Matemática exercícios resolvidos - 01 m1 geometria métrica plana
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- O proprietário quer dividir uma área em três lotes de acordo com a figura fornecida. - A soma das medidas dos três lotes é igual a 120m. - As medidas corretas dos lotes são: a = 30m, b = 36m e c = 54m.
Matemática exercícios resolvidos - 01 m1 geometria métrica plana
- 1. 112 Matemática 1 (Faap-SP) O proprietário de uma área quer dividi-la em três lotes, conforme a figura. Rua A 20 24 36 a b cRua B Sabendo-se que as laterais dos terrenos são paralelas e que a 0 b 0 c = 120 m, os valores de a, b e c, em metros, são, respectivamente: a) 40, 40 e 40 c) 36, 64 e 20 e) 30, 46 e 44 b) 30, 30 e 60 d) 30, 36 e 54 Devemos ter: a b c 20 24 36 = = a 0 b 0 c = 120 14243 1 2 Daí, obtemos: a = 30 m, b = 36 m e c = 54 m. De e , obtemos:1 2 a b c a b c a b c0 0 0 0 = = = Θ = = = 20 24 36 20 24 36 120 80 20 24 36 4 (UFSC) Na figura abaixo, o é paralelo a 3. Nessas condições, determine o valor de x 0 y. AC DE AB DB y y= Θ = 0 Θ = 15 10 18 18 9 AC DE CB EB x x x= Θ = 0 Θ = 15 10 10 20 A y D 18 B x E 10 10 15 C Os triângulos ACB e DEB são semelhantes. Logo: Logo: x 0 y = 20 0 9 = 29 X 2 (MACK-SP) D A B E C 60) Na figura acima, os ângulos assinalados são iguais, AC = 2 e AB = 6. A medida de 2 é: a) 6 5 b) 7 4 c) 9 5 d) 3 2 e) 5 4 Os triângulos AEB e DCB são semelhantes. Do enunciado, temos a figura: 60) 60) 2 D 2 2 C E A 6 B 60) 60) 60) Então, AE AE 2 6 8 3 2 = Θ = X 3 (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, ao seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tar- de, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pes- soa passou a medir: a) 30 cm c) 50 cm e) 90 cm b) 45 cm d) 80 cm 60 cm = 0,6 m Antes 0,6 2,0 1,8 Po Depois s 1,5 1,8 Po P P o o 2 0 18 0 6 2 0 18 0 6 6 0 , , , , , , ,= Υ = 9 = 6 0 15 18 15 18 6 0 0 45 0 45 45 , , , , , , , ,= Υ = 9 = Θ = s s s m ou cm X M1 - Geometria Métrica Plana
- 2. 113 Matemática 5 (UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros parale- los em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente abala- dos. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os mu- ros utilizando duas barras metálicas, como mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente,aquealturadoníveldochãoasduasbarras se interceptam? Despreze a espessura das barras. a) 1,50 m b) 1,75 m c) 2,00 m d) 2,25 m e) 2,50 m 9 m 3 m X Da figura, temos: De , vem:1 a b b x 0 = 9 3 Substituindo em , vem:3 2 3 9 3 9 3 x b x a a x b x a b= Θ = 9 Θ = De , vem:1 9 3 9 4 2 25 x b b b x x m= 0 Θ = Θ = , 7 (UFF-RJ) O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na figura a seguir: 3 km 3km RuaSQ T P PQ QR 2 km 4 km Q R S SR TS TP As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corre- dor deve percorrer o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S. Assinale a opção que indica o perímetro do circuito. a) 4,5 km c) 20,0 km e) 24,0 km b) 19,5 km d) 22,5 kmX Do enunciado, temos: T P 3 3 y x 2 4Q R S Portanto, o perímetro do circuito é: 4 0 2 0 4,5 0 3 0 6 = 19,5 Θ 19,5 km Os triângulos RQS e RPT são semelhantes. Logo: RQ RP QS PT SR RT y x x = = Θ 0 = = 0 4 4 2 3 3 4 4 2 18 4 5 0 = Θ = Θ = x y y4y , 4 4 2 3 2 6 0 = 0 Θ 0 = Θ = x x x x1 6x x 3 E C 9 A Da b F B • #EFA Κ #CDA 3 x a b a = 0 2 • #ABF Κ #CDF 9 x a b b = 0 1 Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos: x2 = 92 0 122 Θ x2 = 81 0 144 x2 = 225 x = 15 m 4 m h = 16 m B C x A 9 m 9 16 − 4 = 12 m Fazendo a figura, vem: 6 (UFSM-RS) Um fio de antena está preso no topo de um prédio de 16 metros de altura e na cumeeira de uma casa ao lado, a 4 metros de altura. Considerando o terreno plano (horizontal) e sabendo que a distância entre a casa e o pré- dio é de 9 metros, o comprimento do fio é, em metros: a) 12 b) 15 c) 337 d) 20 e) 25X 8 (MACK-SP) As bases de um trapézio isósceles medem 7 e 13. Se a altura do trapézio é 4, o seu perímetro é: a)27 b)25 c)20 d)30 e)40 4 3 E D C F 3 5 54 7 BA 7 13 X O triângulos ADE e BCF da figura são retângulos, congruentes e de catetos medindo 3 e 4. Desta forma, AD BC= = 0 =3 4 52 2 . O perímetro do trapézio ABCD, isósceles, é: AB 0 BC 0 CD 0 DA = 7 0 5 0 13 0 5 = 30
- 3. 114 Matemática Observando o gráfico, temos que os triângulos ACD e ABE são semelhan- tes, logo: A gratificação y que um funcionário recebe quando obtém 100 pontos é a mesma que a recebida quando obtém 90 pontos. 30 0 A B C D E 110 310 y 50 90 no de pontos gratificação (em reais) CD BE DE EA y = Θ − − = − − 110 310 110 90 30 50 30 y − = 110 200 60 20 y − = 110 200 3 y = 710 Θ y = 710 reais 11 (FAM-SP) Uma emissora de rádio de ondas médias, a ZYR-90, deseja instalar uma antena de 28 m de altura. Para fixá-la, serão presos três cabos de aço que ficarão es- ticados do topo da antena ao solo, e todos ficarão a 21 m do seu pé (conforme figura). Supondo que o terreno seja completamente plano e que a antena ficará perfeitamente perpendicular ao solo, quantos metros de cabo de aço se- rão utilizados? a) 90 b) 105 c) 120 d) 135 e) 150 21 m Aplicando o teorema de Pitágoras: x2 = (28)2 0 (21)2 Θ x2 = 784 0 441 x2 = 1 225 x = 35 Como são 3 cabos de aço, o total de me- tros de cabo de aço utilizados será de 3 9 35 = 105 Θ 105 m. Pelos dados, temos: h = 28 21 x X 10 (MACK-SP) Na figura, ABCD é um quadrado ins- crito no triângulo EFG. Se a medida de 4 é 10, o períme- tro do quadrado é: a) 20 b) 15 c) 18 d) 16 e) 17 6 DA F B C E G X 6 6 − x D x x x x A F B C E G 10 ABCD é um quadrado Υ % // t # Κ # Υ − =EAD EFG x x6 6 10 Assim sendo, o perímetro do quadrado ABCD é: 60 15 4 − = Π =10x 6x x 4 4 15 4 15x = 9 = Observando que, entre 30 e 90 pontos, a variação da grati- ficação é proporcional à variação do número de pontos, determine a gratificação que um funcionário receberá no mês em que obtiver 100 pontos. 9 (UFF-RJ) A Cerâmica Marajó concede uma gratifica- ção mensal a seus funcionários em função da produtivi- dade de cada um convertida em pontos; a relação entre a gratificação e o número de pontos está representada no gráfico a seguir. 0 30 110 310 50 90 100 no de pontos gratificação (em reais)
- 4. 115 Matemática 12 (EEM-SP) Um cabo deverá ligar o ponto A, situado na margem esquerda do rio, ao ponto D, situado na mar- gem direita do mesmo rio, 240 metros rio abaixo (confor- me a figura). Suponha que as margens do rio sejam para- lelas e que sua largura seja de 70 metros. Este cabo deverá ser esticado pela margem esquerda do rio, de A até B, 100 metros rio abaixo. Do ponto B atravessará perpendicular- mente a margem do rio para o ponto C. De C seguirá ao longo da margem direita até D. Calcule o comprimento total do cabo e determine qual seria seu comprimento se ele fosse esticado diretamente de A até D. 70m C D BA 100 m 240 m Seja x o comprimento total do cabo. Assim: x = AB 0 BC 0 CD Θ x = 100 0 70 0 140 x = 310 m Seja y o comprimento do cabo esticado de A até D. Logo: (AD)2 = (240)2 0 (70)2 Θ (AD)2 = 62 500 ( )AD 2 62 500= AD = 250 m 14 (PUC-SP) Uma estação de tratamento de água (ETA) localiza-se a 600 m de uma estrada reta. Uma estação de rádio localiza-se nessa mesma estrada, a 1 000 m da ETA. Pretende-se construir um restaurante, na estrada, que fique à mesma distância das duas estações. A distância do restaurante a cada uma das estações deverá ser de: a) 575 m c) 625 m e) 750 m b) 600 m d) 700 m Sendo AB = 1 000 m, AC = 600 m e AR = BR = x, temos: I) Teorema de Pitágoras no #ABC: BC2 0 6002 = 1 0002 Υ BC = 800 II) Teorema de Pitágoras no #ARC: AR2 − RC2 0 6002 Υ x2 = (800 − x)2 0 6002 Υ x = 625 Seja R a posição do restaurante, situado na entrada e eqüidistante das 2 estações. A partir do enunciado, podemos construir a seguinte figura: x x B rádio estrada CR 600 m A (ETA) 1 000 m X 13 (FAM-SP) Eu não conheço o seu, mas o meu namo- rado é muito exigente. Quando ganha um presente, faz questão que o pacote seja muito bem-feito. No Natal, eu inventei de dar uma vara de pescar, ele é lou- co por pescaria. O problema foi embrulhar o presente. Para ficar bem bonito, usei uma caixa de papelão. Como a vara era grande, ela precisou ser colocada exatamente na diagonal do fundo da caixa. Qual o comprimento e a lar- gura da caixa que usei, se a vara de pescar mede exata- mente 0,50 m e um dos lados da base da caixa é 10 cm menor do que o outro? a) 0,45 m e 0,35 m d) 0,35 m e 0,32 m b) 0,40 m e 0,30 m e) 0,55 m e 0,45 m c) 0,35 m e 0,25 m Fazendo a figura de fundo da caixa, temos: x x − 10 0,50 = 50 cm Portanto, o comprimento vale 40 cm = 0,4 m e a largura vale 40 −10 = 30, ou seja, 30 cm ou 0,3 m. Aplicando o teorema de Pitágoras: (50)2 = x2 0 (x − 10)2 Θ 2 500 = x2 0 x2 − 20x 0 100 2x2 − 20x − 2 400 = 0 : 2 x2 − 10x − 1 200 = 0 x1 = 40 x2 = −30 (não serve) X 8 9 B C E D 9 15 F A 27a) Mostre que os triângu- los ABC e BEC são se- melhantes e, em segui- da, calcule AB e EC. b) Calcule AD e FD. 15 (Unifesp-SP) No triângulo ABC da figura, que não está desenhada em escala, temos: BhC ≅ CjE, AlF ≅ BlF, AC = 27, BC = 9, BE = 8, BD = 15 e DE = 9. 27 A D 9 E C B F 15 8 9 b) Na figura, temos que: AD = AC − DC, ou seja, AD = 27 − 12 Ι AD = 15. No triângulo ADB, sendo AD = BD e AlF = BlF, podemos concluir que DF é a altura relativa à base AB do triângulo isósceles ADB. Logo, AF = BF = 12 e AzD = 90). Assim, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ADF, temos que: (FD)2 0 122 = 152 Ι FD = 9 a) Os triângulos ABC e BEC são semelhan- tes, pois têm dois ângulos respectivamen- te congruentes: h = j e k = k Da semelhança dos triângulos, temos que: AB BE BC EC AC BC = = , ou seja, AB EC = = 8 9 27 9 Ι AB = 24 e EC = 3
- 5. 116 Matemática 18 (UFRN) Considere a po- sição da escada na figura ao lado. Sabendo que h = 200 cm, e que o comprimento da escada é H cm, calcule H 17 . 20 cm h h 4 D E x x A BC x 20 H − xh = 200 = 50 h 4 Os triângulos ABC e ADE são semelhantes. AC AE AB AD x H x = Θ − = 20 200 x H x− = 1 10 10x = H − x x H = 11 1 No #ADE, temos: (H − x)2 = 2002 0 502 Υ (H − x)2 = 42 500 2 De e , vem:1 2 H H H H H − = Θ − 0 = 11 42 500 2 11 121 42 500 2 2 2 2 100H2 = 5 142 500 H = 55 17 Portanto: H 17 55 17 17 55= = 19 (Vunesp-SP) O comprimento c de uma circunferên- cia é dado pela fórmula c = 2πr. Um ciclista, cuja bicicleta tem pneus de 20 cm de raio, deu 7 500 pedaladas. Usando a aproximação π = 3 e supondo que cada pedalada corresponde a uma volta completa do pneu, a distância percorrida pelo ciclista foi de: a) 4,5 km c) 45 km e) 900 km b) 9 km d) 150 kmX De acordo com os dados, em cada volta o ciclista andou: C = 2 9 π 9 r Θ C = 2 9 3 9 0,2 Θ C = 1,2 m Como ele deu 7 500 voltas, temos: 7 500 9 1,2 = 9 000 m = 9 km A menor altura que pode ser obtida é: a) 36 cm c) 40 cm e) 44 cm b) 38 cm d) 42 cm 16 (Fuvest-SP) Um banco de altura regulável, cujo as- sento tem forma retangular, de comprimento 40 cm, apóia- se sobre duas barras iguais, de comprimento 60 cm (ver figura 1). Cada barra tem três furos, e o ajuste da altura do banco é feito colocando-se o parafuso nos primeiros, ou nos segundos, ou nos terceiros furos das barras (ver visão lateral do banco, na figura 2). Figura 1 Figura 2 40 cm 60 cm 40 cm 25 cm 25 cm 5 cm5 cm X Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo CMB, resulta que a2 0 202 = 252 . Logo, a = 15 cm Os triângulos ABC e EDC são semelhantes. Assim, temos que b a = 35 25 , A menor altura pode ser obtida quando se coloca o parafuso nos primeiros furos. Considere a figura que repre- senta o parafuso colocado nos primeiros furos, onde h é a me- dida da altura pedida: b a ε ε ε ε M 25 cm A B D E 25 cm 35 cm 35 cm C h 20 cm20 cm 17 (UNILUS-SP) Fazer figuras com papel dobrado é uma arte. Ricardo vai construir um barco e dobrou uma folha de papel conforme a figura. Se a folha tem 18 cm por 12 cm, qual é a medida do segmento 2? A 18 cm 12 cm 12 cm B D C A B E D C Υ a) 6 cm c) 6 5 cm e) 4 5 cm b) 12 cm d) 15 5 cm X Do enunciado, temos: 12 A B18 12 12x E C D 18 − 12 = 6 Aplicando Pitágoras, vem: x2 = 122 0 62 Θ x2 = 144 0 36 x2 = 180 x cm= 6 5 Sendo h = a 0 b, temos que h = 15 0 21, ou seja, h = 36 cm. b Logo b cm= = 15 35 25 21ou seja, . ,
- 6. 117 Matemática A primeira parte da espiral é uma semicircunferência de raio 1 m. Seu com- primento é: C1 = π 9 R1 Θ C1 = 3 9 1 = 3 Θ 3 m A segunda parte da espiral (R2 = 2 m) tem comprimento: C2 = π 9 R2 Θ C2 = 3 9 2 = 6 Θ 6 m A terceira parte da espiral (R3 = 3 m) tem comprimento: C3 = π 9 R3 Θ C3 = 3 9 3 = 9 Θ 9 m A quarta parte da espiral (R4 = 4 m) tem comprimento: C4 = π 9 R4 Θ C4 = 3 9 4 = 12 Θ 12 m O comprimento total da espiral é: C = C1 0 C2 0 C3 0 C4 Θ C = 3 0 6 0 9 0 12 = 30 Θ 30 m O número de tijolos de comprimento 30 cm = 0,3 m é: Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que dis- tam 1 m um do outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento. Considerando π = 3, o número de tijolos necessários para fazer a espiral é: a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 20 (UERJ) José deseja construir, com tijolos, um muro de jardim com a for- ma de uma espiral de dois centros, como mostra a fi- gura ao lado. X 1 m n n= Θ = = 30 0 3 300 3 100 , 21 (UFU-MG) Uma escola resolveu construir uma pis- ta de atletismo em suas dependências. Essa pista deverá ser construída a partir de um retângulo de lados 4R por 2R com uma semicircunferência em cada extremidade, conforme mostra a figura. As raias terão 1 m de largura. R 0 1 R 0 1 4R 4R 4R 2R 1 m O valor de R é: C = 600 m Θ 8R 0 6,28 (R 0 1) = 600 8R 0 6,28R 0 6,28 = 600 14,28R = 593,72 R Λ 41,5 m Que intervalo R (em metros) deverá ser escolhido para que o circuito, em negrito na figura, tenha 600 m de com- primento? (Observação: utilize π = 3,14.) a) (41, 42) b) (40, 41) c) (42, 43) d) (39, 40)X Da figura, temos: O comprimento da pista é: C = 4R 0 4R 0 2π (R 0 1) C = 8R 0 6,28 (R 0 1) 22 (Fatec-SP) Em um motor há duas polias ligadas por uma correia, de acordo com o esquema abaixo. Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre seus centros é 30 cm, qual das medidas abaixo mais se aproxi- ma do comprimento da correia? a) 122,8 cm c) 92,8 cm e) 32,4 cm b) 102,4 cm d) 50 cm X 10 10 30 A B CD De acordo com o enunciado, o comprimento da correia, em centímetros, é: 5 0 AB 0 g 0 CD = π 9 10 0 30 0 π 9 10 0 30 = 60 0 20π Λ 122,8 23 (UESPI) Dado um quadrado de lado 5 cm, a razão entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito ao qua- drado, nessa ordem, é: a) 2 2 b) 2 c) 1 d) 5 2 e) 5 2 2X Fazendo as figuras: 55 5 R R 5 r r r = 5 2 r = 5 2 5 5 Aplicando Pitágoras, vem: 5 5 2 2 2 2 2 2 = 0 Θ =R R R R = 9 9 5 2 2 2 R = 5 2 2 Logo R r : = = 5 2 2 5 2 2
- 7. 118 Matemática 24 (MACK-SP) Por um ponto P que dista 10 do centro de uma circunferência de raio 6, traçam-se as tangentes à circunferência. Se os pontos de tangência são A e B, então a medida do segmento AB é igual a: a)9,6 b)9,8 c)8,6 d)8,8 e)10,5 No triângulo retângulo APO, temos que: (PA)2 0 (AO)2 = (PO)2 Υ (PA)2 0 62 = 102 Ι PA = 8 Ainda, nesse triângulo: (PO) 9 h = (PA) 9 (AO) Υ 10 9 h = 8 9 6 Ι h = 4,8 Como AB = 2h, então AB = 9,6. Do enunciado, temos a figura: 90 cm = 6 9 15 cm 1,2 m = 8 9 15 cm P O 6 A B 6 MN 4 h h 25 (UFRJ) Quantos azulejos quadrados de lado 15 cm são necessários para cobrir uma parede retangular de 90 cm por 1,2 m? O número total de azulejos necessários para cobrir a parede é, portanto, 6 9 8 = 48. Observe a figura abaixo: 26 (Vunesp-SP) Para ladrilhar uma sala são necessá- rias exatamente 400 peças iguais de cerâmica na forma de um quadrado. Sabendo-se que a área da sala é 36 m2 , determine: a) a área de cada peça, em metros quadrados b) o perímetro de cada peça, em metros Logo, o perímetro pedido é 4 9 0,3 = 1,2. a) Sendo A a área pedida, então: A A= Ι = 36 400 , ou seja, 9 100 0 09, . b) Sendo σ a medida do lado de cada peça, temos: σ = 0 09, σ = σ = Ι σ = 9 100 3 10 0 3, ou seja, , 27 (Acafe-SC) Um terreno tem a forma e as medidas indicadas na figura a seguir. Querendo gramar 3 7 desse terreno, sendo que cada placa de grama cobre 2,5 m2 do mesmo, o número de placas que se deve usar é: a) 600 b) 480 c) 720 d) 800 e) 1 200 Pelos dados, temos: 60 m 40 m 60 m 30 m 40 30 30 30 60 100 A área do terreno vale: A = 40 9 30 0 30 9 100 Θ A = 4 200 m2 Como vai ser gramado 3 7 de A, temos: A A m1 1 2 3 7 4 200 1 800= 9 Θ = O número necessário de placas é: N N placas= Θ = 1 800 2 5 720 , Seja A a área da sala retangular. Logo: A = 45 9 3,2 9 0,25 Θ A = 36 m2 Seja x a área de cada peça quadrada. Logo: x = 0,40 9 0,40 Θ x = 0,16 m2 Portanto: 28 (Unicentro-PR) Um construtor calculou que serão necessárias 45 tábuas de 3,2 m de comprimento por 0,25 m de largura para revestir todo o piso de uma sala retangular. O proprietário, preferindo comprar peças quadradas de granito com 0,40 m de lado, necessitará, para revestir todo o piso, de uma quantidade mínima de peças igual a: a) 62 b) 84 c) 120 d) 208 e) 225 X X X N N peças= Θ = 36 0 16 225 , ON = 6
- 8. 119 Matemática 29 (Unitau-SP) Um terreno tem forma retangular. Sabe-se que seus lados são dois números inteiros conse- cutivos e sua área é de 20 m2 . Quais as dimensões desse terreno? 20 m2 x 0 1 x Representando o terreno, temos: Se x = 4, x 0 1 = 4 0 1 = 5 As dimensões do terreno são: 4 m e 5 m. x(x 0 1) = 20 Θ x2 0 x − 20 = 0 xδ = 4 xφ = −5 (não serve) A capacidade do açude em litros pode ser estimada multi- plicando-se a área de sua superfície pela profundidade, lem- brando que 1 m3 corresponde a 103 litros. Se a profundi- dade média do açude é 2 m e ele estiver completamente cheio, aproximadamente quantas famílias com consumo mensal de 2 9 104 litros de água cada uma poderiam ser atendidas em um mês? A resposta correta é: a) 640 c) 6 400 e) 64 000 b) 1 600 d) 16 000 30 (Fatec-SP) Em certa região árida prevê-se construir um açude, cuja superfície tem aproximadamente a forma de um losango, conforme a vista superior apresentada. 800 m 400 m X 800 m 400 m B D CA A capacidade V do açude é tal que V = 160 000 m2 9 2 m = 320 000 m3 = 32 9 104 9 103 σ Υ V = 32 9 107 σ O número n de famílias atendidas é tal que A área S da superfície do açude é tal que S AC BD m= 9 = 9 = 2 800 400 2 160 000 2 n V = 9 σ = 9 σ 9 σ = 9 = 2 10 32 10 2 10 16 10 16 0004 7 4 3 31 (UFF-RJ) Num terreno retangular com 104 m2 de área, deseja-se construir um jardim, também retangular, medindo 9 m por 4 m, contornado por uma calçada de largura L, como indica a figura. Calcule o valor de L. L L calçada jardim (4 0 2L)(9 0 2L) = 104 Υ 36 0 8L 0 18L 0 4L2 = 104 4L2 0 26L − 68 = 0 Υ 2L2 0 13L − 34 = 0 L 4 L LL 9 Ι L = 2 m L = − Σ 013 169 272 4 2 − 34 4 32 (UFJF-MG) Um clube recreativo vai colocar piso nu- ma área externa retangular e vai cercar as laterais com uma tela, com exceção de uma abertura de entrada. Essa área está representada na figura abaixo com suas dimen- sões dadas, em metros, em função do comprimento L. A empresa contratada para o serviço cobra R$ 10,00 por metro quadrado de piso e R$ 2,50 por metro colocado de tela. A expressão que fornece o preço total do serviço, em função do comprimento L, é: a) 10L2 0 5L b) 5L2 0 7L c) L2 0 14L d) 10L2 0 L e) 5L2 0 7,5L Entrada L L 2 L 5 X O perímetro é igual a: P L L L L L L L L L L L L = 0 0 0 − = 0 0 0 − = = 2 2 5 10 10 5 5 2 10 28 10 14 5 O preço é igual a: A área é igual a: A L L L = 9 = 2 2 2 10 00 2 2 50 14 5 5 7 2 2 , ,9 0 9 = 0 L L L L
- 9. 120 Matemática b) S = x(17 − 2x) = 36 Π 2x2 − 17x 0 36 = 0 Π x = 4 ou x = 9 2 Π Π x = 4, pois x 7 Β Se x = 4, então y = 17 − 2 9 4 = 9 Ι x = 4 m e y = 9 m Se 17 m de corda (esticada e sem sobras) foram suficien- tes para cercar 3 lados da região, a saber, os dois lados menores de medida x e um lado maior de medida y, dados em metros, determine: a) a área (em m2 ) da região isolada, em função do lado menor; b) a medida dos lados x e y da região retangular, sabendo- se que a área da região era de 36 m2 e a medida do lado menor era um número inteiro. 33 (UERJ) Uma empreiteira deseja dividir um grande terreno em vários lotes retangulares de mesma área, correspondente a 156 m2 . Em cada lote, será construída uma casa retangular que ocupará uma área de 54 m2 , aten- dendo à exigência da prefeitura da cidade, de que seja cons- truída mantendo 3 m de afastamento da frente e 3 m do fundo do lote, bem como 2 m de afastamento de cada uma das laterais. a) Indique as dimensões de cada casa a ser construída, de modo que cada lote tenha o menor perímetro possível. b) O piso da área não ocupada pela casa, em cada lote, será revestido por lajotas quadradas de 40 cm de lado, vendidas apenas em caixas, contendo, cada uma, onze unidades. Sabendo que há uma perda de 10% de lajotas durante a colocação, especifique o número mínimo de caixas ne- cessárias, por lote, para revestir o piso da área não ocu- pada pela casa. y x y xx a) Tem-se que: x 0 y 0 x = 17 Π y = 17 − 2x A área da região é: S = x 9 y ou S = x 9 (17 − 2x), com 0 , x , 8,5. 34 (Vunesp-SP) Em um acidente automobilístico, foi isolada uma região retangular, como mostrado na figura. 35 (UERJ) Uma folha de papel retangular, como a da figura 1, de dimensões 8 cm Ο 14 cm, é dobrada como indicado na figura 2. Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono ADCEB, em cm2 , é igual a: a) 112 b) 88 c) 64 d) 24 Da figura, temos: (AE)2 = 82 0 62 Θ (AE)2 = 100 Θ AE = 10 cm Como AB = 8 cm, vem: (AE)2 = (AB)2 0 (BE)2 Θ 100 = 64 0 (BE)2 BE = 6 cm A área da figura hachurada é dada por: área do retângulo ABCD menos duas vezes a área do triângulo ABE: X A B D C Figura 1 A E B D C Figura 2 A E 8 cm 8 cm 6 cm B D C 8 14 2 8 6 2 48 64 64 2 9 − 9 9 = − = Θ112 cm a) x 9 y = 54 (x 0 6)(y 0 4) = 156 123 1 Resolvendo o sistema, temos: xy 0 4x 0 6y 0 24 = 156 Θ 54 0 4x 0 6y 0 24 = 156 4x 0 6y = 78 2x 0 3y = 39 2 Substituindo em , obtemos:1 2x2 − 39x 0 162 = 0 x1 = 6 x2 = 13,5 De , vem: De , vem: y1 = 9 e y2 = 4 Logo, x = 6 m e y = 9 m 701,25 lajotas 0 11 lajotas = 63,75 caixas Número mínimo de caixas: 64 caixas b) área não ocupada = área do lote − área de casa área não ocupada = 156 m2 − 54 m2 = 102 m2 área da lajota = 1 600 cm2 = 0,16 m2 número de lajotas necessárias para revestir o piso da área não ocu- pada = 102 0 16 637 5 , ,= Θ 637,5 lajotas 100% 637,5 110% x CASA x y 3 m 3 m 2 m 2 m y x = −39 2 3 Υ = 9 Λx 11 637 5 10 701 25 , ,lajotas lajotas 2 2