Fadiga

CAPÍTULO 3
COMPORTAMENTO MECÂNICO DOS
MATERIAIS
Um dos primeiros aspectos a serem considerados em qualquer
projeto estrutural é a tensão que leva o material à falha, ou ao colapso.
Como primeira aproximação a tensão limite de escoamento, no caso
de materiais dúteis, ou a tensão limite de resistência, para os materiais
frágeis, é usada como referência para comparação com as tensões
que solicitam o material, devido às cargas externas. Por outro lado, a
partir do ensaio estático de tração, por meio de uma análise mais
detalhada, é possível obtermos informações de grande valia para uso
com modelos que permitem prever tanto a falha estática como a falha
devida a cargas dinâmicas, como é o caso de uma falha por fadiga.
Este Capítulo preocupa-se em analisar em detalhes, embora não
exaustivamente, alguns ensaios que são comumente realizados com
materiais metálicos. Inicialmente é discutido o ensaio de tração, ao
qual é dada uma atenção particular, com um detalhamento da curva
tensão-deformação, tanto a convencional, como a curva real. Além do
ensaio de tração, é visto ainda o ensaio de impacto, com corpos de
prova do tipo Charpy. Estes ensaios fornecem informações bastante
valiosas, indicativas quanto ao comportamento mecânico do material,
que são utilizadas mais à frente no texto.
3.1 - GENERALIDADES DO ENSAIO DE TRAÇÃO

Comportamento Mecânico dos Materiais 47
O ensaio mais simples que é normalmente feito é o de tração, sobre
um corpo de prova de seção, em geral, circular ou retangular,
dependendo do produto metalúrgico de onde o corpo de prova foi
retirado. O ensaio de tração fornece uma repetibilidade de resultados
bastante boa, sendo desta forma um ensaio usado para testar a
uniformidade de produção de um material. Outra possibilidade é o uso
do ensaio de tração para levantar dados característicos do material,
fundamentais para a análise do seu comportamento mecânico. Esta
aplicação é que será desenvolvida nesta e nas seções seguintes.
O ensaio de tração consiste em aplicar uma força, logicamente de
tração, coincidente com o eixo do corpo de prova, medindo-se
simultaneamente, durante o ensaio, a força aplicada e a deformação
que o material sofre, devida à ação da carga. Um cuidado importante
que devemos ter é no que diz respeito à colinearidade do eixo do corpo
de prova com a linha de ação da força, pois qualquer excentricidade
provoca um efeito de flexão que se sobrepõe à tração, mascarando os
resultados finais, indicando, por exemplo, um baixo módulo de
elasticidade e uma baixa tensão limite de escoamento. No caso de um
corpo de prova circular, uma excentricidade de 1% leva a um aumento
de tensão no material de 6%.
A força aplicada é medida por um dinamômetro calibrado que,
dependendo do tipo da máquina de ensaio, pode ser baseado nos
mais diferentes princípios. Como o objetivo aqui não é o de descrever o
equipamento e mais o de analisar os resultados, não vamos nos deter
nestes aspectos. Quanto à deformação que o material sofre, esta é
medida normalmente pelo deslocamento relativo entre dois pontos de
referência, previamente marcados, na seção útil do corpo de prova. A
medida deste deslocamento pode ser feita por um processo mecânico,
com a necessidade de fazermos a leitura do deslocamento a cada
incremento de carga, ou então de uma forma eletroeletrônica,
permitindo o traçado da curva força-deslocamento simultaneamente
com o ensaio, em um plotter acoplado à máquina de ensaio. O
comprimento padrão, que é a distância que separa os dois pontos de
referência, é uma característica do extensômetro usado. Este tipo de
extensômetro é denominado de extensômetro axial, pois mede a
deformação que o material sofre ao longo do seu eixo longitudinal.
Com a aplicação de carga o material alonga-se, na direção da força,
e pelo efeito de Poisson, sofre também uma redução na seção
transversal, diminuindo o diâmetro, no caso de uma seção transversal
circular. Deste modo, uma outra forma de medirmos a deformação
pode ser feita através da medida da variação de diâmetro. Este
processo é necessário quando o corpo de prova é de diâmetro variável,
ou quando o comprimento da parte útil é muito pequeno, não
permitindo a instalação de um extensômetro axial convencional. O
extensômetro que trabalha desta forma é denominado de
extensômetro diametral, já que mede a variação de diâmetro.
A figura 3.1 mostra um esquema de um corpo de prova cilíndrico
sendo monitorado por um extensômetro axial e um extensômetro

48 Análise de Resistência Mecânica
diametral, quando submetido a uma força trativa, bem como um gráfico
mostrando resultados típicos de um ensaio de um material metálico.
∆d
∆l
F
F
F
∆
Figura 3.1 - Corpo de prova com extensômetros instalados.
A figura 3.2 ilustra uma curva típica de um ensaio de tração de um
material metálico, onde estão registrados os valores da força aplicada,
F, e do deslocamento relativo ∆, entre os pontos de referência,
medidos pelo extensômetro axial, que inicialmente estavam afastados
do comprimento padrão 0 , indicando como que o material se
deforma, na região central do corpo de prova, monitorada.
A curva apresenta algumas peculiaridades que são típicas de
materiais metálicos. Enquanto a força é pequena verifica-se uma
relação linear entre a força e o alongamento, o que caracteriza um
comportamento elástico do material. Este comportamento ocorre para
as cargas inferiores a Fp , que define o limite de proporcionalidade
entre força e alongamento. Acima da carga Fp o gráfico apresenta uma
curvatura, que pode ser bastante acentuada nos materiais dúteis. Com
o aumento da carga, o alongamento segue crescendo, até o ponto de
máximo da carga, que, dependendo do tipo da máquina de ensaio,
pode representar uma condição de instabilidade, ou não, para o corpo
de prova. Exemplificando, se a máquina trabalha com controle sobre a
carga que está atuando, que vai crescendo ao longo do ensaio com
uma dada velocidade, denominada de máquina mole, o ponto de carga
máxima indica o início da instabilidade, pois o material não suporta
mais qualquer aumento de carga. Se, no entanto, a máquina trabalha

com controle de deslocamento, sendo então denominada de máquina
dura, o deslocamento que é imposto ao corpo de prova é a variável
controlada, e neste caso o ponto de carga máxima não representa o
ponto de instabilidade para o conjunto máquina de ensaio-corpo de
prova. O corpo de prova admite um aumento de deslocamento além do
ponto de carga máxima, dando continuidade à deformação, sem que
venha a romper, agora com carga decrescente.
∆ l
F
FR
FE
Fe
Fp
Ff
Figura 3.2 - Curva força-alongamento de um material metálico típico.
Ao tratar as informações de um ensaio de tração é pouco usual falar
em cargas ou em alongamentos, sendo bem mais comum recorrermos
ao conceito de tensão média de tração e de deformação específica, ou
simplesmente tensão e deformação. A tensão, que é considerada
como uniformemente distribuida ao longo de toda a seção do corpo de
prova, é obtida por
σ 0 = F / A 0 (3.1)
sendo σ 0 a tensão nominal que age e A 0 a área original da seção do
corpo de prova. A deformação de engenharia é normalmente definida
como a relação entre o alongamento e o comprimento 0 de
referência, ou o que é equivalente, pela integração do alongamento
infinitesimal d, referido ao comprimento 0, que define a deformação
infinitesimal, entre os limites especificados pelo comprimento inicial e
pelo comprimento final. Sendo de a deformação infinitesimal,

e = ∫ de
onde
de = d / 0
e, portanto, integrando entre o comprimento inicial e o final,
e = ∆ / 0 (3.2)
Desta maneira, a partir da figura 3.1 é possível construir o diagrama
tensão-deformação para o material, usando as definições (3.1) e (3.2).
A curva obtida é a curva tensão-deformação nominal, ou de
engenharia, mostrada na figura 3.3, que é similar à curva de carga-
deslocamento, a menos das escalas dos eixos coordenados.
e
σ0
R
σ
E
σ
eσ
pσ
f
σ
Figura 3.3 - Curva tensão-deformação nominal, para o material ensaiado com
resultados da figura 3.2.
Alguns fatos interessantes são observados em um ensaio de tração,
se, ao invés de mantermos a carga, ou o deslocamento, continuamente
crescendo, o ensaio for parado em um ponto antes da ruptura e o
corpo de prova descarregado. Em primeiro lugar, se a tensão aplicada
for inferior à tensão σ p, chamada tensão limite de proporcionalidade,
que limita a porção linear da curva, a descarga ocorre exatamente
sobre a linha de carregamento, ficando o material, após a descarga
completa, exatamente nas mesmas condições de antes do ensaio. É

lógico que a tensão σ p é calculada para a força F p. Aumentando a
tensão além do limite de proporcionalidade, σ p, começamos a penetrar
na região do comportamento não linear do material. Se não
aumentarmos muito a tensão, verificamos que a descarga coincide
ainda com a linha de carregamento, ou seja, o material retorna às
condições iniciais, originais, quando totalmente descarregado. A
máxima tensão a que o material pode ser solicitado, sem apresentar
qualquer deformação residual, é denominada de tensão limite de
elasticidade, σ e , sendo necessário observar que a sua determinação
exige a aplicação de sucessivos ciclos de carregamento, aumentando,
levemente, o nível de solicitação entre ciclos consecutivos, de modo a
medir o início do aparecimento de deformações residuais.
e
σ0
E
σ
eσ
Figura 3.4 - Curvas de descarga para um material solicitado acima de σ e.
Para uma solicitação acima de σ e, ao sofrer descarga, o material
não mais segue a linha de carregamento, ou seja, o corpo de prova
não retorna mais à sua forma original, quando removida a carga. Isto
ocorre pela presença, dentro do material, de deformações plásticas,
resultando um gráfico como o mostrado na figura 3.4. Com o aumento
da carga, ao ultrapassar a tensão limite de elasticidade, começam a
ocorrer deformações plásticas a nível macroscópico. Enquanto o
material está na região linear da curva tensão-deformação, toda a
deformação é elástica, e verificamos então a validade da lei de Hooke,
a qual pode ser escrita, para um estado uniaxial de tensões, como
σ = E e (3.3)

onde E é o módulo de elasticidade do material, ou módulo de Young, e
e é a deformação que o material sofre, no caso totalmente elástica.
Quando a tensão limite de elasticidade é atingida e ultrapassada,
iniciam a atuar, de forma sensível, dentro do material, os mecanismos
de movimento de discordâncias, fazendo com que surjam, portanto,
deformações plásticas. Macroscopicamente, a deformação plástica é
definida como sendo a deformação que, somada à parcela elástica,
fornece a deformação total, que é a deformação que temos condições
de medir experimentalmente. Assim, sendo e a deformação total,
dada por e = ∆ / 0, a deformação plástica será
e p = e - e e (3.4)
onde e e = σ / E é a deformação que o material sofreria sob a ação da
tensão σ, se fosse perfeitamente elástico, ou seja, a deformação
plástica é definida como o desvio da linha elástica, a figura 3.5.
Esta definição pode parecer equivalente a dizer que a deformação
plástica é a deformação que permanece após a descarga do material,
porém esta última definição apresenta inconvenientes. Um destes é
que para medir a parcela de deformação plástica torna-se necessário
realizar a descarga do material, até o nivel de tensão zero, enquanto
que com a definição anterior apenas o conhecimento do módulo de
elasticidade é suficiente. Esta descarga da tensão até zero é facil de
ser realizada em um ensaio de tração, pela descarga da força aplicada
até zero também. Esta situação é, no entanto, muito particular, pois é a
única em que é possível conseguir uma descarga das tensões de toda
uma seção transversal até zero, com a retirada do carregamento,
porque a distribuição de tensões e de deformações é constante ao
longo da seção transversal. Em qualquer outra situação em que a
distribuição de tensões não é uniforme, é impossível descarregar até
zero as tensões em todos os pontos de uma seção transversal, quando
a carga externa for retirada, se ocorreram deformações plásticas na
seção. Outro aspecto que compromete a última definição de
deformação plástica é que, com deformações plásticas crescentes,
verifica-se que a linha de descarga apresenta um módulo de
elasticidade menor do que o original, do material indeformado. Deste
modo, as duas definições não são equivalentes. A figura 3.5 ilustra a
definição de deformação plástica como indicada pela equação (3.4), ou
seja, como o desvio da linha elástica.

e
σ0
σ
ee ep
ep
Figura 3.5 - Definição de deformação plástica, como desvio da linha elástica.
Conforme já mencionado, a presença de uma deformação plástica
fica evidenciada por uma não linearidade da relação entre tensão e
deformação. Como as deformações plásticas são permanentes, esta
não linearidade significa que o material permanece deformado mesmo
após a descarga, ficando assim um efeito residual. Outro efeito que
caracteriza uma deformação plástica é que ela é dependente do
tempo, podendo este comportamento ser observado de dois modos:
- Se a velocidade de deformação é aumentada, como no exemplo da
figura 3.6, ocorre um deslocamento vertical na curva tensão-
deformação, o que corresponde a um encruamento do material. A
figura mostra um resultado típico obtido com um corpo de prova de aço
de baixo carbono.
- Quando a carga é mantida constante por algum período de tempo, é
observado um aumento da deformação com o tempo, que é o
fenômeno da fluência. Esta deformação plástica ocorre com velocidade
decrescente, mas não cessa, mesmo para longos períodos de tempo.
Estes efeitos são menos acentuados a baixa temperatura, embora
estejam sempre presentes, mesmo a baixíssimas temperaturas. Em
altas temperaturas estes efeitos passam a ser importantes, pois
ocorrem de um modo bastante sensível e significativo.
Uma das propriedades mecânicas mais úteis e importantes é a que
define o campo de validade do comportamento elástico do material.
Conforme visto, a tensão limite de proporcionalidade, ou o limite de
elasticidade, representa a extensão do comportamento linear ou do
regime elástico. No entanto, alguns aspectos fazem com que estas
tensões não sejam quase utilizadas na prática. Em primeiro lugar, a

determinação de σ e é trabalhosa, em vista dos sucessivos ciclos de
carga e descarga necessários. Por outro lado, existem indicações de
que os materiais reais não possuem um limite elástico verdadeiro,
desde que existam instrumentos suficientemente sensíveis para medir
ínfimos desvios da linha elástica. Desta forma, a extensão da faixa
elástica do material é mais comumente definida pela tensão limite de
escoamento, que pode ser facilmente obtida a partir da curva tensão-
deformação determinada no ensaio.
e
σ0
e
.
1
e
.
2
.e 1 e
.
2
Figura 3.6 - Efeito da mudança na velocidade de deformação.
Dependendo do material, e do tratamento termo-mecânico a que foi
submetido, a curva tensão-deformação pode assumir formas bastante
distintas. Algumas formas típicas estão mostradas na figura 3.7. A
curva da figura 3.7 a) é típica de aços com baixo teor de carbono, no
estado recozido. A curva apresenta uma descontinuidade, sendo
caracterizada por um patamar de escoamento, onde o material sofre
uma acentuada deformação plástica, sob a ação de uma tensão
constante. Este comportamento é caracterizado pelo limite superior de
escoamento, que é a tensão máxima que ocorre antes de iniciar o
escoamento, bem como pelo limite inferior de escoamento, que é a
tensão correspondente ao patamar de escoamento. A tensão limite
superior de escoamento é extremamente sensível a detalhes como o
acabamento superficial do corpo de prova, pequenas excentricidades
na aplicação da carga, bem como ao tipo de máquina de ensaio, se
mole ou dura. Exemplificando, para um corpo de prova com superfície
perfeitamente polida e com uma transição bastante suave para os
pontos de contato com as garras, o limite superior de escoamento
pode atingir valores próximos ao da tensão de ruptura do material. Já

para um corpo de prova com acabamento rugoso, o limite superior
pouco se distingue do limite inferior. Por estas razões é que o ponto de
referência para definir a extensão da zona de comportamento elástico
é dado pela tensão limite inferior de escoamento, ou simplesmente
tensão limite de escoamento, σ E.
a) b)
d)
c)
Material dútil com patamar de escoamento Material dútil sem tensão de escoamento definida
Material não linear
Material frágil
σE
Figura 3.7 - Diferentes formas que a curva tensão-deformação pode
apresentar.
Na curva da figura 3.7 b) temos um material dútil, mas sem um limite
de escoamento perfeitamente definido como no caso anterior. A
definição da tensão limite de escoamento é baseada em algum critério
de natureza empírica. O critério mais usado é definir o limite de
escoamento como a tensão em que a deformação plástica atinge um
valor arbitrário, da ordem de 0,2% a 0,5%. Outra possibilidade é
considerar não a deformação plástica, mas a deformação total, para
definir a tensão de escoamento. A figura 3.8 mostra os processos de
determinação da tensão limite de escoamento citados, bem como o
processo que usa uma redução no módulo de elasticidade, tomando o
ponto da curva cujo módulo definido pela linha tangente à curva
tensão-deformação é um valor menor que o módulo de elasticidade do
material. É usual usar para o módulo tangente, H, um valor 50% menor
do que o módulo no regime elástico do material, ou seja, H = 0,5 E.

As duas curvas restantes da figura 3.7 representam dois materiais
frágeis, um dos quais apresenta um comportamento não linear
iniciando em níveis bastantes baixos de tensão, figura 3.7 c), como é,
por exemplo, o caso do ferro fundido. A figura 3.7 d) ilustra um material
frágil com um comportamento essencialmente elástico até próximo do
ponto de ruptura. Esta forma de curva é típica de materiais cerâmicos e
ligas fundidas de elevada dureza.
e
σ0
e2
e3
σ1
σ2
σ3
Módulo tangente
Offset Deformação total
Figura 3.8 - Possíveis critérios de definição para a tensão limite de
escoamento. A tensão σ 1 fica definida pelo critério do módulo
tangente, a tensão σ 2 pela deformação plástica e 2 e σ 3 pela
deformação total do valor e 3.
Para um material com características frágeis a tensão limite de
escoamento tem pequeno significado, podendo inclusive não satisfazer
o critério usado para definir σ E. Nestes materiais é usada a tensão
limite de resistência do material, σ R, definida como o ponto de máximo
da curva tensão-deformação, para caracterizar as propriedades de
resistência mecânica. Similarmente, para um material dútil, a tensão
limite de resistência é dada pelo ponto de máximo da curva, porém
nestes materiais σ R não coincide com o ponto de fratura do corpo de
prova, pois este segue se deformando plasticamente, embora com
carga decrescente. Este aspecto leva muitas vezes a conceitos
equivocados, em especial quando é usada a designação de σ R como
tensão de ruptura. Isto é correto para os materiais frágeis, mas
totalmente errado no caso dos dúteis.

Deste modo, em termos práticos, o diagrama tensão-deformação
fornece duas tensões características do material, a tensão limite de
escoamento, σ E , normalmente definida para uma deformação plástica
de 0,2%, e a tensão limite de resistência, σ R, ponto de máximo da
curva. Conforme o corpo de prova se deforma a carga tende a
aumentar devido ao encruamento. Por outro lado, há uma redução da
seção transversal, o que tende a fazer com que a carga diminua. Nos
primeiros estágios do ensaio o efeito de encruamento predomina,
aumentando a carga. No entanto, o efeito relativo do encruamento
diminui com o prosseguimento do ensaio e eventualmente a redução
da área da seção transversal excede o ganho de resistência devido ao
encruamento, resultando deste modo um máximo para a carga, que
passa a diminuir a seguir. Exatamente neste máximo qualquer parte do
corpo de prova que seja mais fraca do que o restante irá se deformar
sob esta carga, enquanto que todas as outras seções, que requerem
um aumento de carga para seguir a deformação, ficam com
deformação constante, ou até decrescente. Assim existe uma região
que se deforma mais e, portanto, tem a sua seção transversal mais
reduzida. Logo, esta região, que já é mais fraca, fica submetida a uma
tensão superior à do resto do corpo, pela redução da seção, e assim
tem lugar um processo de instabilidade, que leva a um estreitamento
no corpo de prova, agora localizado nesta região mais fraca, levando
finalmente à ruptura. Desta forma, até o ponto de máximo, a
deformação ocorre de uma maneira uniforme sobre todo o corpo de
prova. Deste modo a tensão limite de resistência dos materiais dúteis
define na realidade o início da instabilidade plástica, onde a
deformação plástica avança até a ruptura final. Após a carga máxima,
a deformação passa a concentrar-se na região estriccionada, ficando a
deformação real superior à calculada segundo (3.2), pois esta
expressão faz a média do alongamento ∆ sofrido, sobre todo o
comprimento de referência 0.
Apesar de ser um dado fictício, em vista do acima exposto, é comum
calcular o alongamento percentual no ponto de ruptura do material, e f,
usando o comprimento do corpo de prova rompido, para fornecer uma
idéia da maior ou menor capacidade de deformação plástica que o
material apresenta. Uma medida mais precisa da deformação que o
material sofre nos instantes finais do ensaio é obtida a partir do
diâmetro da seção estriccionada. Usando a medida do diâmetro
mínimo no corpo de prova já rompido é definida a estricção ϕ do
material como:
ϕ = (A 0 - A f ) / A 0 (3.5)
sendo A 0 a área original da seção transversal e A f a área da seção
transversal após a ruptura. Esta redução da seção transversal é

consequência direta do efeito de Poisson, onde a deformação axial
induz deformações nos eixos transversais.
A figura 3.9 mostra um diagrama tensão-deformação nominal, ou de
engenharia, onde estão indicadas tensões características, bem como o
alongamento de ruptura, e f. Este diagrama tem maior importância para
a especificação e controle da qualidade de materiais, bem como para
uma amostragem sobre a uniformidade de um produto metalúrgico.
Para a análise das propriedades mecânicas dos materiais existe mais
interesse no diagrama tensão-deformação real, onde a tensão é
calculada usando a área real do corpo de prova, e a deformação é
medida em relação a um valor instantâneo de referência, e não ao
comprimento original da peça sem carga. A análise deste tipo de
diagrama é feita na seção 3.3.
3.2 - RESULTADOS OBTIDOS DO ENSAIO DE TRAÇÃO
Nesta seção é feito um resumo das características do ensaio de
tração e quais são as informações que podem ser obtidas, quando este
ensaio é analisado com o uso do procedimento clássico, através da
curva tensão-deformação nominal ou de engenharia. A figura 3.9
ilustra as principais informações que são obtidas habitualmente a partir
do diagrama convencional.
e
σ0
E
σ
eσ
R
σ
Deformação uniforme ao longo
de todo o comprimento útil
Deformação
concentrada
ef
Início da
estricção
0
1
2
3
4
5
Figura 3.9 - Principais informações obtidas a partir de um diagrama tensão-
deformação convencional.
A forma e a magnitude da curva tensão-deformação de um material
depende, dentre outros fatores, da sua composição química, dos

tratamentos termo-mecânicos, da temperatura de operação e do
estado de tensões imposto durante o teste.
O teste de tração é bastante usado para fornecer informações
básicas a respeito da resistência do material para projeto e é um teste
aceitável para a especificação de materiais. A curva tensão-
deformação de engenharia é obtida a partir da medida da carga e da
elongação e os pontos característicos, da curva da figura 3.9, são:
01 - porção linear da curva, onde vale a lei de Hooke;
1 - ponto correspondente ao limite de proporcionalidade;
2 - ponto correspondente ao limite elástico;
3 - ponto correspondente ao limite de escoamento;
4 - ponto de carga máxima (início da instabilidade);
5 - ponto de ruptura final.
As tensões usadas nesta curva tensão-deformação são as tensões
nominais que agem no corpo de prova tensionado, designadas por σ 0 ,
equação (3.1). Esta tensão nominal é obtida pela divisão da carga pela
área da seção transversal do corpo de prova indeformado. As
deformações são obtidas pela divisão do acréscimo ∆, medido sobre
o comprimento padrão, pelo sua dimensão original 0, equação (3.2).
Os parâmetros que são usados para descrever a curva tensão-
deformação, que procuram caracterizar as propriedades de resistência
do material e as propriedades de dutilidade, são, basicamente:
- Tensão limite de escoamento
- Tensão limite de resistência
- Alongamento percentual
- Redução da área da seção transversal
CRITÉRIOS PARA DEFINIR O COMPORTAMENTO ELÁSTICO.
O nível de tensão em que as deformações plásticas começam
depende muito da sensibilidade do equipamento usado para monitorar
o ensaio, já que a transição do comportamento elástico para o
comportamento plástico é gradual. Vários critérios para a determinação
do início de plastificação são usados, em função dos equipamentos
que estão disponíveis e do uso pretendido para os resultados.
- Limite de proporcionalidade. É a maior tensão em que existe
proporcionalidade direta entre as tensões e as deformações. É o valor
em que inicia o desvio do relacionamento linear no diagrama tensão-
deformação.
- Limite elástico. É a maior tensão que o material pode suportar sem
que exista alguma deformação plástica que se possa medir
macroscopicamente, após a completa remoção da carga.

- Limite de escoamento. É a tensão requerida para produzir uma
deformação plástica especificada, usualmente de 0,2%, quando o
material não apresentar um patamar de escoamento.
Alguns materiais não tem um comportamento linear em seu
diagrama tensão-deformação, mesmo para baixos níveis de tensão,
como por exemplo o cobre recozido e o ferro fundido cinzento. Para
estes materiais a determinação da tensão limite de escoamento, por
meio da especificação de um valor para a deformação plástica não
pode ser usado, pois não é definido com exatidão o módulo de
elasticidade. Assim, nestes casos a tensão limite de escoamento é
definida como a tensão que provoca uma deformação total pré-
estabelecida, como de 0,005 ( 0,5%) por exemplo. Veja figura 3.8.
TENSÃO LIMITE DE RESISTÊNCIA
A tensão limite de resistência é a tensão nominal correspondente à
máxima carga que ocorre no ensaio, considerando a área original da
seção transversal no seu cálculo,
σ R = Fmáx / A 0 (3.6)
A tensão limite de resistência é o resultado mais usual do teste de
tração e, entretanto, é um valor de pequeno significado físico para
avaliar a resistência real do material. Esta afirmação decorre do fato de
que a tensão σ R não ocorre na realidade, pois a área instantânea, no
ponto de carga máxima, não é A 0. Para metais dúteis a tensão limite
de resistência pode ser entendida como a medida da máxima
solicitação que o metal pode resistir sob condições de carregamento
uniaxial. Deve-se no entanto ter muito cuidado para não cair no erro de
caracterizar σ R como a tensão de ruptura do material. A ruptura só irá
ocorrer após a estricção avançar consideravelmente, consumindo a
dutilidade do material. A tendência atual para o projeto de estruturas de
materiais dúteis é o uso da tensão limite de escoamento para definir o
início de plastificação. Para materiais frágeis a tensão limite de
resistência é uma informação válida para projeto.
CRITÉRIOS PARA MEDIR A DUTILIDADE
A dutilidade é uma propriedade fundamental do material, onde
temos diferentes maneiras de a definir e de quantificar. É uma medida
útil para indicar:
- Quanto que o material pode ser deformado plasticamente sem que
ocorra fratura, para operações de conformação tais como laminação,
extrusão e estampagem;
- A capacidade do metal de fluir plasticamente antes da ruptura. Esta
característica permite deformações localizadas sem fratura, as quais

podem ocorrer devido a sobrecargas ou pontos de concentração de
tensão não esperados;
- O nível de impurezas do material, consequência das condições do
processo metalúrgico, já que um maior volume de impurezas reduz
significativamente a dutilidade.
As medidas convencionais de dutilidade, obtidas a partir do ensaio
de tração, são a deformação de fratura, e f, denominada usualmente de
elongação, e a estricção, ϕ, obtida como a redução de área, em
relação à área original.
e f = ( f - 0 ) / 0 (3.7)
ϕ = ( A 0 - A f ) / A 0 (3.8)
O valor da deformação de fratura depende do comprimento l 0 , no
qual as medidas são tomadas, já que as deformações plásticas mais
intensas ficam concentradas na região da estricção. Um menor
comprimento de referência, no qual as medidas são tomadas, fará com
que a deformação e f tenda ao valor real. Desta forma quando são
dadas as deformações percentuais, de elongação, o comprimento de
referência também deve ser dado, normalmente como um múltiplo do
diâmetro. A redução da área não sofre esta influência, logo pode ser
considerada como uma medida mais adequada da dutilidade do
material, sem que haja problema de comprimento de referência.
MÓDULO DE ELASTICIDADE
A inclinação da região linear do diagrama tensão-deformação é
denominada de módulo de elasticidade ou módulo de Young. O
módulo de elasticidade é a medida da rigidez do material, ou seja, para
módulos grandes, menores são as deformações elásticas, para um
mesmo nível de tensão. O módulo de elasticidade é necessário para o
cálculo de defleções e de deformações para todo e qualquer elemento
estrutural, sendo um valor importante para a análise e projeto.
O módulo de elasticidade é resultado das forças de atração entre os
átomos, logo, como estas forças não podem ser alteradas sem a
variação da natureza básica do material, o módulo de elasticidade é
uma propriedade intrínseca do material. Ele é alterado, apenas
levemente, pela adição de elementos de ligas, tratamentos térmicos ou
trabalho a frio. No entanto, sofre uma significativa redução de valor
com o aumento da temperatura. Para altas temperaturas o módulo de
elasticidade deve ser medido por métodos dinâmicos. Valores típicos
do módulo de elasticidade, função da temperatura, para materiais de
uso comum em Engenharia, estão listados na Tabela 3.1 a seguir.

TABELA 3.1
Efeito da temperatura sobre o módulo de elasticidade, [MPa].
MATERIAL 20°C 200°C 430°C 540°C 650°C
Aço carbono 207 000 186 000 155 000 134 000 124 000
Aço austenít. 193 000 176 000 158 000 155 000 145 000
Liga de Ti 114 000 97 000 74 000 70 000 -
Liga de Al 72 000 66 000 54 000 - -
RESILIÊNCIA
A habilidade de um material absorver energia quando deformado
elasticamente e retornar, quando descarregado, às dimensões
originais, é denominada de resiliência. Ela é dada usualmente pelo
módulo de resiliência, que é a energia de deformação por unidade de
volume requerida para as tensões variarem de zero até a tensão limite
de escoamento σ E.
e
σ0
Ee
σE
Figura 3.10 - Definição do módulo de resiliência.
A energia de deformação do material, por unidade de volume, para
um estado uniaxial de tensões, dentro do regime elástico, é dada por:
U 0 = 0,5 σ x . ε x
Com a definição de módulo de resiliência temos
U r = 0,5 σ E . ε E

Usando a lei de Hooke, para um estado uniaxial de tensões, resulta
U r = 0,5 σ E
2
/ E (3.9)
Esta equação indica que o material adequado para absorver a
energia de deformação, em condições que o elemento estrutural não
pode permanecer com distorções permanentes, tais como molas e
peças de mecanismos de precisão, é aquele que possui uma alta
tensão de escoamento e baixo módulo de elasticidade. A Tabela 3.2
fornece alguns valores de módulos de resiliência para diferentes
materiais.
TABELA 3.2
Módulo de resiliência para alguns materiais.
ESPECIFICAÇÃO
DO MATERIAL
MÓDULO DE
ELASTICIDADE
TENSÃO LIMITE DE
ESCOAMENTO
MÓDULO DE
RESILIÊNCIA
Aço médio carbono 207 000 310 0,230
Aço mola 207 000 965 2,330
Duralumínio 72 400 124 0,110
Cobre 110 000 28 0,004
Borracha 1 2,1 2,205
Polímero acrílico 3 400 13,8 0,028
TENACIDADE
A tenacidade de um material é definida como a sua capacidade de
absorver energia, permitindo-se que penetre no regime plástico. A
capacidade de suportar, ocasionalmente, tensões maiores que as de
escoamento, sem romper, é desejada em elementos tais como
engrenagens, correntes, acoplamentos, cabos, etc. A tenacidade pode
ser considerada como a área total sob a curva do diagrama tensão-
deformação. Esta área é a representação de quanto trabalho por
unidade de volume o material pode absorver sem romper. A figura 3.11
mostra curvas tensão-deformação para materiais de alta e baixa
tenacidade. O aço mola tem tensão limite de escoamento mais alta que
um aço estrutural, porém este é mais dútil e tem elongação maior, logo
a área sob a curva do aço estrutural é maior, o que implica em maior
tenacidade. Para materiais dúteis, que possuem um diagrama tensão-
deformação semelhante ao do aço estrutural, a área sob a curva pode
ser aproximada por uma das seguintes equações:
U t = σ R e f (3.10)
U t = σ L e f (3.11)

onde σ L é a chamada tensão limite, definida como a média aritmética
entre a tensão limite de escoamento e a tensão limite de resistência.
e
σ0
Ee
σR
σR
Aço mola
Aço estrutural
Figura 3.11 - Curvas tensão-deformação típicas para aços de alta e baixa
resistência.
Para materiais frágeis, a curva tensão-deformação pode ser
considerada como sendo parabólica e a área sob a curva é assim dada
por:
U t = 0,667 σ R e f (3.12)
Como esta medida da tenacidade considera a energia por unidade
de volume que o material absorve sem romper, é também denominada
de tenacidade volumétrica.
3.3 - DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO REAL
O diagrama tensão-deformação convencional apresenta resultados
que não são adequados para um estudo mais profundo sobre o
comportamento do material, devido à maneira simplificada como os
resultados do ensaio foram avaliados. Quando o material está
submetido a grandes deformações, como no caso do estudo de
processos de conformação, ou do estudo do comportamento do
material próximo aos instantes de ruptura, o uso da tensão nominal e

da deformação nominal, obtidas do ensaio de tração, não são
adequados. A tensão nominal erra pelo uso da área original, que não é
a área real no instante em que a força está atuando. A deformação
nominal apresenta problemas para uso quando o material está muito
deformado e além disto não considera o efeito da estricção, já que faz
uma média da deformação sobre o comprimento de referência.
Antes de atacar o problema do diagrama tensão-deformação real é
conveniente definirmos o que é deformação e tensão real. A
deformação de engenharia é definida pela equação (3.2), onde o
acréscimo de deformação, de, é calculado pelo acréscimo de
comprimento, dl, referido ao comprimento original, l 0. Quando se
trabalha com grandes deformações este processo não é adequado,
pois o comprimento de referência pode mudar bastante em relação ao
comprimento original, levando a uma medida do acréscimo instantâneo
de deformação errônea.
EXEMPLO 3.1.
Uma barra é deformada ao dobro do seu comprimento original. A deformação, quando
calculada pela equação (3.2), será e = 1, já que ∆ = 0. Se agora, após ser tracionada, for
reduzida à metade do comprimento, temos e = - 0,5, pois ∆ = - 0,5 0 , em relação ao novo
comprimento inicial. É intuitivo que estes valores de deformação não são corretos, pois em
valor absoluto a deformação deveria ser a mesma nos dois casos, resultando uma deformação
final nula, mas que não ocorre.
Este problema pode ser contornado definindo a deformação real de
tal forma que o acréscimo de deformação real, dε, seja a relação entre
d, acréscimo do comprimento, e o comprimento instantâneo, , e não
o comprimento original, 0, de modo que dε = d / . Integrando agora
entre o comprimento inicial e o comprimento final, resulta portanto:
ε = ln - ln 0, ou
ε = ln ( / 0 ) (3.13)
EXEMPLO 3.2.
Consideremos a mesma barra do exemplo 3.1, sendo deformada ao dobro do seu
comprimento original. A deformação, calculada agora pela equação (3.13), será ε = 0,693, já
que = 2 0. Se agora, após ser tracionada, a barra for reduzida à metade do comprimento,
temos ε = - 0,693, pois = 0,5 0 . Estes valores de deformação são coerentes com a nossa
espectativa intuitiva, onde, em valor absoluto, a deformação é igual nos dois casos, resultando
assim em uma deformação final nula.

Comparando a equação (3.13) com a equação (3.2) podemos obter
um relacionamento entre a deformação real e a deformação de
engenharia, como segue.
e = ∆ /
ε = ln ( / 0 )
ε = ln ( 0 + ∆ ) / 0
ε = ln (1 + e) (3.14)
Para uma deformação plástica pura do material, verifica-se que o
processo é incompressível, ou seja, não ocorre variação de volume. Na
realidade a densidade varia um pouco, porém, experimentalmente,
esta variação é menor que 0,1%, mesmo para grandes deformações, e
desta forma, com boa aproximação podemos considerar que o volume
do sólido fica constante durante o processo de deformação plástica.
Com isto temos que o volume, limitado por um comprimento de
referência, fica constante durante o processo de deformação, o que
permite escrever
0 A 0 = A
e rearranjando a equação:
/ 0 = A 0 / A (3.15)
Com o uso desta equação a deformação real pode ser dada em
função da variação da área da seção transversal, como na equação
(3.23), ou então:
ε = ln A 0 / A (3.16)
Quanto à tensão real, esta é a carga dividida pela área da seção
transversal, em um dado instante. A tensão de engenharia, ou tensão
convencional, é a carga dividida pela área original da seção do corpo
de prova. Considerando o comportamento elástico do material, esta
distinção não é necessária, porque os níveis de deformação são
baixos. Em certos problemas da plasticidade, particularmente quando
do tratamento matemático do teste de tração, é importante a distinção
entre as duas definições de tensão. A tensão real será denotada por σ
e a de engenharia por σ 0 . Assim,

σ = F / A (3.17)
σ 0 = F / A 0 (3.18)
A tensão real pode ser relacionada com a tensão de engenharia
considerando
σ = (F A 0) / (A 0 / A)
e com a substituição das equações (3.15) e (3.2) na equação acima
obtemos, após algumas manipulações
σ = σ 0 (1 + e) (3.19)
A curva tensão-deformação de engenharia não fornece boas
indicações das características de deformação dos materiais, porque é
completamente baseada nas dimensões originais do corpo de prova, e
estas dimensões variam continuamente durante o teste. Os testes de
tração realizados com materiais dúteis, sob controle de carga, tornam-
se instáveis e a estricção surge durante o desenvolvimento do ensaio.
Por ser a redução de área da seção transversal rápida neste estágio
do teste, a carga necessária para continuar a deformar o corpo de
prova também decresce. A tensão nominal, baseada na área original,
diminui, e isto faz com que a curva tensão-deformação comece a
baixar, após o ponto de máxima carga. Na realidade, o metal segue
encruando até a fratura, fazendo com que as tensões necessárias,
para continuar deformando o material, também precisem ser
aumentadas. Se as tensões verdadeiras, baseadas na área
instantânea do corpo de prova, forem usadas, a curva tensão-
deformação então obtida cresce continuamente até a fratura. Se as
deformações são também baseadas em medidas instantâneas, usando
a equação (3.13), a curva assim obtida é conhecida como curva
tensão-deformação real. A curva tensão-deformação real deve ser
vista como uma maneira mais exata de caracterizar o comportamento
mecânico do material, necessária quando os níveis de deformações
plásticas são elevados, como em análises do processo de fratura, ou
de operações de conformação. Deste modo, a curva tensão-
deformação real representa também o comportamento qualitativo do
material, quando carregado sob tração. Se a carga é removida, e então
reaplicada, o material comporta-se elasticamente ao longo de toda a
linha de descarga e após, de carga, quando esta for novamente
aplicada, de forma similar ao que ilustra a figura 3.4, para a curva
tensão deformação convencional.
A equação (3.19) assume que exista constância de volume durante
o processo de deformação, bem como uma distribuição homogênea de
deformações ao longo do comprimento de referência do corpo de
prova, o que ocorre antes do surgimento da estricção. Acima do ponto

de carga máxima, as tensões reais devem ser determinadas a partir de
medidas instantâneas da carga e da seção transversal, com a equação
(3.17). A deformação real ε pode ser determinada a partir da
deformação convencional, ou de engenharia, conforme dado por
(3.14), porém esta equação só pode ser aplicada até o ponto de
aparecimento da estricção, pelas razões explicadas acima. Além da
carga máxima, a deformação real deve ser determinada através de
medidas instantâneas da área ou do diâmetro da seção transversal,
conforme equação (3.16), ou então pela relação de diâmetros,
ε = ln (D 0 / D) 2
(3.20)
ε = 2 ln D 0 / D (3.21)
A figura 3.12 compara a curva tensão-deformação real com a curva
tensão-deformação de engenharia. Do diagrama tensão-deformação
real, pode-se obter os seguintes parâmetros:
TENSÃO REAL DE FRATURA
A tensão real de fratura é σ f , definida como a carga de fratura
dividida pela área da seção transversal, no instante de fratura. Essa
tensão deve ser corrigida, pois na seção da fratura o estado de
tensões é triaxial, como decorrência da estricção que leva a uma
região com seção transversal variável. Devido a isto, desenvolvem-se
tensões tangenciais e radiais, adicionalmente à tensão axial. Este
estado de tensões triaxial exige, para prosseguir com a deformação
plástica, uma tensão axial maior do que se o estado fosse uniaxial,
Assim, a tensão real de fratura, calculada simplesmente como força
sobre área, considera também o efeito de restrição à deformação
plástica, provocado pela triaxialidade do estado de tensões, [36]. A
tensão que efetivamente o material suporta, em um estado uniaxial de
tensões, é um pouco menor, dependendo da geometria do local da
estricção, pois o efeito de restrição depende desta geometria.

e
σ0
σ
ε
Figura 3.12 - Comparação entre as duas curvas tensão-deformação, a curva
real e a curva de engenharia.
DEFORMAÇÃO REAL DE FRATURA
A deformação real de fratura, ε f, é dada por:
ε f = ln ( A 0 / A f ) (3.22)
onde A f é a área da seção transversal na seção que rompeu. Outra
maneira de calcular ε f é a partir da estricção na fratura, ϕ, definida
pela equação (3.5).
ε = ln [ 1 / ( 1 - ϕ ) ] (3.23)
DEFORMAÇÃO REAL UNIFORME
A deformação real uniforme é a deformação que ocorre no ponto de
carga máxima, ou seja, é a máxima deformação em que ocorreu,
ainda, uma deformação uniformemente distribuida sobre todo o
comprimento de referência. Pode ser calculada pela equação (3.24),
onde A R é a área da seção transversal do corpo de prova quando foi
atingida a carga máxima, ou seja, exatamente no ponto em que inicia a
estricção. Esta deformação é da ordem do expoente de encruamento
do material.

ε = ln ( A 0 / A R ) (3.24)
ANÁLISE DO EFEITO DE POISSON
A redução da seção transversal é consequência do efeito de
Poisson, ou seja, se o material sofre uma deformação na direção do
eixo x, por exemplo, provocada por uma carga nesta direção, como no
caso do corpo de prova do ensaio de tração, esta deformação ε x induz
deformações em direções perpendiculares, y e z no caso, dando
origem às deformações εy e εz. Se o estado de tensões no ponto
considerado é uniaxial, então as deformações ε y e ε z são provocadas
unicamente pelo efeito de Poisson, o qual pode ser escrito como
εy = εz = - ν εx (3.25)
onde ν é o coeficiente de Poisson, uma característica do material,
quando dentro do campo elástico.
No caso de um estado de tensões não uniaxial devemos usar a lei
de Hooke generalizada, a qual incorpora o efeito de Poisson sobre as
deformações nos três eixos, na forma
εx = ( σx - ν ( σy + σz )) / E
εy = ( σy - ν ( σx + σz )) / E (3.26)
εz = ( σz - ν ( σx + σy )) / E
sendo válida para um estado de tensões genérico. Para as tensões
cisalhantes, temos uma similaridade direta com a lei de Hooke para as
tensões normais, contudo sem a ocorrência de um acoplamento entre
as várias direções, como evidenciado pelo efeito de Poisson. Sendo γ
a deformação cisalhante, que pode ser a deformação no plano xy, xz
ou yz e τ a tensão cisalhante associada ao plano correspondente, a lei
de Hooke fica neste caso expressa por
γ = τ / G (3.27)
onde G é o módulo de elasticidade transversal do material, que é
correlacionado com o módulo de elasticidade e com o coeficiente de
Poisson, pela equação:
G = E / (2 (1 + ν)) (3.28)

Se o limite elástico do material for ultrapassado, as deformações
passam a ter uma parcela elástica e uma parcela plástica, onde o
efeito de Poisson deve ser considerado separadamente sobre cada
uma das parcelas, pois o coeficiente de Poisson no regime plástico é
diferente do coeficiente no regime elástico. Pelo mecanismo
microscópico de deformação plástica, esta processa-se praticamente a
volume constante, o que leva a um coeficiente de Poisson de 0,5 para
as parcelas plásticas de deformação. Assim, as deformações devem
ser decompostas nas suas parcelas elásticas e plásticas, cada uma
afetada por um valor do coeficiente de Poisson. Para um estado
uniaxial de tensões, com ε xe e ε xp , sendo respectivamente as parcelas
elástica e plástica da deformação total ε x , a deformação transversal ε y
que é provocada por ε x será:
ε y = - ( ν ε xe + 0,5 ε xp ) (3.29)
Para a maioria dos materiais metálicos o coeficiente de Poisson, no
regime elástico, apresenta um valor que tipicamente está na faixa de
0,28 a 0,35, sendo usual adotar um valor de 0,3 ou 1/3, quando não é
conhecido o coeficiente para o material em consideração.
EXEMPLO 3.3.
Considerando a equação (3.29), podemos definir um coeficiente de Poisson efetivo,
como sendo a relação entre as deformações totais, nos eixos de interesse. Deste modo, sendo
νeq este valor do coeficiente de Poisson, o seu valor depende da relação entre as parcelas
elásticas e plásticas das deformações. Assim quando a deformação plástica for nula, νeq = ν, e
quando a deformação plástica for muito maior do que a parcela elástica, νeq = 0,5. A tabela
abaixo mostra este comportamento, assumindo ν = 0,30.
ε p / ε e 0,1 0,2 0,5 1,0 2,0 5,0 10,0
νeq 0,318 0,333 0,367 0,400 0,433 0,467 0,482
O estado de tensões em um dado ponto do material, quando no
regime elástico, fica definido em função do carregamento aplicado,
para satisfazer as condições de equilíbrio, e também pelas restrições à
deformação, função da distribuição de material, podendo fazer com
que surjam tensões em direções outras que as das tensões
provocadas pelo carregamento, conforme pode ser desprendido das
equações (3.26). Neste sentido, duas situações particulares, de grande
importância na análise de problemas práticos, se colocam, que são os
estados ditos plano de tensões e plano de deformações, EPT e EPD.

Um estado de tensões é denominado de plano de tensões, quando
as tensões atuantes no ponto considerado situam-se num único plano,
ou seja, se estamos analisando o plano xy, as únicas tensões
existentes são as tensões normais σ x e σ y , e a tensão cisalhante no
plano, τ xy , sendo as outras componentes de tensão necessariamente
nulas. Este estado de tensões é facilmente encontrado em problemas
reais, como em pontos sobre a superfície externa do material, quando
a peça não está sujeita a um carregamento superficial no ponto
considerado. Deste modo, todos os pontos situados na superfície de
componentes estruturais estão em um estado plano de tensões,
respeitando a restrição da ausência de cargas de superfície. Para
pontos internos ao material, esta situação pode ocorrer desde que não
exista restrição à deformação transversal, ε z , pois mesmo sendo a
tensão transversal σ z igual a zero, no estado plano de tensões, as
tensões normais existentes no plano provocam o desenvolvimento da
deformação ε z, pelo efeito de Poisson. Assim, para que pontos
internos ao material estejam em um estado plano de tensões, ou de
uma forma abreviada, EPT, a peça deve ser relativamente fina, para
que o material existente não venha a restringir o desenvolvimento da
deformação transversal. Esta é uma situação que ocorre em peças
fabricadas a partir de chapas finas, por exemplo. Deve ser salientado
que o conceito de espesso ou fino tem uma interpretação relativa,
quanto às outras dimensões da peça, pois pode ocorrer que uma peça
com 1 mm de espessura não possa ser considerada fina, quando na
presença de um detalhe com 0,1 mm de raio, por exemplo.
Quando não podemos caracterizar para os pontos no interior do
material um EPT, ou seja, se existe uma restrição à deformação
transversal, desenvolve-se dentro do material uma tensão transversal
σ z. Esta situação atinge uma condição limite quando a peça é bastante
espessa, onde o volume de material adjacente ao ponto considerado
restringe totalmente a deformação transversal, ou seja, ε z é igual a
zero. Nesta situação temos apenas deformações ocorrendo nas
direções x e y, sendo denominada de estado plano de deformações,
EPD. Quando ocorre um estado plano de deformações, geralmente em
pontos internos ao material, surge a tensão transversal σ z, que é
decorrência do efeito de Poisson, como podemos ver das equações
(3.26). Se fizermos a deformação transversal igual a zero, resulta
σ z = ν ( σ x + σ y ) (3.30)
que é a tensão que deve se desenvolver, como consequência da
restrição à deformação, pelo volume de material que envolve o ponto
considerado. Esta condição, de um EPD, desenvolve-se dentro do
material, em peças espessas e também em peças onde se tem
significativas descontinuidades geométricas, ou seja, pontos com
elevado efeito de concentração de tensão.

3.4 - MODELOS DA CURVA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
É necessário, para a realização de uma análise de tensões, adotar
um modelo para a curva tensão-deformação, que deve ser adequado
ao tipo de análise a ser realizada. Assim, partimos dos modelos mais
simples, como o de um material perfeitamente elástico, ou o de um
material rígido-plástico, chegando a um modelo de um material com
encruamento potencial, passando pelos modelos de um material
elasto-plástico ideal e de um material com encruamento linear. A figura
3.13 ilustra os modelos mais usados para uma análise de tensões.
ELÁSTO -
PLÁSTICO
IDEAL
RÍGIDO -
PLÁSTICO
ENCRUAMENTO
LINEAR
ENCRUAMENTO
POTENCIAL
ELÁSTICO
IDEAL
Figura 3.13 - Curvas tensão-deformação segundo modelos normalmente
usados para uma análise plástica.
Para um material idealizado como elástico ideal é lógico que o
modelo deverá ser usado dentro dos limites do comportamento elástico
do material real. Para uma análise plástica, os modelos mais simples
para idealizar a curva tensão-deformação do material, são o de um
material elasto-plástico ideal e o de um material rígido-plástico. Este
último é uma simplificação do primeiro, aplicável quando temos
elevados níveis de deformação plástica, de modo que seja possível
desprezar a parcela elástica da deformação. A idealização do material
como tendo um encruamento linear já é uma melhor aproximação para
os materiais reais, que apresentam encruamento, do que a de um
material elasto-plástico ideal. No caso de muitos materiais metálicos a
curva tensão-deformação fica caracterizada por um comportamento
chamado de encruamento potencial, expresso pela equação abaixo:
σ = k ε n
(3.31)
onde
n - expoente do encruamento

k - coeficiente de resistência
σ - tensão real
ε - deformação real.
O gráfico em escalas logarítmicas da curva tensão-deformação real,
a partir do início do escoamento, resulta numa linha reta se a equação
(3.31) for satisfeita pelo material. A inclinação desta reta é n, e k é a
tensão real para o ponto onde ε = 1,0.
10
0
10
-4
10
-3
10
-2
10
-5
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
ε
σ
Linha elástica
Encruamento potencial
k
Figura 3.14 - Diagrama tensão-deformação para um material com
encruamento potencial, em escalas logarítmicas.
Os valores de n variam desde n = 0, caracterizando um sólido
perfeitamente plástico, σ = k, onde k é interpretado como a tensão
limite de escoamento do material, até n = 1, que caracteriza um sólido
perfeitamente elástico, σ = k ε, onde k agora representa o módulo de
elasticidade do material. Deste modo, o expoente de encruamento
situa-se no intervalo (0 ; 1), enquanto que o coeficiente de resistência
está no intervalo (σ E ; E). Para a maioria dos metais os valores de n
estão situados entre 0,1 e 0,5. A Tabela 3.3 mostra valores de n e k
para alguns materiais de uso comum.
A equação (3.31) nem sempre fornece resultados que são coerentes
com os experimentos. Desta forma, outros modelos foram sugeridos e
a seguir estão apresentadas algumas equações que também podem
representar os resultados dos ensaios de forma condizente, como:
σ = k (ε o + ε p ) n

onde ε 0 é a deformação que o material sofreu antes do ensaio, em um
processo de trabalho a frio, como por exemplo trefilação ou laminação,
e ε p é a parcela plástica da deformação. Outra possibilidade é usar a
expressão
σ = σ E + k ε p
n
(3.32)
TABELA 3.3
Parâmetros para a curva tensão-deformação com encruamento potencial.
Material Condição n k [MPa]
Aço 0,05% de C Recozido 0,26 541
Aço SAE 4340 Recozido 0,15 654
Aço 0,6% de C Temp. rev. 538-C 0,10 1600
Aço 0,6% de C Temp. rev. 704-C 0,19 1250
Cobre Recozido 0,54 330
Latão Recozido 0,49 920
O modelo da curva tensão-deformação com encruamento potencial
pode ser posto na forma abaixo, onde agora apenas a parcela plástica
da deformação é que faz parte da equação (3.31), sendo a parcela
elástica dada pela lei de Hooke. A deformação total é dada pela soma
das duas parcelas de deformação:
ε = σ / E + ( σ / k ) 1 / n
(3.33)
Podemos mostrar que a tensão que delimita o regime elástico do
regime plástico, quando é usado o modelo de encruamento potencial,
que pode ser pensada como a tensão limite de elasticidade, σ e , é
obtida da intersecção da porção plástica da curva tensão-deformação
com a linha do comportamento elástico, resultando
σ E = ( k / E n
) 1 / 1 - n
(3.34)
ou então, pelo uso da definição convencional da tensão limite de
escoamento, usando o valor ε p = 0,002 na equação (3.33).
Em muitas situações de análise plástica é usado o modelo de um
material elasto-plástico ideal, pela simplicidade que apresenta. Quando
os materiais reais apresentam encruamento, é possível ainda usar o
modelo elasto-plástico ideal, onde a tensão de escoamento é

substituida pela tensão limite de análise plástica, σ L , definida como a
média aritmética entre σ E e σ R do material. Assim é considerado, de
um modo aproximado, o encruamento que o material real apresenta.
3.5 - ENSAIO DE IMPACTO
Existem materiais intrinsecamente frágeis, como por exemplo o ferro
fundido, pois em aplicações práticas sempre rompem de um modo
frágil. Existem outros metais que podem apresentar uma ruptura dútil
ou frágil quando em serviço. Dentre estes, os aços ferríticos são os
mais importantes e possuem um comportamento muito variável quanto
à forma de fratura, dependendo de muitos fatores. Assim, um aço de
baixo carbono, normalizado, é dútil sob a ação de um carregamento
uniaxial, como no ensaio de tração. Este mesmo aço torna-se frágil
quando na presença de entalhes, baixas temperaturas, sob impacto ou
ainda sob um estado triaxial de tensão. Para outros materiais, em
especial os com estrutura cristalina cúbica de face centrada, como os
aços austeníticos, o comportamento à fratura pode ser previsto a partir
das propriedades de tração. Se for frágil no ensaio de tração, será
frágil com entalhe, e se for dútil no ensaio, também será dútil com um
entalhe, exceto no caso de entalhes muito agudos ou profundos.
Mesmo baixas temperaturas não alteram este comportamento.
Para os materiais com comportamento semelhante ao dos aços
ferríticos, os ensaios de impacto são muito úteis, pois indicam, ao
menos de forma orientativa, o grau de dutilidade. Estes materiais
possuem um comportamento complexo, difícil de prever com exatidão,
estando sujeitos a uma transição de comportamento. Devido a estes
fatos, a maior parte dos estudos, sobre a fratura frágil, foram feitos
com estes materiais. O parâmetro que caracteriza a resistência à
ruptura do material é a tenacidade. Esta é definida como a energia
específica absorvida durante o processo de ruptura. Assim, uma fratura
dútil é caracterizada por uma grande absorção de energia, o que se
traduz em uma tenacidade elevada. Uma fratura frágil possui uma
baixa absorção de energia e logo baixa tenacidade.
Em alguns casos a tenacidade pode ser facilmente obtida, como por
exemplo em uma barra de seção uniforme tracionada. A tenacidade é
fornecida pela área sob a curva tensão-deformação, que representa a
energia absorvida por unidade de volume da barra. Infelizmente a
tenacidade volumétrica, medida desta maneira, não se correlaciona
com a resistência à fratura em serviço. Isto ocorre porque no ensaio de
tração grande parte da energia consumida é utilizada para colocar o
material em condições de iniciar a ruptura, ou seja, em um nível de
deformações plásticas suficiente para iniciar o processo de ruptura.

PATAMAR INFERIOR
PATAMAR SUPERIOR
TRANSIÇÃO T [ C]o
ENERGIA
CV [J]
Figura 3.15 - Curva típica CV versus temperatura, para aços carbono e baixa
liga.
No caso de uma ruptura em serviço, temos uma falha que
geralmente inicia a partir de um defeito pré-existente, o que nos corpos
de prova de tração não ocorre. Assim, é necessário distinguir entre a
tenacidade volumétrica, medida no ensaio de tração, e a tenacidade
superficial, medida como a energia consumida no aumento da área
rompida, pela propagação da fissura, a partir do defeito inicial. Esta
tenacidade é denominada de tenacidade à fratura. Em aplicações
práticas esta última é que tem importância. A tenacidade volumétrica é
de interesse em situações onde é necessário estimar a capacidade de
absorção de energia por uma estrutura homogênea. A tenacidade à
fratura é fundamental para a análise ou previsão de falhas.
Em componentes isentos de defeitos, a energia para a ruptura é
elevada, já que deve-se dispender uma grande parte desta energia
para a formação da trinca, enquanto o restante é consumido para a
sua propagação. Assim, em elementos estruturais que habitualmente
possuem falhas e defeitos, que podem ser pensados como trincas, a
falha ocorre quando energia suficiente é fornecida para propagar a
trinca já existente. Em vista disto, muitos testes de tenacidade são
realizados com corpos de prova já fissurados, medindo-se a energia,
por unidade de área rompida, que o material consome durante a sua
fratura. A fissura inicial reduz a energia necessária para a ruptura, bem
como causa um estado triaxial de tensões de tração elevado, o que
eleva a temperatura de transição do material.

CARGA DE
PLASTIFICAÇÃO
CARGA MÁXIMA CARGA DE
RUPTURA FRÁGIL
ENERGIA PRÉ CARGA MÁXIMA
ENERGIA PÓS CARGA MÁXIMA
ENERGIA PÓS FRATURA FRÁGIL
F [N]
t [ms]
Figura 3.16 - Curva típica força versus tempo no ensaio Charpy.
ENSAIO CHARPY
Para os materiais com transição no comportamento dútil-frágil os
ensaios de impacto são muito úteis, sendo o ensaio com corpo de
prova Charpy com entalhe em V o mais difundido, estando incluido em
muitas especificações de projeto e controle de qualidade. O entalhe
provoca restrições à deformação em direções perpendiculares à
direção da máxima tensão principal, ou seja, um estado triaxial de
tensões, com um efeito também de concentração de tensão. O ensaio
Charpy mostrou-se valioso para verificar a suscetibilidade dos aços à
fragilização na presença de entalhes, embora o teste não possa ser
usado diretamente para assegurar o desempenho da estrutura em
serviço. A figura 3.17 ilustra o princípio do ensaio e a geometria do
corpo de prova Charpy com entalhe em V.
A aplicação da carga de impacto é feita por um pêndulo que é
deixado cair e, após a ruptura do corpo de prova, é determinada a
energia absorvida na fratura do material. Esta energia, em Joules [J], é
a medida da tenacidade Charpy do material. Os ensaios são feitos a
diversas temperaturas para o corpo de prova e assim é obtida a
influência desta sobre a tenacidade do material ensaiado. Para os
materiais fragilizáveis existe uma faixa de temperatura em que ocorre a
transição no modo de fratura. Esta transição é detectada por uma
queda brusca na tenacidade, ou seja, o material passa a romper de um
modo predominantemente frágil. A figura 3.18 mostra uma curva da
tenacidade contra a temperatura para um aço de baixa liga. Deve-se
observar que a tenacidade medida pelo ensaio Charpy é distinta da
tenacidade volumétrica, medida pelo ensaio de tração, bem como é
distinta da tenacidade superficial, medida pelos ensaios de K IC.

40
55
10
10
r 0,25
2
45o
LINHA DE CARGA
Figura 3.17 - Corpo de prova Charpy com entalhe em V e princípio do ensaio.
T [ C]o
ENERGIA
CV [J]
Figura 3.18 - Curva tenacidade versus temperatura para um aço 4137 H.
Existem ao menos três métodos para avaliar o grau de fragilização
que o material sofre, a uma dada temperatura de ensaio. A energia
consumida na ruptura, conforme já citado, é um deles. A aparência da

fratura fornece meios para avaliar a tenacidade do material, pois
quanto maior a área que rompeu por clivagem, menor a energia
absorvida na ruptura do corpo de prova, visto que a fratura dutil
absorve muito mais energia por unidade de área. Assim, a inspeção do
aspecto da superfície rompida fornece informações relevantes.
Finalmente, a deformação plástica decorrente da fratura dútil provoca
uma contração lateral na zona de entalhe, que fica tracionada, e uma
expansão lateral no lado oposto, onde o material fica comprimido.
Não existem apenas estes métodos para medir o efeito de
fragilização do material por efeito da temperatura, mas, em geral, a
transição dútil-frágil baseada em um único tipo de medida não é
suficientemente abrupta de forma a definir claramente uma
temperatura específica. Por esta razão foram propostas vários critérios
para definir o valor da temperatura de transição, seja pela energia
absorvida, seja pela aparência da ruptura. Alguns destes critérios estão
descritos a seguir.
FRATURA FRÁGIL
FRATURA DÚTIL
EXPANSÃO
CONTRAÇÃO
Figura 3.19 - Aspecto de seção rompida do corpo de prova Charpy, indicando
as diferentes regiões da superfície rompida e a deformação lateral de
contração junto ao entalhe e de espansão no topo do corpo de prova.
CRITÉRIOS BASEADOS NA ENERGIA DE TRANSIÇÃO
- A temperatura na qual a curva energia-temperatura intercepta o
nível de 20J (15 lb.ft).

- A temperatura na qual a curva intercepta o nível de 55J (40 lb.ft).
- Energia média de transição. A temperatura correspondente ao
valor médio entre os limites máximo e mínimo de energia absorvida
nos ensaios.
CRITÉRIOS BASEADOS NA APARÊNCIA DA FRATURA
- A mínima temperatura na qual é ocorre uma ruptura 100% dútil.
- A máxima temperatura na qual é obtida uma ruptura 100% frágil.
- A temperatura na qual 50% de ruptura dútil é obtida.
A temperatura determinada por qualquer um destes critérios deve
ser comparada apenas com dados obtidos com o mesmo tipo e
tamanho do corpo de prova. Em muitas aplicações é dada importância
fundamental à temperatura máxima do nível inferior da curva da
energia, ou seja, à temperatura em que a tenacidade começa a subir.
Este valor particular parece ser menos sensível aos métodos de ensaio
do que os outros critérios. Como esta é a temperatura abaixo da qual o
aço não se deforma plasticamente na presença de um entalhe, é
referida como temperatura de transição para dutilidade nula,
usualmente NDT, (Nil Ductility Temperature).
No ensaio de impacto a energia absorvida do pêndulo é usada para:
- Iniciar a fissura no fundo do entalhe;
- Propagar a fissura no restante da seção;
- Deformar os pontos de contato com o corpo de prova;
- Acelerar a massa do corpo de prova;
- Vencer a resistência do ar e dos mancais.
Apenas os dois primeiros itens são relevantes nos materiais
tenazes. Para os materiais frágeis, a parcela de energia combinada
pelos outros fatores pode ser uma porcentagem sensível da energia
total. Em ensaios normais, não há preocupação sobre as diferentes
parcelas no consumo de energia, sendo considerada apenas a energia
total absorvida do pêndulo. Os dois últimos ítens são considerados
pela calibração da escala de leitura
A curva de energia apresenta três regiões características: o patamar
inferior de energia, a região de transição e o patamar superior,
conforme figura 3.15. No patamar inferior temos uma ruptura frágil,
geralmente por clivagem, ficando limitado pela temperatura de
referência, NDT. Esta temperatura em geral situa-se na faixa de 10% a
20% da temperatura absoluta de fusão. No patamar inferior temos uma
nucleação frágil da fissura e uma baixa energia para a sua
propagação, com um consequente comportamento frágil. Na região de
transição ocorre um modo misto de ruptura, parte da superfície com
uma fratura plana e parte por cisalhamento. A ruptura por cisalhamento
consome uma grande fração da energia. Para temperaturas ainda
maiores atingimos o patamar superior de energia, onde o material é

perfeitamente dútil, com a ruptura ocorrendo quase que inteiramente
por cisalhamento. Aqui temos dificuldade de formação da trinca,
exigindo altos níveis de deformação plástica; a propagação também é
dificultada. A figura 3.20 mostra as curvas carga-deslocamento em
cada uma das diferentes regiões.
FF
T Tcr T ~ Tcr
F
T Tcr
Figura 3.20 - Curvas carga-deformação versus temperatura.
Como o ensaio Charpy não permite prever diretamente o tipo de
comportamento em serviço, se dútil ou frágil, dos aços usados em
componentes de grandes estruturas, os testes devem ser usados
comparativamente, como testes de recepção ou testes para identificar
diferentes lotes de um mesmo aço, ou ainda para selecionar um aço
dentre vários, quando a correlação do resultado do ensaio com o
comportamento em serviço esteja estabelecida e seja confiável. A
temperatura de transição para a estrutura não coincide com a
temperatura obtida pelo ensaio dos corpos de prova Charpy, pois a
geometria do entalhe é diferente, bem como o volume de material
envolvido. Por outro lado, a simples realização de análises químicas,
ensaios de tração e de dureza podem deixar de indicar a influência de
alguns importantes fatores de processamento e fabricação que afetam
a suscetibilidade à fratura frágil. De uma forma resumida, o ensaio
Charpy vale como uma indicação qualitativa a respeito do
comportamento dútil-frágil, falhando no aspecto quantitativo. As
limitações que o ensaio Charpy apresenta podem ser listadas como:
- Difícil de correlacionar com o comportamento real em serviço. É
usado principalmente na comparação de diferentes tratamentos e
materiais.

- Corpo de prova pequeno, não sendo desta forma representativo da
heterogeneidade que a estrutura real possui.
- Não é aplicável para aços de alta resistência e para ligas não
ferrosas, pois apresentam um valor da energia absorvida muito baixo.
- O ensaio não separa a energia de nucleação e a energia de
propagação. Em serviço a ruptura é formada apenas pela propagação,
pois a trinca inicial já existe, decorrente de um problema de fadiga,
corrosão ou outros mecanismos metalúrgicos, ou mesmo devido a
falhas no próprio processo de fabricação.
MODIFICAÇÕES DO ENSAIO CHARPY
Para permitir uma análise mais rigorosa sobre o comportamento real
do material, o ensaio Charpy deve ser modificado. Além do ensaio
tradicional duas formas derivadas são atualmente mais usadas.
Uma primeira modificação é sobre o corpo de prova, o qual é pré
fissurado por fadiga antes de ser submetido ao ensaio de impacto. Isto
faz com que o material tenha agora uma trinca aguda, originada no
fundo do entalhe, e não mais um raio de concordância no ponto mais
solicitado. Assim, a condição que o material apresenta em uma
aplicação real fica muito melhor caracterizada pelo corpo de prova e o
resultado do ensaio será exclusivamente a energia necessária para
propagar a trinca, inexistindo assim a energia de nucleação.
Outra modificação é agora a de instrumentar a máquina de ensaio,
no sentido de permitir o registro de um diagrama de carga-
deslocamento, como o ilustrado na figura 3.16. Este registro permite
assim obter todos os valores mostrados na figura, viabilizando uma
análise bastante criteriosa dos resultados do ensaio. O ensaio Charpy
instrumentado pode ser feito usando um corpo de prova padrão ou um
corpo de prova pré-fissurado.
3.6 - MODELO PARA A TRANSIÇÃO DÚTIL-FRÁGIL
Para explicar a diferença de comportamento de um mesmo material,
quanto à energia absorvida na ruptura, várias experiências mostraram
a existência de duas tensões que fornecem as características de
fratura do material. Estas tensões são:
Uma tensão, σcl , que produz uma fratura frágil, pela separação ao
longo de um plano cristalográfico, pela perda de coesão entre os
átomos. É a tensão em que ocorre a ruptura por clivagem.
Uma tensão, σeq responsável pelo início do escoamento, pelo
movimento de discordâncas segundo um dos planos cristalográficos da
estrutura do metal. Esta tensão provoca a falha por deformação
plástica.

A tensão σeq pode ser encarada compo a tensão principal que
corresponde ao início de escoamento do material, que é coincidente
com σE no caso de um estado uniaxial de tensões.
A tensão de ruptura das ligações atômicas, σcl , não depende da
temperatura, tendo um valor constante. Tal não ocorre com a outra
tensão, σeq , que varia inversamente com a temperatura absoluta, pois
o movimento de discordâncias é mais facil de ocorrer a altas
temperaturas do que a baixas. Esta tensão é a tensão principal σ1 na
qual o escoamento tem início. A figura 3.21 mostra a variação destas
tensões com a temperatura.
O ponto de intersecção das duas curvas determina a temperatura
critíca, acima da qual a falha será por escoamento e portanto com
apreciável deformação plástica. Se a temperatura for inferior a Tcr , a
ruptura ocorre porque a tensão aplicada ultrapassou σcl , sendo então
a falha uma fratura frágil. Na realidade a transição entre uma falha por
fratura frágil e dútil não ocorre bruscamente, mas dentro de uma faixa
de temperaturas, conforme visto na figura 3.18.
σcl
σeq
T
σ
Tcr
Figura 3.21 - Tensões características de falha.
EFEITO DA VELOCIDADE DE CARREGAMENTO
Com um carregamento que é aplicado mais rapidamente, a
resistência ao escoamento do material aumenta, logo é esperado um
aumento de σeq com a velocidade de carga. Assim a curva de σeq se

move para a direita e, portanto, o ponto de intersecção com σcl se
translada para maiores temperaturas. Deste modo um carregamento
por impacto pode provocar uma ruptura frágil, em um material que é
dútil normalmente. É o que ocorre com o zinco, que pode ser fletido
sob uma deformação lenta, embora com velocidade normal seja
extremamente quebradiço.
EFEITO DO ESTADO DE TENSÕES
Num estado tridimensional de tensões, embora a tensão de
cisalhamento necessária para o deslizamento dos planos atômicos não
seja afetada, a tensão normal necessária para obtermos este será
maior, desde que todas as tensões no ponto sejam de tração. Assim,
os valores de σeq aumentam e a curva se move para a direita,
aumentando a temperatura crítica. Quando as tensões no ponto são de
compressão, e é aplicada uma tensão externa de tração, com
pequenos valores desta tensão de tração já ocorrem valores da tensão
tangencial que ultrapassam o valor crítico, escoando a peça; portanto a
curva de σeq fica deslocada para a esquerda, diminuindo a
temperatura crítica. Estados de tensão não uniaxiais são obtidos em
reservatórios e corpos entalhados, em que a temperatura crítica é
superior a de um corpo de prova liso.
EFEITO DO TAMANHO DE GRÃO
Com o aumento dos grãos, a resistência à clivagem do aço diminui.
Em consequência, para os aços com granulação grossa a reta de σcl
está mais abaixo, o que corresponde a uma maior temperatura crítica
do que para os aços com granulação fina. Com granulação fina, tem-se
uma rede de contornos de grão muito mais intensa do que com
granulação grossa. Os contornos de grão funcionam como barreiras
para o crescimento das trincas de fratura, aumentando a resistência do
material considerado.
EFEITO DO TAMANHO DO CORPO
Com o aumento das dimensões, pode-se esperar uma redução da
resistência à clivagem σcl , ou seja, quanto à fratura frágil, pois a
probabilidade de haver defeitos críticos aumenta com o volume. Por
outro lado, um maior volume também reduz a tensão crítica de
deslizamento, havendo assim efeitos contrários sobre a temperatura
crítica. O resultado final depende da importância relativa deste dois
fatores. As experiências com corpos cilíndricos lisos mostram que o
efeito predominante é sobre a resistência coesiva, aumentando assim
a temperatura crítica com um maior volume do corpo. Este fator deve
ser considerado quando forem usados resultados de ensaios com
corpos de prova pequenos em projetos com grandes dimensões.

EFEITO DO GRADIENTE DE TENSÕES
É fato sabido que na flexão o escoamento do material inicia com
uma tensão sensivelmente superior à tensão de escoamento sob
tração. Tal se explica porque na flexão a tensão de escoamento é
atingida primeiro pelas fibras situadas mais distantes do eixo neutro, e
a formação de planos de deslizamento nestas fibras é evitada em parte
pela presença do material contíguo, sob tensões mais baixas. As fibras
próximas ao eixo neutro podem suportar parte da carga das fibras mais
afastadas, reduzindo a tensão real nas fibras externas. Este aumento
de tensão de escoamento deve então ser considerado, ou seja, a curva
de σeq é movida para cima, aumentando assim a temperatura crítica
do material. Semelhante argumento pode ser aplicado nos casos de
concentração de tensão produzidos por ranhuras ou concordâncias,
sendo esperado um aumento da temperatura crítica para barras
entalhadas. É importante a determinação correta de Tcr , a fim de se
evitar situações perigosas, nas quais a temperatura crítica do material
é a temperatura de serviço do equipamento.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Para se ter uma margem de segurança suficiente deve-se usar
materiais com uma baixa temperatura crítica. Esta pode ser reduzida
não apenas pela alteração da composição química como, também,
através de um tratamento térmico que refine o grão. As tensões
aumentam nas reentrâncias e nas soldas mal feitas, contribuindo para
uma maior temperatura de transição. Um aumento do tamanho da
estrutura tem o mesmo efeito.

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