Matemática – produtos notáveis 02 2013
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O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos. Inclui identidades como (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 e (a - b)(a + b) = a2 - b2. Há também exercícios para cálculo e desenvolvimento destas expressões algébricas.
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MATEMÁTICA – PRODUTOS NOTÁVEIS 02- 2013
QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)
_______________= a² + ab+ ab + b²
_______________= a² + 2ab + b²
Conclusão:
(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo
termo) + (segundo termo)²
QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)
______________= a² - ab- ab + b²
______________= a² - 2ab + b²
Conclusão:
(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo)
+ (segundo termo)²
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
(a + b). (a – b) = a² - ab + ab - b² = a²- b²
conclusão:
(primeiro termo)² - (segundo termo)²
CUBO DA SOMA OU DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
a) (a + b)³ = (a + b) . (a + b)²
------------=(a + b) . (a² + 2ab + b²)
-------------= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
-------------= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
b) (a – b)³ = (a - b) . (a – b)²
-------------= ( a – b) . ( a² - 2ab + b²)
------------ = a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³
------------ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
c) ( x + 5 )³ = x³ + 3x²5 + 3x5² + 5 ³
-------------- = x³ + 15x² + 75x +125
d) (2x – y )³ = (2x)³ - 3(2x)²y + 3(2x)y² - y³
--------------- = 8x³ - 3(4x²)y + 6xy² - y³
--------------- = 8x³ - 12x²y + 6xy² - y³
QUADRADO DE UM TRINÔMIO
Exercícios
1) Calcule:
a) (3 + x)² = ( R: 9 + 6x +x²)
b) (x + 5)² = ( R: x² + 10x + 25)
c) ( x + y)² = ( R: x² + 2xy +y²)
d) (x + 2)² = ( R: x² + 4x + 4)
e) ( 3x + 2)² = ( R: 9x² + 12x +4)
f) (2x + 1)² = (R: 4x² + 4x + 1)
g) ( 5+ 3x)² = (R: 25 + 30x + 9x²)
h) (2x + y)² = (R: 4x² + 4xy + y²)
i) (r + 4s)² = (R: r² + 8rs + 16s²)
j) ( 10x + y)² = (R: 100x² + 20xy + y²)
l) (3y + 3x)² = (R: 9y² + 18xy + 9x²)
m) (-5 + n)² = (R: 25 -10n + n²)
n) (-3x + 5)² = (R: 9x² - 30x + 25)
o) (a + ab)² = (R: a² + 2a²b + a²b²)
p) (2x + xy)² = (R: 4x² + 4x²y + x²y²)
q) (a² + 1)² = (R: (a²)² + 2a² + 1)
r) (y³ + 3)² = [R: (y³)² + 6y³ + 9]
s) (a² + b²)² = [R: (a²)² + 2a²b² + (b²)²]
t) ( x + 2y³)² = [R: x² + 4xy³ + 4(y³)²]
u) ( x + ½)² = (R: x² +x + 1/4)
v) ( 2x + ½)² = (R: 4x² + 2x + 1/4)
x) ( x/2 +y/2)² = [R: x²/4 + 2xy/4 + y²/4]
2) Calcule:
a) ( 5 – x)² = (R: 25 – 10x + x²)
b) (y – 3)² = (R: y² - 6y + 9)
c) (x – y)² = (R: x² - 2xy + y²)
d) ( x – 7)² = (R: x² - 14x + 49)
e) (2x – 5) ² = (R: 4x² - 20 x + 25)
f) (6y – 4)² = (R: 36y² - 48y + 16)
g) (3x – 2y)² = (R: 9x² - 12xy + 4y²)
h) (2x – b)² = (R: 4x² - 4xb + b²)
i) (5x² - 1)² = [R: 25(x²)² - 10x² + 1)
j) (-3x – 5)² =
3) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:
a) (x + y) . ( x - y) = (R : x² - y²)
b) (y – 7 ) . (y + 7) = ( R : x² - 49)
c) (x + 3) . (x – 3) = ( R: x² - 9)
d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = ( R: 4x² - 25)
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) = ( R: 9x² - 4 )
f) (5x + 4 ) . (5x – 4) = ( R: 25x² - 16)
g) (3x + y ) (3x – y) = (R: 9x² - y² )
h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) = ( R: 1 - 25x² )
i) (2x + 3y) . (2x – 3y) = ( R: 4x² - 9y² )
j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) = (R: 49 - 36x²)](https://image.slidesharecdn.com/matemticaprodutosnotveis02-2013-130826210256-phpapp02/85/Matematica-produtos-notaveis-02-2013-1-320.jpg)
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4) Desenvolva:
a) ( x + y)³ = (R: x³ + 3x²y + 3xy² + y³)
b) (x – y)³ = (R: x³ - 3x²y + 3xy² - y³)
c) (m + 3)³ = ( R: m³ + 9m² + 27m +27)
d) (a – 1 )³ = (R: a³ - 3a² + 3a -1)
e) ( 5 – x)³ = (R: 125 - 75x + 15x² -x³)
f) (-a - b)³
5) Calcule:
a) (x + 1)² + (x + 2)² - (2x + 1)² = (R: = -2x² + 2x + 4)
b) (x + 1).(x + 2) – 2.(x + 2)² + (x + 2).(x + 3) = (R: = 0)
c) (2x – 1)² - (x – 2)² + 3.(1 – x²) = (R: = 0)
b) (a + b)² - (a – b)² = (R: = 4ab)
6) Calcular:
a) (103)² = (R: = 10609)
b) 53.47 = (R: = 2491)
c) 101 . 99 =
d) 41 . 39 =
7) A expressão (a + b)(a – b)(a² + b²) é igual a: [R. a2
– b2
]
8) O polinômio (x + 5)(x – 5)(x² - 25) é idêntico a:
[R. x4
– 50 x2
+ 625]
9) Observando a figura abaixo, notamos que a área de um dos
quadrados é x² e a área de um dos retângulos é 6x. Nessas
condições responda:
a) Qual é a área do retângulo 1?
b) Qual é a área do quadrado 2?
c) Qual é a área total da figura?
[R. a) A1 = 6.x = 6x /// b) A2 = 6.6 = 36 /// c) At = 36 +
12x + x²]
10) Qual é o polinômio P que devemos adicionar a (x – 2)³
para obter ( x + 3 )³ ?
[R. = 15x² + 15x + 35]
11) Dois números, x e y, são tais que x = 2a + 2 e y = 2a.
Sabendo que x² - y² = 20, determine o valor de a e o valor do
quociente x : y. [R. = 3/2]
12) Sabe-se que x² + y² = 25 e que xy = 12.
Nessas condições, qual é o valor da expressão (x + y)² ?
[R. = 49]
13) Calcular o valor numérico das seguintes expressões
a) 7a²b + 4ab² + 3a³ + (2ab – b).b² ; para a =3 e b =2.
[R. = 295]
14) Reduza a expressão a sua
forma mais simples.
15) Qual a soma dos algarismos do resultado do produto
1.000.100 x 999.900?
16) Sabendo-se que (6299816401)
2
= a
2
+ b
2
, qual o valor do
produto 6299816397 x 6299816405?
17) Se , o valor de é:
a) 41 b) 43 c) 45 d) 47 e) 49
18) Se k - , o valor de é?](https://image.slidesharecdn.com/matemticaprodutosnotveis02-2013-130826210256-phpapp02/85/Matematica-produtos-notaveis-02-2013-2-320.jpg)
Matemática – produtos notáveis 02 2013
- 1. MATEMÁTICA – PRODUTOS NOTÁVEIS 02- 2013 Página 1 MATEMÁTICA – PRODUTOS NOTÁVEIS 02- 2013 QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b) _______________= a² + ab+ ab + b² _______________= a² + 2ab + b² Conclusão: (primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)² QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b) ______________= a² - ab- ab + b² ______________= a² - 2ab + b² Conclusão: (primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)² PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS (a + b). (a – b) = a² - ab + ab - b² = a²- b² conclusão: (primeiro termo)² - (segundo termo)² CUBO DA SOMA OU DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS a) (a + b)³ = (a + b) . (a + b)² ------------=(a + b) . (a² + 2ab + b²) -------------= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ -------------= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ b) (a – b)³ = (a - b) . (a – b)² -------------= ( a – b) . ( a² - 2ab + b²) ------------ = a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³ ------------ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ c) ( x + 5 )³ = x³ + 3x²5 + 3x5² + 5 ³ -------------- = x³ + 15x² + 75x +125 d) (2x – y )³ = (2x)³ - 3(2x)²y + 3(2x)y² - y³ --------------- = 8x³ - 3(4x²)y + 6xy² - y³ --------------- = 8x³ - 12x²y + 6xy² - y³ QUADRADO DE UM TRINÔMIO Exercícios 1) Calcule: a) (3 + x)² = ( R: 9 + 6x +x²) b) (x + 5)² = ( R: x² + 10x + 25) c) ( x + y)² = ( R: x² + 2xy +y²) d) (x + 2)² = ( R: x² + 4x + 4) e) ( 3x + 2)² = ( R: 9x² + 12x +4) f) (2x + 1)² = (R: 4x² + 4x + 1) g) ( 5+ 3x)² = (R: 25 + 30x + 9x²) h) (2x + y)² = (R: 4x² + 4xy + y²) i) (r + 4s)² = (R: r² + 8rs + 16s²) j) ( 10x + y)² = (R: 100x² + 20xy + y²) l) (3y + 3x)² = (R: 9y² + 18xy + 9x²) m) (-5 + n)² = (R: 25 -10n + n²) n) (-3x + 5)² = (R: 9x² - 30x + 25) o) (a + ab)² = (R: a² + 2a²b + a²b²) p) (2x + xy)² = (R: 4x² + 4x²y + x²y²) q) (a² + 1)² = (R: (a²)² + 2a² + 1) r) (y³ + 3)² = [R: (y³)² + 6y³ + 9] s) (a² + b²)² = [R: (a²)² + 2a²b² + (b²)²] t) ( x + 2y³)² = [R: x² + 4xy³ + 4(y³)²] u) ( x + ½)² = (R: x² +x + 1/4) v) ( 2x + ½)² = (R: 4x² + 2x + 1/4) x) ( x/2 +y/2)² = [R: x²/4 + 2xy/4 + y²/4] 2) Calcule: a) ( 5 – x)² = (R: 25 – 10x + x²) b) (y – 3)² = (R: y² - 6y + 9) c) (x – y)² = (R: x² - 2xy + y²) d) ( x – 7)² = (R: x² - 14x + 49) e) (2x – 5) ² = (R: 4x² - 20 x + 25) f) (6y – 4)² = (R: 36y² - 48y + 16) g) (3x – 2y)² = (R: 9x² - 12xy + 4y²) h) (2x – b)² = (R: 4x² - 4xb + b²) i) (5x² - 1)² = [R: 25(x²)² - 10x² + 1) j) (-3x – 5)² = 3) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos: a) (x + y) . ( x - y) = (R : x² - y²) b) (y – 7 ) . (y + 7) = ( R : x² - 49) c) (x + 3) . (x – 3) = ( R: x² - 9) d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = ( R: 4x² - 25) e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) = ( R: 9x² - 4 ) f) (5x + 4 ) . (5x – 4) = ( R: 25x² - 16) g) (3x + y ) (3x – y) = (R: 9x² - y² ) h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) = ( R: 1 - 25x² ) i) (2x + 3y) . (2x – 3y) = ( R: 4x² - 9y² ) j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) = (R: 49 - 36x²)
- 2. MATEMÁTICA – PRODUTOS NOTÁVEIS 02- 2013 Página 2 4) Desenvolva: a) ( x + y)³ = (R: x³ + 3x²y + 3xy² + y³) b) (x – y)³ = (R: x³ - 3x²y + 3xy² - y³) c) (m + 3)³ = ( R: m³ + 9m² + 27m +27) d) (a – 1 )³ = (R: a³ - 3a² + 3a -1) e) ( 5 – x)³ = (R: 125 - 75x + 15x² -x³) f) (-a - b)³ 5) Calcule: a) (x + 1)² + (x + 2)² - (2x + 1)² = (R: = -2x² + 2x + 4) b) (x + 1).(x + 2) – 2.(x + 2)² + (x + 2).(x + 3) = (R: = 0) c) (2x – 1)² - (x – 2)² + 3.(1 – x²) = (R: = 0) b) (a + b)² - (a – b)² = (R: = 4ab) 6) Calcular: a) (103)² = (R: = 10609) b) 53.47 = (R: = 2491) c) 101 . 99 = d) 41 . 39 = 7) A expressão (a + b)(a – b)(a² + b²) é igual a: [R. a2 – b2 ] 8) O polinômio (x + 5)(x – 5)(x² - 25) é idêntico a: [R. x4 – 50 x2 + 625] 9) Observando a figura abaixo, notamos que a área de um dos quadrados é x² e a área de um dos retângulos é 6x. Nessas condições responda: a) Qual é a área do retângulo 1? b) Qual é a área do quadrado 2? c) Qual é a área total da figura? [R. a) A1 = 6.x = 6x /// b) A2 = 6.6 = 36 /// c) At = 36 + 12x + x²] 10) Qual é o polinômio P que devemos adicionar a (x – 2)³ para obter ( x + 3 )³ ? [R. = 15x² + 15x + 35] 11) Dois números, x e y, são tais que x = 2a + 2 e y = 2a. Sabendo que x² - y² = 20, determine o valor de a e o valor do quociente x : y. [R. = 3/2] 12) Sabe-se que x² + y² = 25 e que xy = 12. Nessas condições, qual é o valor da expressão (x + y)² ? [R. = 49] 13) Calcular o valor numérico das seguintes expressões a) 7a²b + 4ab² + 3a³ + (2ab – b).b² ; para a =3 e b =2. [R. = 295] 14) Reduza a expressão a sua forma mais simples. 15) Qual a soma dos algarismos do resultado do produto 1.000.100 x 999.900? 16) Sabendo-se que (6299816401) 2 = a 2 + b 2 , qual o valor do produto 6299816397 x 6299816405? 17) Se , o valor de é: a) 41 b) 43 c) 45 d) 47 e) 49 18) Se k - , o valor de é?
- 3. MATEMÁTICA – PRODUTOS NOTÁVEIS 02- 2013 Página 3 GABARITO - MATEMÁTICA – PRODUTOS NOTÁVEIS 01- 2013
- 4. MATEMÁTICA – PRODUTOS NOTÁVEIS 02- 2013 Página 4