Fórmulas estatística - medidas - central e dispersão
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Este documento apresenta fórmulas e conceitos sobre estatística descritiva, incluindo medidas de tendência central, dispersão, elementos de distribuição de frequência e amostragem. Fornece definições e cálculos para média, mediana, moda, variância, desvio-padrão e outros conceitos comuns na análise de dados.
Fórmulas estatística - medidas - central e dispersão
- 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA EQUAÇÕES E FÓRMULAS ALGÉBRICAS DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E DE DISPERSÃO 1- ELEMENTOS DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA 1.1- Frequência absoluta ou simples f i n → Somatório f i → Frequência absoluta ou simples n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra 1.2- Frequência acumulada simples Fk f1 f 2 f3... f k Fk → Frequência acumulada simples f1 → Frequência na primeira ordem f 2 → Frequência na segunda ordem f k → Frequência na última ordem 1.3- Frequência relativa fi f ri f i f ri → Frequência relativa f i → Frequência absoluta ou simples → Somatório Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 2. 1.4- Frequência acumulada relativa Fi Fri f i Fri → Frequência acumulada relativa f i → Frequência acumulada → Somatório 1.5- Frequência relativa (percentual) fi f ri % .100 fi f ri → Frequência relativa em porcentagem f i → Frequência absoluta ou simples → Somatório 1.6- Frequência acumulada relativa Fi Fri % .100 Fi Fri → Frequência acumulada relativa em porcentagem f i → Frequência acumulada → Somatório 2- AMOSTRA 2.1- Dados brutos (não agrupados) ou dados em rol Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 3. 2.1.1- Número de classes (K) K = 5 se n ≤ 25 K n se n > 25 ou K = 1 + 3,32 log(n) → Regra de Sturges K → Número de classes n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra 2.1.2- Amplitude de classe Maior Menor h K h → Amplitude da classe Maior → Maior número do rol ou da série Menor → Menor número do rol ou da série K → Número de classes 2.1.3- Média aritmética simples x x i n x → Média aritmética xi → Valor genérico da observação ou da frequência (rol ou série) n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra 2.1.4- Média geométrica simples xg n x1.x2 .x3...xn x g → Média geométrica x1 → Valor dado qualquer do rol ou da série (primeiro) x2 → Valor dado qualquer do rol ou da série (segundo) xn → Valor dado qualquer (último valor do rol ou da série) n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 4. 2.1.5- Média harmônica simples n xh 1 1 1 ... x1 x2 xn xh → Média harmônica x1 → Valor dado qualquer do rol ou da série (primeiro) x2 → Valor dado qualquer do rol ou da série (segundo) xn → Valor dado qualquer (último valor do rol ou da série) n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra 2.1.6- Média ponderada simples xp c .x i i c 1 x p → Média ponderada xi → Valor genérico da observação ou da frequência (rol ou série) ci → Valor do peso da variável 2.1.7- Desvio em relação à média di xi x d i → Desvio xi → Valor genérico da observação ou frequência x → Média aritmética 2.1.8- Desvio médio simples DM x x i n Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 5. DM → Desvio médio xi → Valor genérico da observação ou frequência x → Média aritmética n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra → Somatório 2.1.9- Mediana n 1 Md Quando for ímpar (A mediana divide o rol ou a série em 2 duas partes iguais - ordem central do rol ou da série). M d → Mediana n → Quantidade de dados do rol ou da série ou a frequência da amostra ou tamanho da amostra n n Md e M d 1 Quando for par (A medida divide o rol ou a 2 2 série em duas partes iguais - duas ordens centrais do rol ou da série). A mediana será a média aritmética entre os termos da ordem. M d → Mediana n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra 2.1.10- Moda Mo Valor com maior número de repetições (classe modal). A moda é o valor que estiver na ordem ou na classe modal (valor modal). M o → Moda Observações: Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 6. Série amodal → não tem valor modal Série unimodal → um valor modal Série bimodal → dois valores modais Série trimodal → três valores modais Série polimodal → quatro ou mais valores modais 2.1.11- Quartis Q1 → Mediana da primeira metade dos elementos da série Q2 → Mediana de todos os elementos da série Q3 → Mediana da segunda metade dos elementos da série Observações: Nos quartis a série é dividida em quatro partes iguais com o mesmo número de elementos, de tal forma que cada intervalo do quartil contenha 25% dos elementos coletados: 1º quartil separa os primeiros 25% dos elementos da serie; 2º quartil separa os primeiros 50% dos elementos da serie; 3º quartil separa os primeiros 75% dos elementos da serie. 2.1.12- Variância s 2 x x i 2 n 1 s 2 → Variância xi → Valor genérico da observação ou frequência x → Média aritmética n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra → Somatório Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 7. 2.1.13- Desvio-padrão s s2 s → Desvio-padrão s 2 → Variância 2.2- Dados agrupados sem intervalos de classes 2.2-1. Média aritmética simples x .f x .f x ou x f i i n i i Observação: n f i i x → Média aritmética xi → Valor genérico da observação ou frequência f i → Frequência absoluta ou simples n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra → Somatório 2.2-2. Mediana n 1 Md Quando for ímpar (A mediana divide o rol ou a série em 2 duas partes iguais, mas a ordem central do rol ou da série). M d → Mediana n → Quantidade de dados do rol ou da série ou a frequência da amostra ou tamanho da amostra n n Md e M d 1 Quando for par (A medida divide o rol ou a 2 2 série em duas partes iguais - duas ordens centrais do rol ou da série). A mediana será a média aritmética entre os termos da ordem. Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 8. M d → Mediana n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra 2.2-3. Moda Mo Valor com maior número de repetições ou maior frequência (classe modal). A moda é o valor que estiver na ordem ou na classe. M o → Moda Observação: 1º- Localizar a classe modal (classe que contém o maior valor de frequência); 2º- Verificar o valor da variável contido na classe modal. 2.2-4. Quartis Q1 →k=1 Q2 →k=2 Q3 →k=3 Qk → É o valor da variável que corresponde à classe desse quartil considerado. 1º- Calcular a posição do quartil para estabelecer em que classe se localiza o quartil considerado k.n Qk 4 Qk → É o valor da variável que corresponde à classe desse quartil considerado. k → Número do quartil considerado n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 9. Observação: 1º- Localizar esse valor na coluna da frequência acumulada para conhecer qual é a classe que corresponde a essa posição (classe do quartil k); 2º- Verificar na coluna da variável em estudo qual o valor da variável localizada na classe do quartil considerado. 2.2-5. Variância x 2 x 2 i n i s2 n 1 s 2 → Variância xi → Valor genérico da observação ou frequência x → Média aritmética n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra → Somatório 2.2-6. Desvio-padrão s s2 s → Desvio-padrão s 2 → Variância 2.3- Dados agrupados com intervalos de classes 2.3.1- Amplitude de classe R h Li li h ou k h → Amplitude da classe h → Amplitude da classe Li → Limite superior da classe R → Amplitude Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 10. li → Limite inferior da classe k → Número de classes 2.3.2- Amplitude total da distribuição AT Lmáx lmín AT → Amplitude total da distribuição Lmáx → Limite superior da distribuição lmín → Limite inferior da distribuição 2.3.3- Amplitude amostral AA xmáx xmín AA → Amplitude amostral xmáx → Limite máximo da amostra xmín → Limite mínimo da amostra 2.3.4- Ponto médio de classe li Li PM 2 PM → Ponto Médio li → Limite inferior da classe Li → Limite superior da classe 2.3.5- Média aritmética ponderada x x .f i i f i x → Média aritmética ponderada xi → Valor do ponto médio do intervalo de classe Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 11. f i → Frequência absoluta ou simples → Somatório 2.3.6- Ponto médio de classe linf Lsup xi 2 xi → Valor genérico da observação ou frequência linf → Limite inferior da classe Lsup → Limite superior da classe 2.3.7- Desvio em relação à média di xi x d i → Desvio xi → Valor genérico da observação ou frequência x → Média aritmética 2.3.8- Desvio médio simples DM x x i n DM → Desvio médio xi → Valor genérico da observação ou frequência x → Média aritmética n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra → Somatório 2.3.9- Desvio médio absoluto Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 12. DM A x i x Observação: O desvio médio, em geral, é n aproximadamente igual a 0,8 vezes o desvio-padrão. DM A → Desvio médio xi → Valor genérico da observação ou frequência x → Média aritmética n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra → Somatório 2.3.10- Mediana Critérios para determinação da mediana: 1º- f i n 2 ou 2 → Somatório f i → Frequência absoluta ou simples n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra 2º- A menor frequência acumulada que superar o valor da frequência acumulada da classe mediana 3º- fi n Fant .h Fant .hMd 2 M d lMd 2 M d linf fi ou f Md M d → Mediana linf → Limite inferior do intervalo de classe mediana f i → Frequência absoluta ou simples da classe mediana Fant → Frequência acumulada da classe anterior à classe mediana h → Amplitude do intervalo de classe mediana Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 13. → Somatório M d → Mediana l Md → Limite inferior da classe que contém a mediana n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra ou número de elementos do conjunto de dados f Md → Frequência absoluta ou simples da classe que contém a mediana Fant → Frequência acumulada da classe anterior à classe mediana ou soma das frequências simples anteriores à classe que contém a medida hMd → Amplitude do intervalo da classe que contém a mediana 2.3.11- Moda d M o linf 1 .h d d 1 2 Mo → Moda linf → Limite inferior da classe modal d1 → Frequência absoluta ou simples menos frequência absoluta ou simples anterior à classe modal (diferença entre a frequência da classe modal e a da classe imediatamente anterior) d 2 → Frequência absoluta ou simples menos frequência absoluta ou simples posterior à classe modal (diferença entre a frequência da classe modal e a da classe imediatamente posterior - seguinte) h → Amplitude de intervalo da classe modal Observação: 1º- Localizar a classe modal (classe que contém o maior valor de frequência); 2º- A moda é um valor contido no intervalo de Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 14. classe modal; 3º - Cálculo da moda pela Regra de Czuber com base nos valores da classe modal. hMo LMo lMo hMo → Amplitude de intervalo da classe modal LMo → Limite Superior da classe modal l Mo → Limite inferior da classe modal d1 f Mo f ant d1 → Diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe anterior à classe modal f Mo → Frequência da classe modal f ant → Frequência da classe anterior à classe modal d 2 f Mo f post d 2 → Diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe posterior à classe modal f Mo → Frequência da classe modal f post → Frequência da classe posterior à classe modal Observação: Moda bruta é o valor do ponto médio da classe modal. 2.3.12- Quartis k .n Fant Q k lQk 4 .hQk f Qk Qk → Quartil k → Quartil considerado lQk → Limite inferior do intervalo de classe do quartil considerado Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 15. n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra ou número de elementos do conjunto de dados f Qk → Frequência absoluta ou simples da classe do quartil considerado Fant → Frequência acumulada da classe anterior à classe do quartil considerado hQk → Amplitude do intervalo de classe do quartil considerado hQk LQk lQk hQk → Amplitude do intervalo de classe do quartil considerado LQk → Limite Superior da classe do quartil considerado lQk → Limite inferior da classe do quartil considerado 2.3.13- Relação empírica entre média, mediana e moda x M o 3x M d x → Média aritmética Mo → Moda M d → Mediana 2.3.14- Amplitude total R xmáx xmín R → Amplitude total xmáx → Limite máximo e xmín → Limite mínimo 2.3.15- Variância x . f 2 x .f 2 i i i n i s 2 n 1 s 2 → Variância Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 16. xi → Valor genérico da observação ou frequência f i → Frequência absoluta ou simples n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra → Somatório 2.3.16- Desvio-padrão s s2 s → Desvio-padrão s 2 → Variância 2.3.17- Erro padrão s sx n s x → Erro padrão s → Desvio-padrão n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra 2.3.18- Relação empírica entre o desvio-padrão e a amplitude R R <s< 6 3 R → Amplitude s → Desvio-padrão 2.3.19- Coeficiente de variação s CV .100 Observação: CV é dado em percentual x Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 17. CV → Coeficiente de variação s → Desvio-padrão x → Média aritmética Análise do coeficiente de variação CV≥ 30% → Dispersão alta (elevada, intensa) 15%<CV<30% → Dispersão média (central, mediana) CV≤ 15% → Dispersão baixa (mínima, pequena) 2.3.20- Momentos de uma distribuição de frequências 2.3.19.1- Dados em ordem ou rol ou série Mt x t i Observação: momento de ordem t de um conjunto n de dados M t → Momento de ordem t xi → Valor genérico da observação ou frequência n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra x a t M t a i Observação: momento de ordem t em n relação a uma constante a M ta → Momento de ordem t em relação a constante a xi → Valor genérico da observação ou frequência a → Constante n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra x x t Mt i Observação: momento de ordem t centrado n em relação à média Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 18. M t → Momento de ordem t xi → Valor genérico da observação ou frequência x → Média aritmética n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra 2.3.19.2- Dados agrupados em classes de frequências Mt x .ft i i Observação: momento de ordem t de um n conjunto de dados M t → Momento de ordem t xi → Valor genérico da observação ou frequência f i → Frequência absoluta ou simples n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra x a . fi t M t a i Observação: momento de ordem t em n relação a uma constante a M ta → Momento de ordem t em relação a constante a xi → Valor genérico da observação ou frequência a → Constante f i → Frequência absoluta ou simples n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra x x . fi t Mt i Observação: momento de ordem t n centrado em relação à média M t → Momento de ordem t xi → Valor genérico da observação ou frequência x → Média aritmética Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 19. f i → Frequência absoluta ou simples n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra 2.3.19.3- Momentos em ordens M1 x e m1 0 M 1 → Momento de ordem 1 x → Média aritmética n 1 2 m2 .s n m2 → Momento de ordem 2 s 2 → Variância n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra 2.3.19.4- Momentos centrados de 3ª e 4ª ordem em rol ou série m3 x 3 i 3x. x 2 i 2x 3 n n m3 → Momento de ordem 3 x → Média aritmética n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra m4 x 4 i 4 x. x 3 i 6x 2 . x 2 i 3x 4 n n n m4 → Momento de ordem 4 x → Média aritmética n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 20. 2.3.19.5- Momentos centrados de 3ª e 4ª ordem em classes m3 x 3 i . fi 3x. x 2 i . fi 2x 3 n n m3 → Momento de ordem 3 f i → Frequência absoluta ou simples x → Média aritmética n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra m4 x 4 i . fi 4 x. x 3 i . fi 6x 2 . x 2 i . fi 3x 4 n n n m4 → Momento de ordem 4 f i → Frequência absoluta ou simples x → Média aritmética n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra h 2 .s 2 2 m4 .h 4 2 240 Observação: Correção de Sheppard (subtração) para dados agrupados em classes m4 → Momento de ordem 4 h → Amplitude da classe s 2 → Variância 2.3.21- Escore padronizado xi x zi Observação: xi x afastamento do valor da s observação em relação a media com a divisão pelo Desvio-padrão como unidade de medida z i → Escore padronizado Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 21. xi → Valor genérico da observação ou frequência x → Média aritmética s → Desvio-padrão z>1 → Anormal z<1 → Normal 2.3.22- Assimetria 3 x md AS Observação: assimetria situa-se entre -3 e 3 s AS → Assimetria x → Média aritmética M d → Mediana s → Desvio-padrão Análise da assimetria AS > 1 → Assimetria Moderada AS > 0 → Assimetria positiva AS < 0 → Assimetria negativa 2.3.23- Medidas de assimetria (coeficiente de assimetria) m3 a3 Observação: momento de 3ª ordem dividido pelo cubo do s3 desvio-padrão (indica o sentido da assimetria) a3 → Coeficiente de assimetria de ordem 3 m3 → Momento de ordem 3 s → Desvio-padrão 2.3.24- Índice de assimetria de Pearson x mo A sx Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 22. A → Coeficiente de assimetria de ordem 3 x → Média aritmética Mo → Moda s → Desvio-padrão Análise da assimetria |A| < 0,15 → praticamente a distribuição é simétrica 0,15 < |A| < 1 → Assimetria moderada |A| > 1 → Assimetria forte 2.3.25- Medidas de achatamento ou curtose m4 a4 2 s2 a4 → Coeficiente de curtose m4 → Momento de ordem 4 s 2 → Variância Observação: Coeficiente de curtose é o quociente do momento de 4ª ordem pelo quadrado da variância Análise da assimetria Adimensional < 3 para as distribuições platicúrticas Adimensional = 3 para as distribuições mesocúrticas Adimensional > 3 para as distribuições leptocúrticas Observação: Distribuição normal é mesocúrtica; Distribuições achatadas: platicúrtica e leptocúrtica. Coeficiente de excesso: a4 3 para fixar o zero como referência mesocúrtica. Observação especial: Os tamanhos da população e da amostra permitem estabelecer duas relações importantes: Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
- 23. n Fração de amostragem = N n → Tamanho da amostra N → Tamanho da população N Fator de expansão ou Intervalo de Seleção = n N → Tamanho da população n → Tamanho da amostra Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG