Geometria plana ângulos, triângulos, quadriláteros, cálculo de áreas
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O documento apresenta os principais conceitos de Geometria Plana, incluindo: definição da disciplina e seus principais estudiosos na Grécia Antiga; elementos básicos como ponto, reta e plano; classificação e propriedades de ângulos, triângulos e quadriláteros; e cálculo de áreas de figuras planas.
Geometria plana ângulos, triângulos, quadriláteros, cálculo de áreas
- 1. Geometria Plana Princípios básicos de Geometria Plana. Os estudos iniciais sobre Geometria Plana estão relacionados à Grécia Antiga, também pode ser denominada Geometria Euclidiana em homenagem a Euclides de Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.), grande matemático educado na cidade de Atenas e frequentador da escola fundamentada nos princípios de Platão. Os princípios que levaram à elaboração da Geometria Euclidiana eram baseados nos estudos do ponto, da reta e do plano. O ponto era considerado um elemento que não tinha definição plausível, a reta era definida como uma sequência infinita de pontos e o plano definido através da disposição de retas. As definições teóricas da Geometria de Euclides estão baseadas em axiomas, postulados, definições e teoremas que estruturam a construção de variadas formas planas. Os polígonos são representações planas que possuem definições, propriedades e elementos. Podemos relacionar à Geometria plana os seguintes conteúdos programáticos: Ponto, reta e plano Posições relativas entre retas Ângulos Triângulos Quadriláteros Polígonos Perímetro Áreas de regiões planas Ângulos Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do
- 2. ângulo. A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de medidas, é o grau, representado pelo símbolo º, e seus submúltiplos são o minuto ’ e o segundo ”. Temos que 1º (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’ equivale a 60”(segundos). O objeto capaz de medir o valor de um ângulo é chamado de transferidor, podendo ele ser de “meia volta” (180º) ou volta inteira (360º). Classificação de ângulos Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas: Agudo: ângulo com medida menor que 90º. Reto: ângulo com medida igual a 90º. Obtuso: ângulo com medida maior que 90º. Raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º. agudo reto obtuso raso Bissetriz de um ângulo Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se origina no vértice do ângulo principal, dividindo-o em outros dois ângulos com medidas iguais.
- 3. Retas paralelas cortadas por uma transversal Ângulos correspondentes: a e e, d e h, b e f, c e g Ângulos colaterais externos: a e h, b e g Ângulos colaterais internos: eed, c e f Ângulos alternos externos: a e g, b e h Ângulos alternos internos: d e f, c e e Congruentes Suplementares Suplementares Congruentes Congruentes Tipos de triângulos Classificação segundo a medida relativa dos lados Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados: Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes. Pode-se verificar que um triângulo eqüilátero é também eqüiângulo, ou seja, possui todos os seus ângulos internos congruentes (e com medida 60°). Por este motivo, este tipo de triângulo é também um polígono regular. Um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e, como se pode verificar, são congruentes. Note que os triângulos equiláteros também são isósceles. Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. É possível mostrar que os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes. Denomina-se base o lado sobre qual apóia-se o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente. A seguir é mostrada a classificação de alguns triângulos de acordo com o critério anterior:
- 4. Exemplo de triângulo equilátero Este triângulo é equilátero, pois possui os três lados congruentes. Em particular, como seus lados são dois a dois congruentes, ele é um triângulo isósceles. Pode-se observar que seus todos os seus ângulos internos medem 60°, e por isso ele é equiângulo. Exemplo de triângulo isósceles que não é equilátero Neste triângulo há somente dois lados congruentes: os que têm medida . Por este motivo, o triângulo é isósceles, mas não é equilátero. Além disso, cada um destes dois lados forma um ângulo de medida com a base do triângulo. Exemplo de triângulo escaleno Aqui, cada um dos lados tem um comprimento diferente dos demais. Assim, este é um triângulo escaleno. Observe ainda que nenhum par de ângulos internos tem a mesma medida. Classificação de acordo com seus ângulos internos Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamamse catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares.
- 5. Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos. Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos. Exemplo de triângulo retângulo Um ângulo reto. Possui um ângulo de 90º. Exemplo de triângulo obtusângulo Um ângulo obtuso e dois ângulos agudos. Exemplo de triângulo acutângulo Todos os três ângulos são agudos. Ou seja, menor que 90º Soma dos ângulos internos Na geometria euclidiana, de acordo com o teorema angular de Tales, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou π radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois ângulos. Soma dos ângulos externos Existe também um corolário, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes. Exemplo: Se os ângulos internos de um triângulo forem: a resposta final será assim: Resolução: , . Porque o ângulo externo é a igual à soma dos ângulos internos duas vezes.
- 6. Relações de desigualdades entre lados e ângulos 1ª relação: Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não-adjacentes. 2ª relação: Se dois lados de um triângulo tem medidas diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor ângulo. 3ª relação: Em todo triângulo, qualquer lado tem medida menor que a soma das medidas dos outros dois. Área do triângulo Existem várias formas de se expressar a área A de um triângulo: Dadas a base b e a altura h: Dados dois lados a e b e o ângulo γ entre eles compreendido: Dados os três lados a, b e c: , onde p é o semiperímetro (metade do perímetro). Essa fórmula é conhecida como fórmula de Heron. Se o triângulo for equilátero de lado L, sua área pode ser obtida pela fórmula: Congruência Critério LLL Lado-Lado-Lado. Critério LAL Lado-Ângulo-Lado. Critério ALA Ângulo-Lado-Ângulo. Critério LLAr Lado-Lado-Ângulo reto.
- 7. Semelhança Critério LLL Segundo o critério LLL (lado-lado-lado), existe semelhança entre dois triângulos se os três lados de um são proporcionais aos três lados correspondentes do outro. Critério LAL Segundo o critério LAL (lado-ângulo-lado), existe semelhança entre dois triângulos se têm entre si dois pares de lados correspondentes proporcionais e se os ângulos por eles formados forem iguais. Critério AA Segundo o critério AA (ângulo-ângulo), existe semelhança entre dois triângulos se eles têm dois ângulos iguais. Quadriláteros Definição: Quadrilátero é um polígono de quatro lados. Propriedades: A soma de todos os seus ângulos internos é igual a 360º.
- 8. Os quadriláteros são classificados da seguinte forma : Figuras Figuras Geométricas Definições Propriedades Não Trapézios Paralelogramo Quadrado Rectângulo Paralelogramo é um quadrilátero em que os lados opostos são paralelos. Quadrado é uma figura plana limitada por quatro segmentos, de forma que os seus lados sejam todos iguais entre si (AB.=BD=DC=CA). Rectângulo é uma figura plana limitada por quatro segmentos, de forma a que os seus lados sejam iguais dois a dois (AC=BD e AB=CD). A soma de dois ângulos consecutivos é de 180º; As diagonais cortam-se no ponto médio; Os lados opostos são congruentes; Os ângulos opostos são congruentes; A área Os ângulos deste quadrilátero são todos de 90º; As suas diagonais formam entre si ângulos de 90º; Cada diagonal forma um triângulo isósceles; A área é o quadrado do comprimento do lado (L x L) O perímetro é a soma de todos os seus lados ( L+ L+ L + L) Os lados opostos de um rectângulo são paralelos e iguais entre si; As diagonais de um rectângulo interceptam-se formando pares de ângulos
- 9. opostos e iguais entre si; A área é o produto do seu comprimento pela a sua altura (C x H) O perímetro é a soma de todos os seus lados Losango ou Rombo Losango é um quadrilátero com os lados opostos paralelos (paralelogramo), com os lados todos iguais entre si. Trapézio Isósceles Trapézio isósceles é um quadrilátero que tem apenas dois lados paralelos e de comprimentos diferentes. Trapézio Rectângulo Trapézio rectângulo é um quadrilátero que tem apenas dois lados paralelos e que tem um ângulo recto Trapézio Escaleno Trapézio escaleno é um quadrilátero que tem apenas dois lados paralelos, cujos lados são todos diferentes As suas diagonais são perpendiculares; As suas diagonais são bissectrizes dos ângulos; A área é igual à área do paralelogramo O perímetro é a soma de todos os seus lados Tem dois lados iguais Tem um eixo de simetria Tem um ângulo recto Não tem eixo de simetria Tem os lados todos diferentes Não tem eixo de simetria
- 10. Cálculo de Áreas Conhecer sobre área é conhecer sobre o espaço que podemos preencher em regiões poligonais convexas – qualquer segmento de reta com extremidades na região só terá pontos pertencentes a esta. O cálculo de áreas tem muita aplicabilidade em diferentes momentos, seja em atividades puramente cognitivas, ou até mesmo trabalhistas. Um exemplo de profissional que faz uso dessa ferramenta para tornar possível o desempenho do seu trabalho é o pedreiro. É através do conhecimento de área que é possível estimar a quantidade de cerâmica necessária para pavimentar um determinado cômodo de uma casa, por exemplo. O quadrado O quadrado é uma figura geométrica plana regular em que todos os seus lados e ângulos são iguais. Veja um exemplo de quadrado na figura a seguir:
- 11. Para calcular a área de um quadrado basta que se multipliquem dois dos seus lados l entre si. Exemplo 1 Para pavimentar a sala de sua casa D. Carmem comprou 26 m2 de piso. Sabendo que a sala tem o formato quadrangular e que um dos lados mede 5 m, diga se o piso comprado por D. Carmem será suficiente para pavimentar a sua sala. A sala tem o formato quadrangular; O seu lado mede 5 m; A área do quadrado é A = l 2. Com base nos dados acima temos: Conclui-se então que o piso comprado por D. Carmem será suficiente para pavimentar sua sala e ainda sobrará 1 m2. Lembrete: a unidade de medida de área mais utilizada é o metro quadrado (m2), porém em alguns casos usa-se o km2, cm2, etc. O retângulo O retângulo é uma figura geométrica plana cujos lados opostos são paralelos e iguais e todos os ângulos medem 90º. Confiram o retângulo abaixo:
- 12. Para calcular a área do retângulo, basta que se multipliquem seu comprimento c pela largura l. Exemplo 2 Num campeonato de futebol a equipe organizadora do evento está providenciando o gramado que será plantado em toda área do campo. Para comprar as gramas, a equipe precisa saber a área do campo, pois a grama é vendida por metro quadrado. Sabendo que o campo tem 115 m de comprimento por 75 m de largura e ainda que o campo tem o formato retangular, ajude a equipe a solucionar o problema, diga quantos metros quadrados de área tem o campo de futebol? O triângulo O triângulo é uma figura geométrica plana formada por três lados e três ângulos. A soma dos seus ângulos internos é igual 180º.
- 13. Para calcular a área do triângulo multiplica-se a base b pela altura h e divide o resultado por 2 (metade da área do retângulo). Exemplo 3 Encontre a área de um triângulo cuja base mede 8,2 cm e a altura 3,6 cm. O trapézio O trapézio é uma figura plana com um par de lados paralelos (bases) e um par de lados concorrentes. Para calcular a área do trapézio adiciona-se a base maior c à base menor a, ao resultado da soma multiplica-se a altura, e por fim, divide-se o resultado final por 2.
- 14. Exemplo 4 Um fazendeiro quer saber a área de um lote de terra que acabara de comprar. O lote tem o formato de um trapézio. Sabendo que a frente mede 1020 m, o fundo, 815 m e a distância da frente ao fundo é de 510 m. Determine a área do lote. Conclusão A necessidade geométrica perpassou o tempo e está impregnada em nossas vidas nos dias atuais. O conhecimento da Geometria Plana (Euclidiana) é tão importante que não é possível o caminhar separado da sua prática e do seu entendimento. “Caminhemos sobre as curvas das formas e encontraremos um universo ainda não desbravado”. Robison Sá.