenada. Ex: Par ordenado (6; -3) : abscissa = 6 e ordenada = -3.>
- 30. Propriedades: Propriedade : dois pares ordenados são iguais , quando são respectivamente iguais as abscissas e as ordenadas. Em termos simbólicos: (x;y) = (w;z) Û x = w e y = z Ex: (2x - 4; y) = (- x; 7) >Û 2x - 4 = - x e y = 7 <\ x = 4/3 e y = 7. >
- 31. Plano Cartesiano: PLANO CARTESIANO : também conhecido como sistema de coordenadas retangulares ; Trata-se de um conceito introduzido no século XVII pelo matemático e filósofo francês René Descartes, para representar graficamente o par ordenado (xo;yo). Consiste basicamente de dois eixos orientados que se interceptam segundo um angulo reto, num ponto denominado origem. O eixo horizontal é denominado eixo das abscissas e o eixo vertical é denominado eixo das ordenadas. Denominamos o ponto O de origem do plano cartesiano, sendo nulas a sua abscissa e a sua ordenada, ou seja, O(0;0).
- 32. AxB: PRODUTO CARTESIANO: Dados dois conjuntos A e B , definimos o produto cartesiano de A por B , que indicamos pelo símbolo AxB , ao conjunto de todos os pares ordenados (x;y) onde xÎ A e y Î B. Em termos simbólicos, podemos escrever: AxB = { (x;y); x Î A e y Î B} Ex: {0;2;3} x {5; 7} = { (0;5) , (0; 7) , (2;5) , (2;7) , (3;5}, (3;7) }
- 33. Observações: Obs: Sendo A e B conjuntos quaisquer, temos: a) o produto cartesiano de um conjunto A por ele mesmo, ou seja AxA é representado por A2 . Assim , podemos escrever: A x A = A2 . b) A x B ¹ B x A (o produto cartesiano é uma operação não comutativa) c) A x f = f d) n(A x B) = n(A) . n(B) , onde n(A) e n(B) representam os números de elementos de A e de B, respectivamente
- 34. Relações: RELAÇÃO BINÁRIA Dados dois conjuntos A e B , chama-se relação de A em B , a qualquer subconjunto de AxB. Em termos simbólicos, sendo  uma relação de A em B , podemos escrever:  = { (x;y) Î AxB ; x  y } Ex:  = { (0;3) , (2;5) , (3;0) } é uma relação de A = { 0;2;3;4} em B = {3;5;0}.
- 35. Notas: 1) ÂÌ AxB 2) o conjunto A é o conjunto de partida e B o conjunto de chegada ou contradomínio. 3) se (x;y) Π, então dizemos que y é imagem de x , pela relação  . 4) a expressão x y equivale a dizer que (x;y) Π. 5) dada uma relação  = { (x;y) Î AxB ; x  y } , o conjunto dos valores de x chama- se domínio da relação e o conjunto dos valores de y chama-se conjunto imagem da relação. 6 - o número de relações possíveis de A em B é dado por 2n(A).n(B) . 7 - Dada uma relação  = { (x,y) Î AxB ; x  y } , define-se a relação inversa  -1 como sendo:  -1 = { (y,x) Î BxA ; y  x }. Ex: F = { (0,2) , (3.5) , (4,8) , ( 5,5) } F-1 = { (2,0) , (5,3) , (8,4) , (5,5) }.
- 36. Resolva questão 1: 1 - Sendo A = {x Î N; 1 < x < 4} e B = {x Î Z; 5 < x < 10}, o conjunto imagem da relação S = {(x,y) Î AXB; x + y = 9} é: a) {4,5,6} *b) {6,7} c) {5,6,7} d) {7} e) {1}
- 37. Questão 2: 2 - Sendo n(A) = 2 e n(B) = 3, então o número de elementos de p(A) X p(B) é: a)4 b)8 c)16 *d)32 e)64
- 38. Questão 3: 3 - UFBA - Sejam: A = { 1 , 5 } ; B = { -1 , 0 , 1 }; R = {(x , y) Î AxB } e F = conjunto dos pontos do plano, simétricos aos pontos de R em relação à primeira bissetriz. Dos conjuntos e relações dados, pode-se afirmar: I) A imagem da relação inversa de R é o conjunto A. II) O domínio de F é o conjunto B. III) R tem 5 elementos. IV) Em F há pontos pertencentes ao eixo Ox. V) Existe um único ponto de R que pertence à primeira bissetriz. São verdadeiras: a) todas b) nenhuma c) III e IV *d) I, II e V e)somente I
- 39. Questão 4: 4 - UEFS - Sendo A = { 1, 3 } e B = [-2 , 2], o gráfico cartesiano de AxB é representado por: a) 4 pontos b) 4 retas c)um retângulo d)retas paralelas a Ox *e) dois segmentos de reta
- 40. Questão 5: 5 - Sabendo-se que n(AxB) = 48 , n(BxC) = 72 , n(p(A)) = 256, podemos afirmar que n(AxC) é: a)64 b)72 *c)96 d)128 e)192
- 41. Questão 6: 6 - UFCE - Dado um conjunto C , denotemos por n(p(C)) o número de elementos do conjunto das partes de C. Sejam A e B dois conjuntos não vazios, tais que n(p(AxB)) = 128 e n(B) > n(A). Calcule n(p(B)) / n(p(A)). Resp: 64