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 Critérios de Paralelismo e
 Perpendicularidade entre
  rectas e planos e entre
           planos




Trabalho realizado por: Inês Gonçalves nº13, Joana Ferreira nº15, Pedro
Ribeiro nº23, Sara Candeias nº24

Ano/Turma: 9ºA

Professor: Francisco Louro

Ano Lectivo: 2010/2011

Disciplina: Matemática




                                                                          0
Índice
Introdução …………………………………………………………….. Página 2

O que é uma recta? ……………………………………………………. Página 3

O que é um plano? ...…………………………………………. ………. Página 5

O que significa paralelismo? ………………………………………….. Página 6

O que significa perpendicularidade? ………….……………………… Página 7

Critérios de paralelismo:

      - Entre rectas e planos ….………...…………………………….. Página 8

      - Entre planos ……...……………………………………………. Página 9

Critérios de perpendicularidade:

      - Entre rectas e planos ..………………………………...……... Página 10

      - Entre planos ……..……………………………………………. Página 11

Conclusão ……………………………………………………………... Página 12

Bibliografia ……………………………………………………………. Página 13




                                                             1
Introdução
     Este trabalho foi realizado no âmbito da disciplina de Matemática, a
pedido, do professor Francisco Louro.

       Ao realizarmos este trabalho pretendemos enriquecer os nossos
conhecimentos matemáticos para que num futuro próximo nos possa vir a
ser útil.

      A nossa intuição leva-nos, muitas vezes, a afirmar que dois planos são
paralelos ou que uma recta é perpendicular a um plano.

     Como garantir que a nossa intuição está correcta?

     Utilizando critérios de paralelismo e perpendicularidade.




                                                                           2
O que é uma recta?
       Uma recta é um conjunto de pontos todos na mesma direcção, ou uma
 linha, que não tem princípio ou fim. É representada ou por uma letra
 minúscula (neste caso, r), ou por dois dos seus pontos (AB).


                                                               Complanares
                                                             (Quando pertencem ao
                                                                 mesmo plano)

                      Rectas

                                                            Não Complanares
                                                            (Quando não pertencem
                                                               ao mesmo plano)


      Paralelas
(Quando não têm nenhum          Concorrentes
 ponto em comum, tendo         (Quando têm um só
sempre a mesma distância        ponto em comum)
        entre si)



 Exemplos:



 São paralelas as rectas m e n; perpendiculares as rectas l e m. ->




                                                                                    3
Podemos observar rectas em praticamente todas as situações do
quotidiano:



                               Em qualquer um dos degraus destas
                          escadas podemos observar rectas, como
                          também o podemos fazer no chão ou até
                          mesmo no corrimão.




                                          Na cozinha, tanto nos
                                    armários, como nas bancadas, e
                                    até nas prateleiras.




                                          No parque infantil, tanto no
                                    escorrega, nos baloiços, no
                                    caixote do lixo… em tudo,
                                    praticamente.




                                                                     4
O que é um plano?
       Um plano é um objecto geométrico infinito a duas dimensões.
Representa-se normalmente por um paralelogramo e identifica-se por uma
letra grega ou por três dos seus pontos não colineares.




Exemplos de planos na vida real:




                                           Numa baliza simples de
                                      futebol, podemos observar três
                                      planos, onde dois são paralelos.




                                                                     5
O que significa paralelismo?
     Paralelismo é uma noção que indica se dois objectos (rectas ou planos)
estão na mesma direcção, com a mesma distância entre si (em qualquer
ponto dos seus pontos), sem nunca se tocarem.

     Exemplos de paralelismo na vida real:



                                         - Estes lápis de cor estão colocado
                                   de forma a ficarem paralelos uns aos
                                   outros (representa rectas paralelas);




                                          - Nesta vedação, por exemplo,
                                   verificamos que todos os barrotes
                                   verticais estão paralelos uns aos outros,
                                   e que ambas as tábuas horizontais
                                   também o estão. (de novo, representa
                                   rectas);




                                                - Neste quarto podemos
                                         verificar que as paredes são
                                         paralelas duas a duas, estando,
                                         neste caso, representadas por
                                         cores;

                                                                               6
O que significa perpendicularidade?
     Perpendicularidade é uma noção que indica se dois objectos (rectas ou
planos) fazem um ângulo de 90º entre si.

      Duas rectas podem ser perpendiculares, tal como dois planos o podem
ser, mas pode uma recta ser perpendicular a um plano? Sim, pode.




      Neste caso são duas rectas (s e r) perpendiculares, ou no caso da
janela, várias (10 rectas) perpendiculares.




Dois planos (α e β) perpendiculares; dois livros perpendiculares.




Uma recta perpendicular a um plano; uma vara perpendicular à água.


                                                                          7
Critérios de paralelismo
      É fácil observar e verificar que duas rectas ou dois planos são
paralelos, mas para o justificar é necessário enunciar teoremas a que se
chamam critérios de paralelismo (entre rectas e planos, obviamente).




- Entre rectas e planos

                  a
                                          Se existir num plano uma recta
                                   paralela a uma recta dada complanar (ou
                  b                seja, que não está contida nesse plano),
                                   a recta e o plano são paralelos.




      No caso de uma baliza,                                       a
acontece isso mesmo, tendo em
atenção a recta a, e a recta b que
está contida no plano α, o que torna
a recta a paralela ao plano α.


                                            α                  b




                                                                          8
- Entre planos



                        a
                A                          Se duas rectas concorrentes (a e
                    b
                                     b) de um plano (α) são paralelas a outro
                                     plano (β), então os planos são paralelos.




                                                                                 a
      No caso de uma simples     α
sala de aula podemos verificar
que o tecto e o chão (dois
 planos, portanto, α e β) são
paralelos.

                                                                        b


                                 β




                                                                             9
Critérios de perpendicularidade
     É igualmente fácil observar que duas rectas ou dois planos são
perpendiculares, mas, mais uma vez, para o justificar é necessário enunciar
os critérios de perpendicularidade (de novo entre rectas e planos,
obviamente).




- Entre rectas e planos


                                         Se uma recta (r) é perpendicular a
                                   duas rectas concorrentes (a e b) de um
                                   plano (α), então a recta (r) é
                                   perpendicular ao plano.
                  r
                  a




                                                           r
      Considerando a árvore a
                                                           a
recta perpendicular (r) às duas
rectas concorrentes, esta acaba
 por ser perpendicular ao plano
(chão, representado por α).


                                                               a
                                          α                     b




                                                                          10
- Entre planos



                                       Se num plano (α) existe um recta
                                  perpendicular (t) a outro plano (β),
                                  então os planos são perpendiculares.
                t
                a




                                               α
    α                        β
                                                          β




     Denominando a parede lateral da casa como plano α e a parede frontal
como plano β, temos assim dois planos perpendiculares.




                                                                          11
Conclusão
      Através da realização deste trabalho pudemos compreender uma das
bases mais importantes para construção da geometria.

      Um critério é uma afirmação que necessita de demonstração para ser
considerada verdadeira e, com estes simples conhecimentos aqui explícitos,
conseguimos confirmar e provar o paralelismo e a perpendicularidade de
objectos, com uma certa facilidade.




                                                                         12
Bibliografia
      Para a realização destes trabalhos recorremos às seguintes fontes:



I – Manuais:

     - Neves, Maria Augusta Ferreira; Guerreiro, Luís; Neves, Armando
“Matemática”, 2ª Parte 9ºano, 1ª edição, Porto Editora, 2009.



II – Internet:

      - http://geomdesc.no.sapo.pt/pag6.htm

      - http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm22/representa.htm

      - http://www.google.pt




                                                                           13

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Critérios de paralelismo e perpendicularidade

  • 1. Escola dos 2ºe 3ºciclos D. João I da Baixa da Banheira Critérios de Paralelismo e Perpendicularidade entre rectas e planos e entre planos Trabalho realizado por: Inês Gonçalves nº13, Joana Ferreira nº15, Pedro Ribeiro nº23, Sara Candeias nº24 Ano/Turma: 9ºA Professor: Francisco Louro Ano Lectivo: 2010/2011 Disciplina: Matemática 0
  • 2. Índice Introdução …………………………………………………………….. Página 2 O que é uma recta? ……………………………………………………. Página 3 O que é um plano? ...…………………………………………. ………. Página 5 O que significa paralelismo? ………………………………………….. Página 6 O que significa perpendicularidade? ………….……………………… Página 7 Critérios de paralelismo: - Entre rectas e planos ….………...…………………………….. Página 8 - Entre planos ……...……………………………………………. Página 9 Critérios de perpendicularidade: - Entre rectas e planos ..………………………………...……... Página 10 - Entre planos ……..……………………………………………. Página 11 Conclusão ……………………………………………………………... Página 12 Bibliografia ……………………………………………………………. Página 13 1
  • 3. Introdução Este trabalho foi realizado no âmbito da disciplina de Matemática, a pedido, do professor Francisco Louro. Ao realizarmos este trabalho pretendemos enriquecer os nossos conhecimentos matemáticos para que num futuro próximo nos possa vir a ser útil. A nossa intuição leva-nos, muitas vezes, a afirmar que dois planos são paralelos ou que uma recta é perpendicular a um plano. Como garantir que a nossa intuição está correcta? Utilizando critérios de paralelismo e perpendicularidade. 2
  • 4. O que é uma recta? Uma recta é um conjunto de pontos todos na mesma direcção, ou uma linha, que não tem princípio ou fim. É representada ou por uma letra minúscula (neste caso, r), ou por dois dos seus pontos (AB). Complanares (Quando pertencem ao mesmo plano) Rectas Não Complanares (Quando não pertencem ao mesmo plano) Paralelas (Quando não têm nenhum Concorrentes ponto em comum, tendo (Quando têm um só sempre a mesma distância ponto em comum) entre si) Exemplos: São paralelas as rectas m e n; perpendiculares as rectas l e m. -> 3
  • 5. Podemos observar rectas em praticamente todas as situações do quotidiano: Em qualquer um dos degraus destas escadas podemos observar rectas, como também o podemos fazer no chão ou até mesmo no corrimão. Na cozinha, tanto nos armários, como nas bancadas, e até nas prateleiras. No parque infantil, tanto no escorrega, nos baloiços, no caixote do lixo… em tudo, praticamente. 4
  • 6. O que é um plano? Um plano é um objecto geométrico infinito a duas dimensões. Representa-se normalmente por um paralelogramo e identifica-se por uma letra grega ou por três dos seus pontos não colineares. Exemplos de planos na vida real: Numa baliza simples de futebol, podemos observar três planos, onde dois são paralelos. 5
  • 7. O que significa paralelismo? Paralelismo é uma noção que indica se dois objectos (rectas ou planos) estão na mesma direcção, com a mesma distância entre si (em qualquer ponto dos seus pontos), sem nunca se tocarem. Exemplos de paralelismo na vida real: - Estes lápis de cor estão colocado de forma a ficarem paralelos uns aos outros (representa rectas paralelas); - Nesta vedação, por exemplo, verificamos que todos os barrotes verticais estão paralelos uns aos outros, e que ambas as tábuas horizontais também o estão. (de novo, representa rectas); - Neste quarto podemos verificar que as paredes são paralelas duas a duas, estando, neste caso, representadas por cores; 6
  • 8. O que significa perpendicularidade? Perpendicularidade é uma noção que indica se dois objectos (rectas ou planos) fazem um ângulo de 90º entre si. Duas rectas podem ser perpendiculares, tal como dois planos o podem ser, mas pode uma recta ser perpendicular a um plano? Sim, pode. Neste caso são duas rectas (s e r) perpendiculares, ou no caso da janela, várias (10 rectas) perpendiculares. Dois planos (α e β) perpendiculares; dois livros perpendiculares. Uma recta perpendicular a um plano; uma vara perpendicular à água. 7
  • 9. Critérios de paralelismo É fácil observar e verificar que duas rectas ou dois planos são paralelos, mas para o justificar é necessário enunciar teoremas a que se chamam critérios de paralelismo (entre rectas e planos, obviamente). - Entre rectas e planos a Se existir num plano uma recta paralela a uma recta dada complanar (ou b seja, que não está contida nesse plano), a recta e o plano são paralelos. No caso de uma baliza, a acontece isso mesmo, tendo em atenção a recta a, e a recta b que está contida no plano α, o que torna a recta a paralela ao plano α. α b 8
  • 10. - Entre planos a A Se duas rectas concorrentes (a e b b) de um plano (α) são paralelas a outro plano (β), então os planos são paralelos. a No caso de uma simples α sala de aula podemos verificar que o tecto e o chão (dois planos, portanto, α e β) são paralelos. b β 9
  • 11. Critérios de perpendicularidade É igualmente fácil observar que duas rectas ou dois planos são perpendiculares, mas, mais uma vez, para o justificar é necessário enunciar os critérios de perpendicularidade (de novo entre rectas e planos, obviamente). - Entre rectas e planos Se uma recta (r) é perpendicular a duas rectas concorrentes (a e b) de um plano (α), então a recta (r) é perpendicular ao plano. r a r Considerando a árvore a a recta perpendicular (r) às duas rectas concorrentes, esta acaba por ser perpendicular ao plano (chão, representado por α). a α b 10
  • 12. - Entre planos Se num plano (α) existe um recta perpendicular (t) a outro plano (β), então os planos são perpendiculares. t a α α β β Denominando a parede lateral da casa como plano α e a parede frontal como plano β, temos assim dois planos perpendiculares. 11
  • 13. Conclusão Através da realização deste trabalho pudemos compreender uma das bases mais importantes para construção da geometria. Um critério é uma afirmação que necessita de demonstração para ser considerada verdadeira e, com estes simples conhecimentos aqui explícitos, conseguimos confirmar e provar o paralelismo e a perpendicularidade de objectos, com uma certa facilidade. 12
  • 14. Bibliografia Para a realização destes trabalhos recorremos às seguintes fontes: I – Manuais: - Neves, Maria Augusta Ferreira; Guerreiro, Luís; Neves, Armando “Matemática”, 2ª Parte 9ºano, 1ª edição, Porto Editora, 2009. II – Internet: - http://geomdesc.no.sapo.pt/pag6.htm - http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm22/representa.htm - http://www.google.pt 13