Distribuição binomial, poisson e hipergeométrica - Estatística I

CURSO DE ESTATÍSTICA I
Ricardo Bruno N. dos Santos
FACECON-PPGE (UFPA)

Distribuição Binomial,
Poisson
e
Hipergeométrica

DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS: Imagine uma situação na qual
somente podem ocorrer dois possíveis resultados, “sucesso” e
“fracasso”. Veja alguns exemplos:
- uma venda é efetuada ou não em uma ligação de call center;
- um contribuinte pode ser adimplente ou inadimplente;
- uma guia recolhida pode ter seu preenchimento ocorrido de
forma correta ou incorreta; e
- um consumidor que entra em uma loja pode comprarou não
comprar um produto.

Essas situações correspondem à Distribuição de Bernoulli. Ou seja,
se associarmos uma variável aleatória x aos possíveis resultados do
experimento de forma que X=1 se o resultado for “sucesso” e X=0 se
o resultado for “fracasso”, então, a variável aleatória X, assim
definida, tem Distribuição de Bernoulli, com p sendo a probabilidade
de ocorrer “sucesso” e q = (1-p) a probabilidade de ocorrer
“fracasso”.
Ampliando a discussão, é importante frisar que a função de
probabilidade da Distribuição de Bernoulli é dada por:
𝑷 𝑿 = 𝒙 =
𝑝 para 𝑥 = 1
𝑞 = 1 − 𝑝 para 𝑥 = 0
0 para 𝑥 diferente de 0 ou 1

Dessa forma, a média e a variância serão obtidas por:
Média = 𝑝 (onde p corresponde à probabilidade de sucesso).
Variância = 𝑝 × 𝑞 (onde q corresponde à probabilidade de
fracasso).
Essa obtenção da estimativa de média e desvio padrão é
importante, pois, tais medidas, podem ser usadas para caracterizar a
situação e também para a definição da média e do desvio padrão da
distribuição binomial que será vista posteriormente.

Contextualizando a Distribuição de Bernoulli, tem-se a seguinte
situação: a experiência tem mostrado que até fevereiro o motorista
que é parado em uma blitz tem 60% de chance de estar adimplente
em relação ao Imposto sobre a Propriedade de Veículos
Automotores (IPVA). Temos, portanto, uma probabilidade de sucesso
(o motorista não estar devendo o IPVA) de 0,6 e uma probabilidade
de estar devendo de 0,4 (vem da diferença 𝒒 = 𝟏 – 𝟎, 𝟔).

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Para que uma situação possa se enquadrar em uma distribuição
binomial, deve atender as seguintes condições:
- são realizadas n repetições (tentativas) independentes;
- cada tentativa é uma prova de Bernoulli (somente podem ocorrer
dois possíveis resultados); e
- a probabilidade 𝑝 de sucesso em cada prova é constante.
Se uma situação atende a todas as condições anteriores,
então a variável aleatória 𝑋 = número de sucessos obtidos nas 𝑛
tentativas terá uma distribuição binomial com 𝑛 tentativas e 𝑝
probabilidades de sucesso.

O problema da loja de Roupas do Martin
Considere as decisões de compra dos próximos três clientes que
entram na loja de roupas do Martin. Com base em experiências
passadas, o gerente da loja estima que a probabilidade de que
qualquer um dos clientes comprará é de 0,30. Qual é a probabilidade
de que dois primeiros dos próximos três clientes realizarão a
compra?

Usando um diagrama de Árvore para identificar tal situação
temos:

Verificando as quatro exigências para um experimento binomial,
nota-se que:
1 – São realizadas 3 repetições (tentativas) independentes;
2 – Cada uma das tentativas é uma prova de Bernoulli compra
(sucesso) ou o cliente não faz a compra (fracasso);
3 – A probabilidade p de sucesso em cada prova é constante, pois
𝑝 = 0,30 e 1 − 𝑝 = 0,70 é a mesma para todos os clientes.
O número de resultados experimentais resultado em exatamente x
sucessos e n ensaios pode ser calculado a partir da combinação,
onde (para 3 sucesso tem-se):
𝐶 𝑥
𝑛
=
𝑛
𝑥
=
𝑛!
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !
=
3!
3! 3 − 3 !
=
3 2 1
3 2 1 1
=
6
6
= 1

A probabilidade de compra pelos primeiros dois clientes e de não-
compra pelo terceiro é dada por:
𝑝𝑝 1 − 𝑝
𝑝𝑝 1 − 𝑝 = 0,30 0,30 0,70 = 0,063
Duas outras sequências de resultados seguem-se em dois sucessos
e em um fracasso. As probabilidades para as três sequências,
envolvendo dois sucessos, são mostradas abaixo:

Simbolicamente, temos: 𝑋 ~ 𝐵 (𝑛, 𝑝) com a interpretação:
A variável aleatória 𝑋 tem distribuição binomial (𝐵) com 𝑛 ensaios
e uma probabilidade p de sucesso (em cada ensaio).
A função binomial de probabilidade é expressa como:
𝑷 𝑿 = 𝒙 = 𝑪 𝒙
𝒏
𝒑 𝒙
𝟏 − 𝒑 𝒏−𝒙
𝑷(𝑿 = 𝒙) – é a probabilidade de 𝑥 sucessos em 𝑛 ensaios;
𝒏 – é o número de ensaios;
𝑝 é probabilidade de “sucesso” em cada ensaio;
𝑞 = 1 − 𝑝 é a probabilidade de “fracasso” em cada ensaio;
𝐶 𝑥
𝑛 =
𝑛
𝑥
=
𝑛!
𝑥! 𝑛−𝑥 !
- combinação de 𝑛 valores tomados de 𝑥 a 𝑥.

Fazendo o gráfico da probabilidade contra o número de ensaios
tem-se:

Faça a aplicação aumentando no R o número de ensaios, o que
acontece?
A programação no R segue abaixo:
bino < - dbinom(0:3, 3, 0.3) # valores das probabilidades
bino # expõe todas os resultados possíveis da probabilidade
plot (0:3, #intervalo desejado
bino, #valores de probabilidade
type=“h”, # traços do eixo x
xlab=“valores de x”, #Nomenclatura do eixo de x
ylab=“prob. X”, #Texto do eixo de y
main=“Distr. Binomial de x) #Título do gráfico

A média e variância para a distribuição binomial podem ser
calculadas da seguinte forma:
Média = μ = 𝑛𝑝
Variância= 𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝜎2 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
Para o problema teríamos:
𝜇 = 3 0,3 = 0,9
𝜎2 = 3 0,3 0,7 = 0,63
𝜎 = 𝜎2 = 0,79
No próximo slide temos a tabela da binomial, localize a
probabilidade para n=10, x=3, p=0,4

Tabela da Binomial (Localizar n=10, x=3, p=0,4)

Mais um exemplo: Em uma determinada repartição pública, 10% das guias
preenchidas estão incorretas. Essas guias correspondem a uma liberação na qual
cinco guias devem estar preenchidas conjuntamente. Considere que cada guia tem
a mesma probabilidade de ser preenchida incorretamente (como se houvesse
repetição no experimento de retirar guias).
a) Qual a probabilidade de haver exatamente três guias incorretas nas cinco guias
para liberação?
𝑃 𝑋 = 3 = 𝐶5
3
0,1 3 0,9 2 = 0,0081
b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais guias incorretas nas cinco guias
para liberação?
𝑃 𝑋 ≥ 2 = 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 3 + 𝑃 𝑋 = 4 + 𝑃 𝑋 = 5
= 1 − 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1
= 1 − 𝐶0
5
0,1 0
0,9 5
+ 𝐶1
5
0,1 1
0,9 4
= 1 − 0,5905 + 0,3281 = 0,0815
c) Qual a probabilidade de um conjunto de cinco guias não apresentar nenhuma
guia incorreta?
𝑃 𝑋 = 0 = 𝐶0
5
0,1 0 0,9 5 = 0,5905

DISTRIBUIÇÃO POISSON
Você pode empregar a Distribuição de Poisson em situações nas
quais não se está interessado no número de sucessos obtidos em n
tentativas, como ocorre no caso da distribuição binomial, entretanto,
esse número de sucessos deve estar dentro de um intervalo
contínuo, ou seja, o número de sucessos ocorridos durante um
intervalo contínuo, que pode ser um intervalo de tempo, espaço etc.
Imagine que você queira estudar o número de suicídios ocorridos
em uma cidade durante um ano ou o número de acidentes
automobilísticos ocorridos em uma rodovia em um mês ou o
número de defeitos encontrados em um rolo de arame ovalado de
500m. Essas situações são exemplos daquelas que se enquadram na
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON.

Note que nos exemplos anteriores não há como você determinar a
probabilidade de ocorrência de um sucesso, mas sim a frequência
média de sua ocorrência, como dois suicídios por ano, que
denominaremos .
Em uma situação com essas características, a variável aleatória
𝑋 = número de sucessos em um intervalo contínuo, terá uma
Distribuição Poisson, com  (frequência média de sucesso).
Simbolicamente, podemos utilizar a notação 𝑿 ~ 𝑷().
Assim:
A variável aleatória 𝑋 tem uma Distribuição de Poisson (𝑃) com
uma frequência média de sucesso .

A função de probabilidade da Distribuição de Poisson será dada
por meio da seguinte expressão:
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑒−𝜇 𝜇 𝑥
𝑥!
Lembrando que:
𝑃 𝑋 = 𝑥 - Probabilidade de 𝑥 ocorrências em um intervalo
e =2,7182 (base dos logaritmos neperianos); e
 corresponde a frequência média de sucesso no intervalo contínuo
que se deseja calcular a probabilidade.

Exemplo: A análise dos dados dos últimos anos de uma empresa
de energia elétrica forneceu o valor médio de um blecaute por ano.
Pense na probabilidade de isso ocorrer no próximo ano:
a) Nenhum blecaute.
b) De 2 a 4 blecautes.
c) No máximo 2 blecautes.
Observe que o exemplo afirma que a cada ano acontece em média
um blecaute, ou seja, o número de sucesso ocorrido em um
intervalo contínuo. Verificamos que a variável tem Distribuição
Poisson:
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑒−𝜇 𝜇 𝑥
𝑥!

Veja que aqui não é necessário fazer regra de três, pois as
perguntas são no intervalo de um ano. Então:  = 1
𝑎) 𝑃 𝑥 = 0 =
𝑒−1 1 0
0!
=
0,3679 1
1
= 0,3679
𝑏) 𝑃 𝑥 = 2 + 𝑃 𝑥 = 3 + 𝑃 𝑥 = 4
=
𝑒−1 1 2
2!
+
𝑒−1 1 3
3!
+
𝑒−1 1 4
4!
= 0,1839 + 0,061 + 0,015
= 0,2599

𝑐) como já temos os valores de 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = 2 basta calcular o
valor para 𝑥 = 1
𝑃 𝑥 = 1 =
𝑒−1 1 1
1!
= 0,3679
𝑃 𝑥 ≤ 2 = 𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃 𝑥 = 1 + 𝑃 𝑥 = 2
= 0,3679 + 0,3679 + 0,1839
= 0,9197
Vejamos a mesma aplicação no R
Vamos usar a função dpois()

Uma característica da Distribuição de Poisson é que as estatísticas
da distribuição (média e variância) apresentam o mesmo valor, ou
seja, são iguais a  . Então, teremos:
𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝜇
No próximo Slide temos a apresentação da Tabela de Poisson,
onde está destacada a probabilidade para 𝜇 = 10, 𝑥 = 5

DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
A DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA é uma distribuição de
probabilidade discreta que descreve a probabilidade de se
retirar 𝑥 elementos do tipo 𝐴 numa sequência de 𝑛 extrações de
uma população finita de tamanho 𝑁, com 𝑟 elementos do tipo 𝐴 e
𝑁 − 𝑟 elementos do tipo 𝐵, sem reposição.
Seja um conjunto com 𝑁 elementos tal que existem 𝑟 elementos
do tipo 𝐴 e 𝑁 − 𝑟 elementos do tipo 𝐵. Um conjunto de 𝑛 elementos
é selecionado, aleatoriamente e sem reposição, do conjunto
de 𝑁 elementos. A variável aleatória 𝑋 denota o número de
elementos tipo 𝐴. Então, 𝑋 tem distribuição hipergeométrica e

𝑃 𝑋 = 𝑥|𝑁, 𝑟, 𝑛 =
𝑟
𝑥
𝑁−𝑟
𝑛−𝑥
𝑁
𝑛
=
𝐶 𝑥
𝑟 𝐶 𝑛−𝑥
𝑁−𝑟
𝐶 𝑛
𝑁 ,
𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑟
𝑃 𝑋 = 𝑥|𝑁, 𝑟, 𝑛 - Probabilidade de 𝑥 sucessos em n ensaios;
𝑛 – Número de ensaios;
𝑁 – número de elementos na população;
𝑟 – Número de elementos na população rotulados de sucesso.

Um jogo de loteria consiste em selecionar seis dezenas do
conjunto de cem dezenas de 00 a 99, com uma bola para cada
dezena e sem reposição. Num volante (cartão aposta) o jogador
pode escolher de 6 a 12 dezenas. Qual é a probabilidade de acertar-
se a quina (5 dezenas) marcando-se 10 dezenas no volante?
N: total de dezenas, N = 100
n: total de dezenas sorteadas/escolhidas pelo jogador), n = 10
r: total de dezenas premiadas, r = 6
X: total de sucessos, queremos X = 5
𝑃 𝑋 = 5 100,6,10 =
𝐶5
6
𝐶10−5
100−6
𝐶10
100 =
252 × 90
1.192.052.400
= 0,000019

Com relação a média e a variância da mesma temos:
𝜇 = 𝑛
𝑟
𝑁
𝜎2 =
𝑁−𝑛
𝑁−1
𝑛
𝑟
𝑁
1 −
𝑟
𝑁

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