Equações literais

Observa as equações seguintes:

3x + 7 y = 1
3x + 7 z = y
3x + 7 = 0
As equações 1 e 2 são equações literais, enquanto que, a equação 3 não é
uma equação literal.

Então, qual será a definição de equação literal?

Equações literais – são equações que têm mais do que uma variável, isto é,
pelo menos 2 incógnitas.

Exemplos de equações literais:

•A equação y = 6 x + 2 que representa uma reta não vertical (função afim)

•A equação y = 6x que representa uma reta que passa na origem
do referencial (função linear).
(equações do 1.º grau com duas incógnitas)
Geogebra
Quantas soluções têm?

•As fórmulas: b×h ( B + b) × h
A = l2 A= A=
2 2
que representam, respetivamente, as áreas do quadrado, do triângulo e
do trapézio.

• A equação da relatividade E = mc2.

•A fórmula do teorema de Pitágoras a = b + c
2 2 2

Como resolver equações literais?

As regras para resolver equações, também se aplicam à resolução de uma
equação literal, em ordem a qualquer uma das letras que nela figuram.

Exemplo I:

Observa a figura:
Perímetro 12 cm y
A figura sugere a seguinte equação,

2 x + 2 y = 12 x
Como a equação tem duas variáveis x e y, podemos resolvê-la em ordem a
x ou em ordem a y, isto é: Nota:
Quando uma letra é
2 x + 2 y = 12 ⇔ a incógnita, as
outras letras
⇔ 2 x = 12 − 2 y ⇔ funcionam como se
fossem números.
12 − 2 y
⇔x= ⇔
2
⇔ x = 6− y Resolvida em ordem a x

Nota: Diz-se que a equação está resolvida em ordem a x porque a variável x está isolada
num dos membros da equação, neste caso no 1.º membro.

y 2 x + 2 y = 12 ⇔
Perímetro 12 cm
⇔ 2 y = 12 − 2 x ⇔
x 12 − 2 x
⇔y= ⇔
2
Resolvida em ordem a y. ⇔ y = 6− x

Qual o interesse de resolver uma equação em ordem a uma das variáveis?

Sabendo que a largura, y, do rectângulo é 2, qual é o comprimento?

Ora, aqui interessa resolver equação em ordem a x (é a incógnita, o valor desconhecido)
Assim, é muito fácil dar a resposta.
x = 6− y O comprimento é 4.
x = 6−2 ⇔ x = 4

Mas, se a pergunta fosse:

Sabendo que o comprimento, x , do rectângulo é 3, qual é a largura?
Neste caso já interessava resolver a equação em ordem a y.

y = 6− x
y = 6−3 ⇔ y = 3
Se se pretende determinar o comprimento do rectângulo, então, interessa
resolver a equação em ordem a x. Por outro lado, se se quisesse saber a
sua largura, neste caso, já interessava resolver a equação em ordem a y.

Conclusão:
Uma equação literal resolve-se em ordem a uma das letras (variável)
que se considera a incógnita (valor desconhecido). As outras letras
funcionam como números (valores dados).
As regras já conhecidas para resolver equações são também aplicáveis
na resolução de equações literais.

Assim, a equação tem uma
A=100 m2 l infinidade de soluções.
c
c = 100 → l = 1 c × l = 100 mas,

c = 50 → l = 2 c × l = 100 mas,

c = 25 → l = 4 c × l = 100 mas,

c = 20 → l = 5 c × l = 100 mas,

c = 12,5 → l = 8 c × l = 100 …

Equações do 1.º grau com duas incógnitas.

ax+by=c; a, b e c
As soluções desta equação são, geralmente, pares ordenados de
números.

x+2y=9 S=(1,4) Uma solução

S=(0, 9/2) Outra solução

Quantas soluções têm?

Estas equações têm uma infinidade de soluções ou nenhuma (no caso de a=0,

b=0 e c ). Cuidado:
No contexto de
Relacionar com as funções afins, reta, problemas nem sempre
todos os pontos que estão sobre a todas as soluções
reta são soluções da equação. servem. Dar ex.

Exemplo II

A equação E=mc2 em que:
E- energia
m- quantidade de matéria
c- velocidade da luz

Descoberta de Einstein apontava para a possibilidade de se obterem grandes
quantidades de energia a partir de pequenas quantidades de matéria. A bomba
atómica é um dos frutos desta equação.

Resolve a equação em ordem a m e depois em ordem a c.
E
E = mc ⇔
2
E = mc ⇔ c = ⇔
2 2

m
E mc 2 E
⇔ 2 = 2 ⇔m= 2 E
c c c ⇔c=±
m

Resolvida em ordem a m.
Resolvida em ordem a c.

Exemplo III

A fórmula V=c.l.h serve para determinar o volume de uma caixa de cereais.

Resolve a equação em ordem a c.

Neste caso, c é a incógnita.

Para isolar c divide-se ambos os membros por lh e depois simplifica-se.

V c.l.h
= ⇔
lh lh
⇔ c =V
lh

Exemplo IV

Resolve a equação em ordem a h.

Neste caso, a incógnita é a letra h, as outras letras funcionam como se fossem
números.

A=
( B + b) × h
A área de um trapézio é dada pela fórmula
2

B+b 2A
A= × h ⇔ 2 A = ( B + b) h ⇔ h =
2 B+b
Se pretender saber quanto é a altura do trapézio é necessário conhecer os valores de B
(base maior) , b (base menor) e A (área). Por exemplo:
Determina h, sabendo que A=10 cm2, B=4 cm e b=1 cm.

2 ×10
h= = 4 cm
4 +1

Exercícios:

5 y
2. Resolve em ordem a x, a equação ( y − 1) = + x
3 2
Neste caso a incógnita é x. A letra y “funciona” como um número.

5 y
( y − 1) = + x ⇔ 1.º Tiram-se os parênteses
3 2 2.º Tiram-se os denominadores
5 5 y
⇔ y− = + x ⇔ 3.º Isolam-se os termos com a incógnita
3 3 2 ( ×6 ) (pretendida) num dos membros
( ×2 ) ( ×2 ) ( ×3 )
4.º Reduzem-se os termos semelhantes
⇔ 10 y − 10 = 3 y + 6 x ⇔
5.º Determina-se o valor da incógnita,
⇔ 6 x = 7 y − 10 ⇔ quando são dados os valores das outras
variáveis.
7 y − 10
⇔x= A equação está resolvida em ordem a x.
6

5 y
2. Resolver a mesma equação em ordem a y.
( y − 1) = + x
3 2
5 y
( y − 1) = + x ⇔
3 2
5 5 y
⇔ y− = + x ⇔
3 3 2 ( ×6 )
( ×2 ) ( ×2 ) ( ×3 )
⇔ 10 y − 10 = 3 y + 6 x ⇔
⇔ 10 y − 3 y = 10 + 6 x ⇔
⇔ 7 y = 10 + 6 x ⇔
10 + 6 x
⇔ y=
7

3. C F − 32
Em Física, a fórmula = estabelece a correspondência entre C (graus
5 9
Celsius) e F (graus Fahrenheirt). A Isabel está doente. A sua temperatura é

102,2ºF. Qual é a sua temperatura em ºC?

Processo 1: Substitui-se F por 102,2 e resolve-se a equação em ordem a C.

C 102,2 − 32 C 70,2
= ⇔ = ⇔ 9C = 351 ⇔ C = 39
5 9 5 9
( ×9 ) ( ×5 )

Processo 2: Começa-se por resolver a equação em ordem a C.

C F − 32 5 F − 160
= = 9C = 5 F − 160 ⇔ C =
5 9 9
Na fórmula obtida substitui-se F por 102,2 e efectuam-se as contas:

5 ×102,2 − 160
C= = 39 R.: A Isabel tem de temperatura 39 ºC.
9

Tarefa 3 página137
139 exercício 9
10 e 11

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