Mecanica dos Materiais Beer Johnston 7 edicao.pdf

Objetivos
Neste capítulo vamos:
„
„ Revisar a estática necessária para determinar forças em
elementos de estruturas simples.
„
„ Introduzir o conceito de tensão.
„
„ Definir os diferentes tipos de tensão: tensão normal axial, tensão
de cisalhamento e tensão de contato.
„
„ Discutir as duas tarefas principais dos engenheiros, a saber, o
projeto e a análise das estruturas e máquinas.
„
„ Desenvolver estratégias para solução de problemas.
„
„ Discutir as componentes de tensão em diferentes planos e sob
condições de carregamento diversas.
„
„ Discutir as muitas considerações de projeto que um engenheiro
deve revisar antes de elaborar um projeto.
Tensões ocorrem em todas as estruturas sob a ação de
forças. Este capítulo examinará os estados de tensão
nos elementos mais simples tais como os elementos de
dupla força, os parafusos e os pinos utilizados em muitas
estruturas.
Introdução —
O conceito de tensão
1
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2
Mecânica dos Materiais
Introdução
O principal objetivo do estudo da mecânica dos materiais é proporcionar
ao futuro engenheiro os meios para analisar e projetar várias máquinas e es-
truturas portadoras de carga envolvendo a determinação das tensões e defor-
mações. Este primeiro capítulo é dedicado ao conceito de tensão.
A Seção 1.1 apresenta um rápido exame dos métodos básicos da estática
e sua aplicação na determinação das forças nos elementos conectados por
pinos que formam uma estrutura simples. A Seção 1.2 apresentará o conceito
de tensão em um elemento estrutural e mostrará como essa tensão pode ser
determinada a partir da força nesse elemento. A seguir, você estudará su-
cessivamente as tensões normais em uma barra sob carga axial, as tensões
de cisalhamento originadas pela aplicação de forças transversais equivalen-
tes e opostas e as tensões de esmagamento criadas por parafusos e pinos em
barras por eles conectadas.
A Seção 1.2 termina com uma descrição do método que você deverá uti-
lizar na solução de determinado problema e com uma discussão da precisão
numérica apropriada aos cálculos de engenharia. Esses vários conceitos serão
aplicados na análise das barras de estrutura simples considerada anteriormente.
Na Seção 1.3, examinaremos novamente um elemento de barra sob car-
ga axial, e será observado que as tensões em um plano oblíquo incluem as
componente de tensões normal e de cisalhamento, ao passo que a Seção 1.4
abordará a necessidade de seis componentes para descrever o estado de tensão
em um ponto de um corpo, sob as condições mais generalizadas de carga.
Finalmente, a Seção 1.5 será dedicada à determinação do limite de re-
sistência de um material através de ensaios de corpos de prova e a seleção
de coeficiente de segurança aplicados ao cálculo da carga admissível de um
componente estrutural feito com esse material.
1.1
Um Breve Exame dos Métodos da Estática
Considere a estrutura mostrada na Fig. 1.1, projetada para suportar uma
carga de 30 kN. Ela consiste em uma barra AB com uma seção transversal re-
tangular de 30 3 50 mm e uma barra BC com uma seção transversal circular
com diâmetro de 20 mm. As duas barras estão conectadas por um pino em B e
são suportadas por pinos e suportes em A e C, respectivamente. Nosso primeiro
passo será desenhar um diagrama de corpo livre da estrutura, separando-a de
seus suportes em A e C e mostrando as reações que esses suportes exercem na
estrutura (Fig. 1.2). Note que o croqui da estrutura foi simplificado, omitindo-se
todos os detalhes desnecessários. Muitos leitores devem ter reconhecido neste
ponto que AB e BC são barras simples. Para aqueles que não perceberam, va-
mos proceder à nossa análise, ignorando esse fato e assumindo que as direções
das reações em A e C são desconhecidas. Cada uma dessas reações, portanto,
será representada por duas componentes: Ax e Ay em A e Cx e Cy em C.
Escrevemos as três equações de equilíbrio a seguir:
(1.1)
(1.2)
(1.3)
Ay Cy 30 kN
Ay Cy 30 kN 0
c Fy 0:
Cx Ax Cx 40 kN
Ax Cx 0
S Fx 0:
Ax 40 kN
Ax10,6 m2 130 kN210,8 m2 0
g MC 0:
Foto 1.1 Guindastes utilizados para carregar e
descarregar navios.
Introdução
1.1 Um breve exame dos métodos da
estática
1.2 Tensões nos elementos de uma estrutura
1.2.1 Tensão axial
1.2.2 Tensão de cisalhamento
1.2.3 Tensão de esmagamento em conexões
1.2.4 Aplicação a análise e projeto de
estruturas simples
1.2.5 Método de solução do problema
1.3 Tensão em um plano oblíquo sob
carregamento axial
1.4 Tensão sob condições gerais de
carregamento; componentes de tensão
1.5 Considerações de projeto
1.5.1 Determinação do limite de resistência de
um material
1.5.2 Carga admissível e tensão admissível;
coeficiente de segurança
1.5.3 Seleção de um coeficiente de segurança
apropriado
1.5.4 Coeficiente de projeto para carga e
resistência

Capítulo 1 • Introdução — O conceito de tensão 3

(1.1)
(1.2)
(1.3)
Ay Cy 30 kN
Ay Cy 30 kN 0
c Fy 0:
Cx Ax Cx 40 kN
Ax Cx 0
S Fx 0:
Ax 40 kN
Ax10,6 m2 130 kN210,8 m2 0
g MC 0:
Encontramos duas das quatro incógnitas, mas não podemos determinar as
outras duas a partir dessas equações e tampouco obter uma equação indepen-
dente adicional a partir do diagrama de corpo livre da estrutura. Precisamos
agora desmembrar a estrutura. Considerando o diagrama de corpo livre da
barra AB (Fig. 1.3), temos a seguinte equação de equilíbrio:

(1.4)
Ay10,8 m2 0 Ay 0
g MB 0:
Substituindo Ay de (1.4) em (1.3), obtemos Cy 5 130 kN. Expressando os
resultados obtidos para as reações em A e C na forma vetorial, temos
A 40 kN S Cx 40 kN d Cy 30 kNc
Notamos que a reação em A é dirigida ao longo do eixo da barra AB e
provoca compressão nessa barra. Observando que as componentes Cx e Cy da
reação em C são, respectivamente, proporcionais às componentes horizontal
e vertical da distância de B a C, concluímos que a reação em C é igual a 50
kN e dirigida ao longo do eixo da barra BC, provocando tração nessa barra.
Esses resultados poderiam ter sido previstos reconhecendo que AB e BC
são barras simples, ou seja, elementos submetidos apenas a forças em dois
pontos, sendo esses dois pontos A e B para a barra AB, e B e C para a barra
BC. Sem dúvida, para uma barra simples, as linhas de ação das resultantes
das forças agindo em cada um dos dois pontos são iguais e opostas e passam
através de ambos os pontos. Utilizando essa propriedade, poderíamos ter
obtido uma solução mais simples considerando o diagrama de corpo livre
do pino B. As forças no pino B são as forças FAB e FBC exercidas, respec-
Fig. 1.1 Barra usada para suportar uma carga de 30 kN.
800 mm
50 mm
30 kN
600 mm
d = 20 mm
C
A
B
Fig. 1.2 Diagrama de corpo livre da barra
apresentando a carga aplicada e as forças
de reação.
30 kN
0,8 m
0,6 m
B
Cx
Cy
Ay
C
A
Ax
Fig. 1.3 Diagrama de corpo livre da barra
AB separada da estrutura.
30 kN
0,8 m
Ay By
A B
Ax Bz

4
tivamente, pelas barras AB e BC e a carga de 30 kN (Fig. 1.4a). Podemos
expressar que o pino B está em equilíbrio e desenhar o triângulo de forças
correspondente (Fig. 1.4b).
Como a força FBC está dirigida ao longo da barra BC, sua inclinação é a
mesma de BC, ou seja, 3y4. Então temos a proporção
FAB
4
FBC
5
30 kN
3
da qual obtemos
FAB 40 kN FBC 50 kN
As forças F9AB e F9BC exercidas pelo pino B, respectivamente, na barra AB e na
haste BC são iguais e opostas a FAB e FBC (Fig. 1.5).
FBC
F'BC
C
D
FBC
F'BC
B
D
Fig. 1.6 Diagramas de corpo livre das seções da haste BC.
Conhecendo as forças nas extremidades de cada um dos elementos,
podemos agora determinar suas forças internas. Cortando a barra BC em
algum ponto arbitrário D, obtemos duas partes BD e CD (Fig. 1.6). Para
restaurar o equilíbrio das partes BD e CD separadamente, quando em B
aplica-se uma carga externa de 30 kN, é necessário que na seção em D exista
uma força interna de 50 kN. Verificamos ainda, pelas direções das forças
FBC e F9BC na Fig. 1.6, que a barra está sob tração. Um procedimento similar
nos permitiria determinar que a força interna na barra AB é 40 kN e que a
barra está sob compressão.
1.2 Tensões nos elementos de uma estrutura
1.2.1 Tensão axial
Embora os resultados obtidos na seção anterior representem uma primeira
e necessária etapa na análise da estrutura apresentada, eles não nos dizem se
aquela carga pode ser suportada com segurança. A haste BC do exemplo con-
siderado na seção anterior é um elemento de dupla força e, portanto, as forças
FBC e F'BC que agem nas suas extremidades B e C (Fig. 1.5) são orientadas
segundo o eixo dessa haste. Se a haste BC vai ou não se romper sob o efeito
desta carga depende do valor da força interna FBC, da área da seção transversal
da haste e do material de que a haste é feita. Sem dúvida, a força interna FBC
representa a resultante das forças elementares distribuídas sobre toda a área
Fig. 1.4 Diagrama de corpo livre da junta de
barra B e triângulo de forças correspondente.
(a) (b)
FBC
FBC
FAB FAB
30 kN
30 kN
3
5
4
B
Foto 1.2 A estrutura desta ponte consiste em
barras simples que podem estar tracionadas ou
comprimidas.
Fig. 1.5 Diagramas de corpo livre das barras
simples AB e BC.
FAB F'AB
FBC
F'BC
B
A B
C

A da seção transversal (Fig. 1.7), e a intensidade média dessas forças distri-
buídas é igual à força por unidade de área, FBCyA, na seção. Se a barra vai ou
não se quebrar sob o efeito dessa carga, depende da capacidade do material
em resistir ao valor correspondente FBCyA da intensidade das forças internas
distribuídas.
A
FBC
FBC
A
s 5
Fig. 1.7 A força axial representa a resultante
das forças elementares distribuídas.
Vamos examinar a força uniformemente distribuída por meio da Fig. 1.8.
A força por unidade de área, ou intensidade das forças distribuídas sobre uma
determinada seção, é chamada de tensão naquela seção e é representada pela
letra grega s (sigma). A tensão na seção transversal de área A de uma barra
submetida a uma carga axial P, é obtida dividindo-se o valor da carga P pela
área A:
(1.5)
s
P
A (1.5)
Será utilizado um sinal positivo para indicar uma tensão de tração (bar-
ra tracionada) e um sinal negativo para indicar tensão de compressão (barra
comprimida).
Conforme mostrado na Fig. 1.8, o corte que traçamos através da barra
para determinar sua força interna e a tensão correspondente era perpendicular
ao eixo da barra; tensão correspondente é descrita comotensão normal. Assim,
a Equação (1.5) nos dá a tensão normal em um elemento sob carga axial:
Devemos notar também que, na Equação (1.5), s representa o valor mé-
dio da tensão sobre a seção transversal e não a tensão em um ponto específico
da seção transversal. Para definirmos a tensão em um determinado ponto Q da
seção transversal, devemos considerar uma pequena área DA (Fig. 1.9). Divi-
dindo a intensidade de DF por DA, obtemos o valor médio da tensão sobre DA.
Fazendo DA aproximar-se de zero, obtemos a tensão no ponto Q:

(1.6)
s lim
¢AS0
¢F
¢A
Em geral, o valor obtido para a tensão s em um determinado ponto Q da
seção é diferente do valor da tensão média determinada pela Fórmula (1.5),
e encontra-se que s varia através da seção. Em uma barra esbelta submetida
a cargas concentradas P e P9 iguais e de sentidos opostos (Fig. 1.10a), essa
variação é pequena em uma seção distante dos pontos de aplicação das car-
gas concentradas (Fig. 1.10c), mas é bastante significativa nas vizinhanças
desses pontos (Fig. 1.10b e d).
(a) (b)
A
P
A
P' P'
s 5
P
Fig. 1.8 (a) Barra submetida a uma carga
axial. (b) Distribuição uniforme ideal da
tensão em uma seção arbitrária.
Fig. 1.9 Pequena área DA em um ponto de
uma seção transversal arbitrária.
P'
Q
DA
DF

6
Pela Equação (1.6), vê-se que a intensidade da resultante das forças inter-
nas distribuídas é
dF
A
s dA
No entanto, as condições de equilíbrio de cada uma das partes da barra mos-
trada na Fig. 1.10 exigem que essa intensidade seja igual à intensidade P das
cargas concentradas. Temos, portanto,

(1.7)
P dF
A
s dA
o que significa que a resultante sob cada uma das superfícies de tensão na Fig.
1.10 deve ser igual à intensidade P das cargas. Essa, no entanto, é a úni-
ca informação que a estática nos fornece, relativamente à distribuição das
tensões normais nas várias seções da barra. A distribuição real das tensões
em uma determinada seção é estaticamente indeterminada. Para saber mais
sobre essa distribuição, é necessário considerar as deformações resultantes
do modo particular de aplicação das cargas nas extremidades da barra. Isso
será discutido no Capítulo 2.
Na prática, consideraremos que a distribuição das tensões normais em
uma barra sob carga axial é uniforme, exceto nas vizinhanças imediatas dos
pontos de aplicação das cargas. O valor s da tensão é então igual a sméd
e pode ser obtido pela Fórmula (1.5). No entanto, devemos perceber que,
quando assumimos uma distribuição uniforme das tensões na seção, ou seja,
quando assumimos que as forças internas estão distribuídas uniformemente
através da seção, segue-se da estática elementar* que a resultante P das
forças internas deve ser aplicada no centroide C da seção (Fig. 1.11). Isso
significa que uma distribuição uniforme da tensão é possível somente se a
linha de ação das cargas concentradas P e P9 passar através do centroide
da seção considerada (Fig. 1.12). Esse tipo de carregamento é chamado de
carga centrada, e consideraremos que ele ocorre em todos os elementos
de barra retos, encontrados em treliças e estruturas, conectados por pinos,
como aquela da Fig. 1.1. No entanto, se um elemento de barra estiver car-
regado axialmente por uma carga excêntrica, como mostra a Fig. 1.13a,
percebemos, pelas condições de equilíbrio da parte da barra mostrada na
Fig. 1.13b, que as forças internas em uma determinada seção devem ser
equivalentes a uma força P aplicada no centroide da seção e um conjuga-
do M, cuja intensidade é dada pelo momento M 5 Pd. A distribuição das
forças, bem como a distribuição correspondente das tensões, não pode ser
uniforme, assim como a distribuição de tensões não pode ser simétrica. Esse
caso será discutido detalhadamente no Capítulo 4.
* Ferdinand P. Beer and E. Russell Johnston, Jr., Mechanics for Engineers, 5th ed., McGraw-Hill,
New York, 2008, or Vector Mechanics for Engineers, 10th ed., McGraw-Hill, New York, 2013,
Secs. 5.2 and 5.3.
P'
P
P' P' P'

(a) (b) (c) (d)

Fig. 1.10 Distribuição da tensão ao longo de
diferentes seções de um elemento carregado
axialmente.
s
C
P
Fig. 1.11 A distribuição uniforme ideal da tensão
em uma seção arbitrária implica que a força
resultante passe através do centro da seção
transversal.
P'
P
C
Fig. 1.12 Carga centrada com forças resultantes
passando através do centroide da seção.

Como nessa discussão são utilizadas as unidades métricas do Sistema
Internacional (SI), com P expressa em newtons (N) e A, em metros quadra-
dos (m2), a tensão s será expressa em Nym2. Essa unidade é chamada de
pascal (Pa). No entanto, considerando-se que o pascal é um valor extrema-
mente pequeno, na prática, deverão ser utilizados múltiplos dessa unidade,
ou seja, o quilopascal (kPa), o megapascal (MPa) e o gigapascal (GPa).
Temos
1 GPa 109
Pa 109
N/m2
1 MPa 106
Pa 106
N/m2
1 kPa 103
Pa 103
N/m2
Quando são utilizadas as unidades inglesas, a força P geralmente é ex-
pressa em libras (lb) ou quilolibras (kip) e a área da seção transversal A, em
polegadas quadradas (in2). A tensão s será então expressa em libras por pole-
gada quadrada (psi) ou quilolibras por polegada quadrada (ksi).†
Aplicação do conceito 1.1
Considerando novamente a estrutura da Fig. 1.1, vamos supor que a
barra BC seja feita de aço com uma tensão máxima admissível sadm 5 165
MPa. A barra BC pode suportar com segurança a carga à qual ela está sub-
metida? O valor da força FBC na barra já foi calculado como 50 kN. Lem-
brando que o diâmetro da barra é 20 mm, utilizamos a Equação (1.5) para
determinar a tensão criada na barra pela carga. Temos
s
P
A
50 103
N
314 10 6
m2
159 106
Pa 159 MPa
A pr2
pa
20 mm
2
b
2
p110 10 3
m22
314 10 6
m2
P FBC 50 kN 50 103
N
Como o valor obtido para s é menor que o valor da tensão admissível do
aço utilizado sadm, concluímos que a barra BC pode suportar com segurança
a carga à qual ela está submetida.
Para estar completa, nossa análise daquela estrutura também deverá in-
cluir a determinação da tensão de compressão na barra AB, bem como uma
investigação das tensões produzidas nos pinos e seus mancais. Isso será dis-
cutido mais adiante neste capítulo. Deveremos determinar também se as de-
formações produzidas pela carga são aceitáveis. O estudo das deformações
sob cargas axiais será discutido no Capítulo 2. Uma consideração adicional
necessária para elementos comprimidos envolve sua estabilidade, ou seja, sua
capacidade para suportar uma dada carga sem apresentar mudança brusca de
configuração. Isso será discutido no Capítulo 10.
† As principais unidades usadas em Mecânica, nos sistemas SI e de unidades inglesas, estão apre-
sentadas na capa e na contracapa internas deste livro. A tabela da direita aponta que 1 psi equivale
a aproximadamente 7 kPa e que 1 ksi é igual a cerca de 7 MPa.
M
C
d
d
(a (
) b)
P
P'
P
P
Fig. 1.13 Exemplo de carga excêntrica simples.

8
O papel do engenheiro não se limita à análise das estruturas e das máqui-
nas existentes sujeitas a uma determinada condição de carga. Mais importante
ainda para o engenheiro é o projeto de novas estruturas e máquinas, o que
implica a seleção dos componentes aptos a executar cada função específica.
1.2.2 Tensão de cisalhamento
As forças internas e as tensões correspondentes discutidas na Seção 1.2.1
eram normais à seção considerada. Um tipo muito diferente de tensão é ob-
tido quando forças transversais P e P9 são aplicadas à barra AB (Fig. 1.14).
Ao passar um corte na seção transversal C entre os pontos de aplicação das
duas forças (Fig. 1.15a), obtemos o diagrama da parte AC mostrada na Fig.
1.15b. Concluímos que devem existir forças internas no plano da seção e que
a resultante dessas forças é igual a P. Essas forças internas elementares são
chamadas de forças de cisalhamento, e a intensidade P de sua resultante é a
força cortante na seção. Ao dividir a força cortante P pela área A da seção
transversal, obtemos a tensão média de cisalhamento, na seção. Indicando a
tensão de cisalhamento pela letra grega t (tau), temos
Como exemplo de projeto, vamos voltar à estrutura da Fig. 1.1 e supor que
será utilizado o alumínio, que tem uma tensão admissível sadm 5 100 MPa.
Como a força na barra BC ainda será P 5 FBC 5 50 kN sob a carga dada, deve-
mos ter então, da Equação (1.5),
sadm
P
A
A
P
sadm
50 103
N
100 106
Pa
500 10 6
m2
e, como A 5 pr2,

d 2r 25,2 mm
r
B
A
p B
500 10 6
m2
p
12,62 10 3
m 12,62 mm
Concluímos que uma barra de alumínio com 26 mm ou mais de diâmetro
será adequada.
A B
P'
P
Fig. 1.14 Forças transversais opostas gerando
cisalhamento no elemento AB.
A C
A C
B
P'
P
P'
P
(a)
(b)
Fig. 1.15 Demonstração da força de cisalhamento interna resultante
em uma seção entre forças transversais.
A C
A C
B
P'
P
P'
P
(a)
(b)


(1.8)
tméd
P
A
Deve-se enfatizar que o valor obtido é um valor médio da tensão de ci-
salhamento sobre a seção toda. Ao contrário do que dissemos antes para as
tensões normais, a distribuição da tensão de cisalhamento por meio da seção
não pode ser considerada uniforme. Conforme veremos no Capítulo 6, o valor
real t da tensão de cisalhamento varia de zero na superfície da barra até um
valor máximo tmáx, que pode ser muito maior que o valor médio tméd.
Foto 1.3 Vista em corte de uma conexão
com um parafuso em cisalhamento.
As tensões de cisalhamento são comumente encontradas em parafusos,
pinos e rebites utilizados para conectar vários elementos estruturais e ele-
mentos de máquinas (Foto 1.3). Considere as duas placas A e B, conectadas
por um parafuso CD (Fig. 1.16). Se as placas estiverem submetidas a forças
de tração de intensidade F, serão desenvolvidas tensões na seção EE9 do pa-
rafuso. Desenhando os diagramas do parafuso e da parte localizada acima do
plano EE9 (Fig. 1.17), concluímos que a força cortante P na seção é igual a F.
A tensão de cisalhamento média na seção é obtida de acordo com a Fórmula
(1.8), dividindo-se a força cortante P 5 F pela área A da seção transversal:
(1.9)
tméd
P
A
F
A
C C
D
F F
P
E'
F'
E
(a) (b)
Fig. 1.17 (a) Diagrama do parafuso em
cisalhamento simples. (b) Seção E-E’ do parafuso.
Podemos dizer que o parafuso que acabamos de considerar encontra-
-se em cisalhamento simples. No entanto, podem ocorrer diferentes situ-
ações de carga. Por exemplo, se forem utilizadas chapas de ligação C e
D para conectar as placas A e B (Fig. 1.18), o cisalhamento ocorrerá no
parafuso HJ em cada um dos dois planos KK9 e LL9 (e similarmente no pa-
C
D
A
F
E'
F'
B
E
Fig. 1.16 Parafuso submetido a cisalhamento
simples.

10
rafuso EG). Dizemos que os parafusos estão na condição de cisalhamento
duplo. Para determinar a tensão de cisalhamento média em cada plano,
desenhamos os diagramas de corpo livre do parafuso HJ e da parte do pa-
rafuso localizada entre os dois planos (Fig. 1.19). Observando que a força
cortante P em cada uma das seções é P 5 Fy2, concluímos que a tensão
média de cisalhamento é
(1.10)
tméd
P
A
F 2
A
F
2A
Fig. 1.19 (a) Diagrama do parafuso em
cisalhamento duplo. (b) Seções K-K’ e L-L’ do
parafuso.
K
L
H
J
K'
L'
F
FC
FD
F
P
P
(a) (b)
1.2.3 Tensão de esmagamento em conexões
Parafusos, pinos e rebites criam tensões ao longo da superfície de es-
magamento, ou de contato, nos elementos que eles conectam. Por exemplo,
considere novamente as duas placas A e B conectadas por um parafuso CD,
conforme discutimos na seção anterior (Fig. 1.16). O parafuso exerce na placa
A uma força P igual e oposta à força F exercida pela placa no parafuso (Fig.
1.20). A força P representa a resultante das forças elementares distribuídas
na superfície interna de um meio-cilindro de diâmetro d e de comprimento
t igual à espessura da placa. Como a distribuição dessas forças e as tensões
correspondentes são muito complicadas, utiliza-se na prática um valor no-
minal médio se para a tensão, chamado de tensão de esmagamento, obtido
dividindo-se a carga P pela área do retângulo que representa a projeção do
parafuso sobre a seção da placa (Fig. 1.21). Como essa área é igual a td, onde
t é a espessura da placa e d o diâmetro do parafuso, temos

(1.11)
se
P
A
P
td
1.2.4 Aplicação a análise e projeto de estruturas simples
Estamos agora em condições de determinar as tensões nos elementos e
nas conexões de várias estruturas simples bidimensionais e, portanto, em con-
dições de projetar essas estruturas. Isso pode ser ilustrado por meio da Apli-
cação do conceito a seguir.
A
C
D
d
t
F
P
F'
Fig. 1.20 Forças iguais e opostas entre a placa
e o parafuso, exercidas sobre as superfícies de
esmagamento.
Fig. 1.18 Parafusos submetidos a cisalhamento
duplo.
K
A
B
L
E H
G J
C
D
K'
L'
F
F'
A d
t
Fig. 1.21 Valores para calcular a área
de tensão de esmagamento.

Como exemplo, vamos voltar à estrutura da Fig. 1.1 para determinar as ten-
sões normais, as tensões de cisalhamento e as tensões de esmagamento. Como
mostra a Fig. 1.22, a barra BC com diâmetro de 20 mm tem extremidades acha-
tadas com seção transversal retangular de 20 3 40 mm, ao passo que a barra
AB tem uma seção transversal retangular de 30 3 50 mm e está presa com
uma articulação na extremidade B. Ambos os elementos são conectados em
B por um pino a partir do qual é suspensa a carga de 30 kN, por meio de um
suporte em forma de U. A barra AB é suportada em A por um pino preso
em um suporte duplo, enquanto a barra BC está conectada em C a um suporte
simples. Todos os pinos têm 25 mm de diâmetro.
Fig. 1.22 Componentes da barra utilizados para suportar a carga de 39 kN.
800 mm
50 mm
Q = 30 kN Q = 30 kN
600 mm
20 mm
20 mm
25 mm
30 mm
25 mm
d = 25 mm
d = 25 mm
d = 20 mm
d = 20 mm
d = 25 mm
40 mm
20 mm
A
A
B
B
B
C
C
B
VISTA FRONTAL
VISTA SUPERIOR DA BARRA AB
VISTA DA EXTREMIDADE
VISTA SUPERIOR
DA BARRA BC
Extremidade
achatada
Extremidade
achatada
Determinação da tensão normal na barra AB e na haste BC. Con-
forme determinamos anteriormente, a força na barra BC é FBC 5 50 kN
(tração) e a área de sua seção transversal circular é A 5 314 3 106 m2; a ten-
são normal média correspondente é sBC 5 1159 MPa. No entanto, as partes
achatadas da barra também estão sob tração, e na seção mais estreita, na qual
está localizado um furo, temos
A 120 mm2140 mm 25 mm2 300 10 6
m2
O valor médio correspondente da tensão é, portanto,
1sBC2ext
P
A
50 103
N
300 10 6
m2
167 MPa

12
Note que esse é um valor médio: próximo ao furo, a tensão realmente terá
um valor muito maior, como veremos na Seção 2.11. Está claro que, sob uma
carga crescente, a barra falhará próximo de um dos furos, e não na sua parte ci-
líndrica; seu projeto, portanto, poderia ser melhorado aumentando-se a largura
ou a espessura das extremidades achatadas da barra.
Voltando nossa atenção agora para a barra AB, recordaremos da Seção 1.2
que a força na barra é FAB 5 40 kN (compressão). Como a área da seção trans-
versal retangular da barra é A 5 30 mm 3 50 mm 5 1,5 3 1023 m2, o valor
médio da tensão normal na parte principal da barra entre os pinos A e B é
sAB
40 103
N
1,5 10 3
m2 26,7 106
Pa 26,7 MPa
Observe que as seções de área mínima em A e B não estão sob tensão, pois
a barra está em compressão e, portanto, empurra os pinos (em vez de puxá-los
como faz a barra BC).
Determinação da tensão de cisalhamento em várias conexões.
Para determinarmos a tensão de cisalhamento em uma conexão, por exemplo
um parafuso, pino ou rebite, primeiramente mostramos claramente as forças
aplicadas pelas várias barras que ela conecta. Assim, no caso do pino C em
nosso exemplo (Fig. 1.23a), desenhamos a Fig. 1.23b, mostrando a força de
50 kN, aplicada pela barra BC sobre o pino, e a força igual e oposta aplicada
pelo suporte. Desenhando agora o diagrama da parte do pino localizada abaixo
do plano DD9 em que ocorrem as tensões de cisalhamento (Fig. 1.23c), concluí-
mos que a força cortante naquele plano é P 5 50 kN. Como a área da seção
transversal do pino é
A pr2
pa
25 mm
2
b
2
p112,5 10 3
m22
491 10 6
m2
concluímos que o valor médio da tensão de cisalhamento no pino C é

tméd
P
A
50 103
N
491 10 6
m2
102,0 MPa
Considerando agora o pino em A (Fig. 1.24a), notamos que ele está na
condição de cisalhamento duplo. Desenhando os diagramas de corpo livre do
pino e da parte do pino localizada entre os planos DD9 e EE9 em que ocorrem
as tensões de cisalhamento, concluímos que P 5 20 kN e que
tméd
P
A
20 kN
491 10 6
m2
40,7 MPa
Considerando o pino em B (Fig. 1.25a), verificamos que ele pode ser dividi-
do em cinco partes que estão sob a ação de forças aplicadas pelas barras e suporte.
Considerando sucessivamente as partes DE (Fig. 1.25b) e DG (Fig. 1.25c), con-
cluímos que a força cortante na seção E é PE 5 15 kN, enquanto a força cortante
na seção G é PG 5 25 kN. Como a carga do pino é simétrica, concluímos que o
valor máximo da força cortante no pino B é PG 5 25 kN e que a maior tensão
de cisalhamento ocorre nas seções G e H, em que
tméd
PG
A
25 kN
491 10 6
m2
50,9 MPa
50 kN
50 kN 50 kN
(a)
C
(b) (c)
Fb
P
D'
D
d = 25 mm
Fig. 1.23 Diagramas do cisalhamento simples no
pino C.
Fig. 1.24 Diagrama de corpo livre do pino de
cisalhamento duplo em A.
(a)
(b) (c)
40 kN
40 kN
40 kN
Fb
Fb
P
P
A
D'
E'
D
E
d = 25 mm

1.2.5 Método de solução do problema
Você deve abordar um problema em resistência dos materiais da mesma
maneira como abordaria uma situação real de engenharia. Utilizando sua ex-
periência e intuição, sobre o comportamento físico você terá mais facilidade
para entender e formular o problema. A solução deverá ser com base nos
princípios fundamentais da estática e nos princípios que você aprenderá neste
curso. Cada passo a executar deverá ser justificado com base no que acabamos
de dizer, não restando lugar para “intuição”. Depois de obtida a resposta, ela
deverá ser verificada.Aqui, novamente, você pode utilizar o seu bom senso e a
experiência pessoal. Se não estiver completamente satisfeito com o resultado
obtido, verifique cuidadosamente a formulação do problema, a validade dos
métodos utilizados em sua solução e a precisão dos seus cálculos.
Em geral você normalmente pode resolver os problemas de várias formas
diferentes; não há uma abordagem que funcione melhor para todos. Contudo,
verificamos que frequentemente os estudantes consideram útil contar com um
conjunto de orientações gerais destinadas a situar os problemas e encami-
nhar as soluções. Na seção Problema Resolvido, ao longo deste livro, usamos
uma abordagem em quatro passos, a qual nos referimos como metodologia
SMART: Estratégia, Modelagem, Análise, e Refletir Pensar (Strategy, Mo-
deling, Analysis, and Reflect Think):
1. Estratégia. O enunciado do problema deverá ser claro e preciso, con-
tendo os dados fornecidos e indicando as informações necessárias. O
primeiro passo para a solução do problema é decidir sobre quais são,
entre os conceitos aprendidos, os que se aplicam à situação dada e es-
tabelecer a conexão desses dados com as informações pedidas. Muitas
vezes é útil fazer o caminho inverso, partindo da informação que você
está tentando obter: pergunte-se quais as quantidades que precisa co-
nhecer para obter a resposta, e, se alguma dessas quantidades for des-
conhecida, como você pode obtê-la a partir dos dados fornecidos.
2. Modelagem. A solução da maioria dos problemas irá exigir que, pri-
meiramente, você determine as reações de apoio e as forças e momentos
internos. É importante incluir um ou vários diagramas de corpo livre
Determinação das tensões de esmagamento. Para determinarmos
a tensão de esmagamento nominal em A na barra AB, utilizamos a Fórmula
(1.11). Da Fig. 1.22, temos t 5 30 mm e d 5 25 mm. Lembrando que P 5 FAB
5 40 kN, temos
se
P
td
40 kN
130 mm2125 mm2
53,3 MPa
Para obtermos a tensão de esmagamento no suporte em A, utilizamos
t 5 2(25 mm) 5 50 mm e d 5 25 mm:
se
P
td
40 kN
150 mm2125 mm2
32,0 MPa
As tensões de esmagamento em B na barra AB, em B e C na barra BC e no
suporte em C são encontradas de forma semelhante.
(a)
(b)
1
2 FAB = 20 kN
FBC = 50 kN
1
2 FAB = 20 kN
1
2 Q = 15 kN
1
2 Q = 15 kN
1
2 Q = 15 kN
Pino B
D
D
E
E
G
PE
H
J
(c)
1
2 FAB = 20 kN
1
2 Q = 15 kN
D
G PG
Fig. 1.25 Diagramas de corpo livre para diversas
seções no pino B.
(a)
(b)
1
2 FAB = 20 kN
FBC = 50 kN
1
2 FAB = 20 kN
1
2 Q = 15 kN
1
2 Q = 15 kN
1
2 Q = 15 kN
Pino B
D
D
E
E
G
PE
H
J
(c)
1
2 FAB = 20 kN
1
2 Q = 15 kN
D
G PG
(a)
(b)
FBC = 50 kN
1
2 FAB = 20 kN
1
2 Q = 15 kN
1
2 Q = 15 kN
1
2 Q = 15 kN
Pino B
D
D
E
E
G
PE
H
J
(c)
1
2 FAB = 20 kN
1
2 Q = 15 kN
D
G PG

14
para dar base a essas determinações. Desenhe croquis adicionais à me-
dida que for necessário, guiando o restante de sua solução, como a aná-
lise da tensão.
3. Análise. Depois de desenhar os diagramas necessários, use os princí-
pios fundamentais de mecânica para escrever equações de equilíbrio.
Elas podem ser resolvidas para encontrar forças desconhecidas e po-
dem ser utilizadas para calcular as tensões necessárias e deformações.
4. Refletir Pensar. Após obter a resposta, ela deverá ser cuidado-
samente verificada. Ela faz sentido no contexto do problema? Erros
de raciocínio frequentemente podem ser detectados ao rastrear as
unidades envolvidas nos cálculos feitos e verificando se as unidades
obtidas para a resposta são compatíveis. Por exemplo, no projeto da
barra discutido na Aplicação do conceito 1.2, encontramos, após es-
pecificar as unidades nos nossos cálculos, que o diâmetro necessário
para a barra estava expresso em milímetros, que é a unidade correta
para uma medida de comprimento; se tivéssemos encontrado outra
unidade, saberíamos que algum engano foi cometido.
Erros de cálculo geralmente podem ser detectados substituindo-se nas
equações os valores numéricos obtidos que ainda não foram utilizados, e veri-
ficando se a equação é satisfatória. Nunca é demais destacar a importância do
cálculo correto na engenharia.
Precisão numérica A precisão da solução de um problema depende de
dois itens: (1) a precisão dos dados fornecidos e (2) a precisão dos cálculos
executados.
A solução não pode ser mais precisa do que o menos preciso desses dois
itens. Por exemplo, se a carga de uma viga for 75
000 N com um possível
erro de 100 N para mais ou para menos, o erro relativo que mede o grau de
precisão dos dados é

100 N
75.000 N
0,0013 0,13%
Ao calcular a reação em um dos apoios da viga, não teria significado expres-
sá-la como 14 322 N. A precisão da solução não pode ser maior do que 0,13%,
não importa quão precisos sejam os cálculos, e o erro possível na resposta
pode ser de até (0,13y100)(14 322 N) 20 N. A resposta adequada deverá ser
dada como 14 320 6 20 N.
Em problemas de engenharia, raramente os dados são conhecidos com uma
precisão maior do que 0,2%. Portanto, não se justifica dar as respostas desses
problemas com uma precisão maior que 0,2%. Uma regra prática é utilizar qua-
tro algarismos para representar números começados com um “1” e três algaris-
mos em todos os outros casos. A menos que seja indicado o contrário, os dados
fornecidos em um problema deverão ser considerados conhecidos com um grau
comparável de precisão. Por exemplo, uma força de 40 N deverá ser lida como
40,0 N, e uma força de 15 N deverá ser lida como 15,00 N.
As calculadoras de bolso e os computadores são amplamente utiliza-
dos pelos engenheiros e estudantes de engenharia. A velocidade e precisão
desses dispositivos facilitam os cálculos numéricos nas soluções de muitos
problemas. No entanto, os estudantes não devem utilizar mais algarismos sig-
nificativos do que os necessários meramente porque são facilmente obtidos.
Conforme mencionamos, uma precisão maior que 0,2% raramente é necessá-
ria ou significativa na solução prática dos problemas de engenharia.

PROBLEMA RESOLVIDO 1.1
No suporte mostrado na figura, a parte superior do elemento ABC tem 9,5 mm
de espessura, e as partes inferiores têm 6,4 mm de espessura cada uma. É utilizada
resina epóxi para unir as partes superior e inferior em B. O pino em A tem 9,5
mm de diâmetro, e o pino usado em C tem 6,4 mm de diâmetro. Determine (a) a
tensão de cisalhamento no pino A, (b) a tensão de cisalhamento no pino C, (c) a
maior tensão normal no elemento ABC, (d) a tensão de cisalhamento média nas
superficies coladas em B e (e) a tensão de esmagamento no elemento em C.
ESTRATÉGIA: Considere o diagrama de corpo livre do suporte para determinar
o esforço interno no elemento AB e continue determinando as forças de cisalha-
mento e de contato atuantes nos pinos. Essas forças podem então ser usadas para
calcular as tensões.
MODELAGEM: Desenhe o diagrama de corpo livre para o suporte e determine as
reações de apoio (Fig. 1). Desenhe então os diagramas dos vários componentes de
interesse mostrando as forças necessárias à determinação das tensões desejadas
(Figuras 2–6).
ANÁLISE:
Corpo livre: todo o suporte. Como o elemento ABC é uma barra simples, a
reação em A é vertical; a reação em D é representada por suas componentes Dx e
Dy. Assim, temos
FAC 3 344 N FAC 3344 N tração
12 200 N21380 mm2 FAC1250 mm2 0
g MD 0:
a. Tensão de cisalhamento no pino A. Como este pino tem 9,5 mm de diâmetro
e está sob cisalhamento simples, (Fig. 2) temos
tA 47,2 MPa
tA
FAC
A
3 344
1
4p19,5 mm22
b. Tensão de cisalhamento no pino C. Como este é um pino de 6,4 mm de diâ-
metro e está sob cisalhamento duplo, temos
tC 52,0 MPa
tC
1
2 FAC
A
1 672 N
1
4 p16,4 mm22
FAC = 3344 N
6,4 mm de diâmetro
FAC = 1672 N
1
2
FAC = 1672 N
1
2
C
Fig. 3 Pino C.
150 mm
180 mm
45 mm
130 mm
30 mm
250 mm
2200 N
A
B
C
D
E
130mm
2200 N
250 mm
A D
Dx
FAC
Dy
E
C
Fig. 1 Diagrama de corpo livre do
suporte.
3344 N
FAC = 3344 N
9,5 mm de diâmetro
A
Fig. 2 Pino A.

16
c. Maior tensão normal no membro ABC. A maior tensão é encontrada
onde a area é menor; isso ocorre na seção transversal A (Fig. 4) em que está
localizado o furo de 9,5 mm. Temos
sA 17,2 MPa
sA
FAC
Aútil
3 344 N
19,5 mm2130 mm 9,5 mm2
3 344 N
194,75 mm2
d. Tensão de cisalhamento média em B. Notamos que existe ligação em
ambos os lados da parte superior do membro ABC (Fig. 5) e que a força de
cisalhamento em cada lado é Fl 5 (3 344 N)y2 5 l 672 N. A tensão de cisalha-
mento média em cada superficie é então
tB 1,24 MPa
tB
F1
A
1 672 N
130 mm2145 mm2
e. Tensão de esmagamento em C. Para cada parte do vínculo, (Fig. 6) Fl 5 l 672
N e a área de contato nominal é (6,4 mm) (6,4 mm) 5 40,96 mm2,
se 40,8 MPa
se
F1
A
1 672 N
40,96 mm2
9,5 mm de diâmetro
9,5 mm
30 mm
FAC
Fig. 4 Seção do membro
ABC em A.
F1 = F2 = FAC = 1672 N
1
2
FAC = 3344 N
30 mm
45 mm
F2 F1
A
B
Fig. 5 Elemento AB.
1 672 N
F1 = 1672 N
6,4 mm de diâmetro
6,4 mm de diâmetro
Fig. 6 Seção do membro ABC e C.
Refletir e Pensar: Este exemplo de aplicação demonstra a necessidade
de desenhar separadamente os diagramas de corpo livre de cada elemento, con-
siderando cuidadosamente o comportamento de cada um deles. Como exem-
plo, baseado em uma inspeção visual do suporte, o elemento AC aparenta estar
tracionado considerada a ação dada, e a análise confirma isso. Ao contrário, se
obtido um resultado de compressão, será necessária uma completa reanálise
do problema.

d
F1 5 P
P
F1
F1
1
2
Fig. 1 Parafuso seccionado.
b
d
h
t 5 20 mm
Fig. 2 Geometria da barra de ligação.
P
P' 5 120 kN
a
t
a
d
b
1
2
P
1
2
Fig. 3 Seção da extremidade da barra de
ligação.
P 5 120 kN
t 5 20 mm
h
Fig. 4 Seção de meio-corpo da barra de
ligação.
A B PROBLEMA RESOLVIDO 1.2
A barra de ligação de aço mostrada na figura deve suportar uma força de tra-
ção de intensidade P 5 120 kN quando é rebitada entre suportes duplos em A e B.
A barra será feita a partir de uma chapa de 20 mm de espessura. Para a classe do
aço a ser utilizado, as tensões máximas admissíveis são: s 5 175 MPa, t 5 100
MPa, se 5 350 MPa. Projete a barra determinando os valores necessários de (a)
o diâmetro d do parafuso, (b) a dimensão b em cada extremidade da barra e (c) a
dimensão h da barra.
ESTRATÉGIA: Use diagramas de corpo livre para determinar as forças necessá-
rias à obtenção das tensões em função das forças de tração projetadas. Fazendo
as tensões iguais às tensões admissíveis gera a determinação das dimensões es-
pecificadas.
MODELAGEM E ANÁLISE:
a. Diâmetro do parafuso. Como o parafuso está sob cisalhamento duplo,
F1 5 1
2P 60 kN.
Utilizaremos d 28 mm
t
F1
A
60 kN
1
4 p d2
100 MPa
60 kN
1
4 p d2
d 27,6 mm
Neste ponto verificamos a tensão de esmagamento entre a chapa de 20 mm de
espessura (Fig. 2) e o parafuso com 28 mm de diâmetro.
e
P
td
120 kN
10,020 m210,028 m2
214 MPa 6 350 MPa OK
s
b. Dimensão b em cada extremidade da barra. Vamos considerar uma das
partes extremas da barra apresentada na Fig. 3. Lembrando que a espessura da
chapa de aço é t 5 20 mm e que a tensão de tração média não deve exceder 175
MPa, temos
b 62,3 mm
b d 2a 28 mm 2117,14 mm2
s
1
2 P
ta
175 MPa
60 kN
10,02 m2a
a 17,14 mm
c. Dimensão h da barra. Vamos considerar uma seção da porção central da
barra (Fig. 4). Lembrando que a espessura da chapa de aço é t 5 20 mm, temos
Utilizaremos h 35 mm
s
P
th
175 MPa
120 kN
10,020 m2h
h 34,3 mm
Refletir e Pensar: Dimensionamos d baseados no cisalhamento do parafu-
so, e então verificamos a força de contato no olhal. Excedida a tensão de contato
admissível, teremos que recalcular d baseados em um critério para tensões de
contato.

18
1.1 Duas barras cilíndricas de seção transversal cheia AB e BC são soldadas
uma à outra em B e submetidas a um carregamento conforme mostra a fi-
gura. Dados d1 = 30 mm e d2 = 50 mm, encontre a tensão normal média na
seção central da (a) haste AB, (b) haste BC.
50 mm
75 mm
130 kN
130 kN
C
A
B
760 mm 1.000 mm
P
Fig. P1.1 e P1.2
1.2 Duas hastes sólidas cilíndricas AB e BC são soldadas em B e solicitadas
como mostrado. Sabendo que a tensão normal média não deve exceder 150
MPa em ambas as hastes, determine os menores valores admissíveis para os
diâmetros d1 e d2.
uma à outra em B e submetidas a um carregamento conforme mostra a fi-
gura. Dados que P = 10 kips, determine a tensão normal média da seção
central da (a) haste AB, (b) haste BC.
d2
d1
40 kN
30 kN
B
C
250 mm
300 mm
A
Fig. P1.3 e P1.4
uma à outra em B e submetidas a um carregamento conforme mostra a figu-
ra. Determine a intensidade da força P para a qual as tensões de tração nas
hastes AB e BC são iguais.
PROBLEMAS

1 200 N
1 200 N
C
A
B
Fig. P1.5
1.5 Um medidor de deformação localizado em C na superfície do osso AB in-
dica que a tensão normal média no osso é 3,80 MPa, quando o osso está sub-
metido a duas forças de l 200 N como mostra a figura. Supondo que a seção
transversal do osso em C seja anular e sabendo que seu diâmetro externo é
25 mm, determine o diâmetro interno da seção transversal do osso em C.
1.6 Duas hastes de latão AB e BC, de diâmetros constantes, serão conectadas
por brasagem em B para formar uma haste não uniforme de comprimento
total igual a 100 m que será suspensa por um apoio em A conforme mos-
trado. Sabendo que a densidade do latão é de 8470 kg/m3, determine (a) o
comprimento da haste AB para a qual a tensão normal máxima em ABC é
mínima, (b) o correspondente valor da máxima tensão normal.
Fig. P1.6
100 m
15 mm
10 mm
b
a
B
C
A
1.7 Cada uma das quatro barras verticais tem uma seção transversal retangular
uniforme de 8 3 36 mm, e cada um dos quatro pinos tem um diâmetro de 16
mm. Determine o valor máximo da tensão normal média nos vínculos que
conectam (a) os pontos B e D e (b) os pontos C e E.
0,2 m
0,25 m
0,4 m
20 kN
C
B
A
D
E
Fig. P1.7
1.8 A conexão AC tem seção transversal retangular uniforme com 1/8 in. de
espessura e 1 in. de altura. Determine a tensão normal na porção central da
conexão.
10 in. 8 in.
2 in.
12 in.
4 in.
308
120 lb
120 lb
C
A
B
Fig. P1.8

20
1.9 Três forças, cada uma de intensidade P = 4 kN, são aplicadas à estrutura
mostrada. Determine a área da seção transversal da parte uniforme da haste
BE para a qual a tensão normal é de +100 MPa.
Fig. P1.9
0.100 m
0.150 m 0.300 m 0.250 m
P P P
E
A B C
D
1.10 A conexão BD consiste em uma barra simples de 1 in. de altura por ½ in.
de espessura. Sabendo que cada pino tem 3/8 in. de diâmetro, determine
o valor máximo da tensão normal média na conexão BD se (a) q = 0, (b)
q = 90º.
Fig. P1.10
4 kips
308
u
6 in.
12 in.
D
C
B
A
1.11 Para a ponte em treliça Pratt e o carregamento mostrado, determine a tensão
normal média no elemento BE, sabendo que a área da seção transversal
desse elemento é de 5,87 in2.
9 ft
80 kips 80 kips 80 kips
9 ft 9 ft 9 ft
12 ft
B D F
H
G
E
C
A
Fig. P1.11

1.12 O quadro mostrado consiste em quatro elementos de madeira, ABC, DEF,
BE, e CF. Sabendo que cada elemento tem seção transversal retangular de
2 × 4 in. e que cada pino tem diâmetro de ½ in., determine o valor médio
máximo da tensão normal (a) no elemento BE, (b) no elemento CF.
Fig. P1.12
40 in.
45 in.
15 in.
4 in.
A
B C
D
E F
4 in.
30 in.
30 in.
480 lb
1.13 Uma barra de reboque para aviões é posicionada utilizando um cilindro hi-
dráulico conectado por uma haste de aço com diâmetro de 25 mm a dois
dispositivos de braços e rodas DEF. A massa de toda barra de reboque é
de 200 kg, e seu centro de gravidade está localizado em G. Para a posição
mostrada, determine a tensão normal na haste.
Fig. P1.13
D
B
E
A
Valores em mm
100
450
250
850
1150
500 675 825
C
G
F
1.14 Dois cilindros hidráulicos são utilizados para controlar a posição de um braço
robótico ABC. Sabendo que as hastes de controle fixadas em A e D têm cada
uma 20 mm de diâmetro e estão paralelas na posição mostrada, determine a
tensão normal média no (a) elemento AE, (b) no elemento DG.
Fig. P1.14
C
A
B
E F G
D
200 mm
150 mm
150 mm
300 mm
400 mm
600 mm
800 N

22
1.15 Determine o diâmetro do maior orifício circular que pode ser feito em uma
tira de poliestireno com espessura de 6 mm, sabendo que a força exercida
pelo punção é de 45 kN e que a tensão de cisalhamento média requerida
para que o material falhe é igual a 55 MPa.
1.16 Duas pranchas de madeira, cada uma com 12 mm de espessura e 225 mm de
largura, são unidas pela junta de encaixe mostrada na figura. Sabendo que
a madeira utilizada rompe por cisalhamento ao longo das fibras quando a
tensão de cisalhamento média alcança 8 MPa, determine a intensidade P
da carga axial que romperá a junta.
50 mm
25 mm
P'
16 mm
16 mm
50 mm
25 mm 225 mm
P
Fig. P1.16
1.17 Quando a força P alcançou 8 kN, o corpo de prova de madeira mostrado na
figura falhou sob cisalhamento ao longo da superfície indicada pela linha
tracejada. Determine a tensão de cisalhamento média ao longo daquela su-
perfície no instante da falha.
15 mm
90 mm Madeira
Aço
P' P
Fig. P1.17
1.18 Uma carga P é aplicada a uma barra de aço suportada por uma chapa de
alumínio na qual foi feito um furo de 12 mm conforme mostra a figura. Sa-
bendo que a tensão de cisalhamento não deve exceder 180 MPa na barra de
aço e 70 MPa na chapa de alumínio, determine a máxima carga P que pode
ser aplicada à barra.
40 mm
8 mm
12 mm
P
10 mm
Fig. P1.18
1.19 A força axial na coluna que suporta a viga de madeira mostrada na figura é
P 5 75 kN. Determine o menor comprimento L admissível para a chapa de
contato para que a tensão de contato na madeira não exceda 3,0 MPa.
140 mm
L
P
Fig. P1.19

1.20 Três pranchas de madeira são justapostas por uma série de parafusos for-
mando uma coluna. O diâmetro de cada parafuso é igual a 12 mm, e o diâ-
metro interno de cada arruela é de 16 mm, o qual é ligeiramente maior que
o diâmetro dos furos nas pranchas. Determine o menor diâmetro externo
admissível d das arruelas, sabendo que a tensão normal média nos parafusos
é de 36 MPa e que a tensão de contato entre as arruelas e as pranchas não
deve exceder 8,5 MPa.
Fig. P1.20
d
12 mm
1.21 Uma carga axial de 40 kN é aplicada a uma coluna curta de madeira suportada
por uma base de concreto em solo estável. Determine (a) a tensão de contato
máximanabasedeconcretoe(b)otamanhodabaseparaqueatensãodeconta-
to média no solo seja de 145 kPa.
P 5 40 kN
b b
120 mm 100 mm
Fig. P1.21
1.22 Uma carga axial P é suportada por uma coluna curta W200 3 59 com seção
transversal de área A 5 7 650 mm2 e distribuída a uma fundação de concreto
por uma placa quadrada como mostra a figura. Sabendo que a tensão normal
média na coluna não pode exceder 200 MPa e que a tensão de esmagamento
na fundação de concreto não deve exceder 20 MPa, determine a dimensão a
da chapa que permitirá o projeto mais econômico e seguro.
a a
P
Fig. P1.22
1.23 A conexão AB, de largura b = 2 in. e espessura t = ¼ in., é utilizada para
apoiar a extremidade de uma viga horizontal. Sabendo que a tensão normal
média na conexão é de −20 ksi e que a tensão de cisalhamento média em
cada um dos dois pinos é de 12 ksi, determine (a) o diâmetro d dos pinos,
(b) a tensão média de contato na conexão.
b
d
t
B
A
d
Fig. P1.23

24
1.24 Determine a maior carga P que pode ser aplicada em A quando q = 60º,
sabendo que a tensão de cisalhamento média no pino em B de 10 mm de
diâmetro não deve exceder 120 MPa e que a tensão média de contato no
elemento AB e no suporte em B não deve exceder os 90 MPa.
1.25 Sabendo que θ = 40º e P = 9 kN, determine (a) o menor diâmetro admissível
para o pino em B considerando que a tensão de cisalhamento média no pino
não excede os 120 MPa, (b) a correspondente tensão de contato média no
elemento AB em B, (c) a correspondente tensão de contato média em cada
um dos suportes em B.
1.26 O cilindro hidráulico CF, que controla parcialmente a posição da haste DE,
foi travado na posição mostrada. O elemento BD tem 15 mm de espessura e
está conectado em C à haste vertical por um parafuso de 9 mm de diâmetro.
Sabendo que P = 2 kN e q = 75º, determine (a) a tensão de cisalhamento
média no parafuso, (b) a tensão de contato em C no elemento BD.
Fig. P1.26
45 mm
200 mm
100 mm 175 mm
D
F
E
A
C
B
P
208
u
1.27 Para a montagem e carregamento do Problema 1.7, determine (a) a tensão
de cisalhamento média no pino B, (b) a tensão média de contato em B sobre
o elemento BD e (c) a tensão de contato média em B sobre o elemento ABC,
sabendo que esse membro tem 10 3 50 mm e seção retangular uniforme.
1.28 Dois sistemas idênticos de acionamento a cilindros hidráulicos controlam
a posição dos garfos de uma empilhadeira. A carga suportada pelo sistema
mostrado é de 1500 lb. Sabendo que a espessura do elemento BD é de 5/8
in., determine (a) a tensão de contato média no pino de ½ in. de diâmetro
em B, (b) a tensão de contato em B no elemento BD.
Fig. P1.28
A
C
D E
B
12 in.
12 in.
15 in.
16 in. 16 in. 20 in.
1500 lb
Fig. P1.24 e P1.25
16 mm
750 mm
750 mm
12 mm
50 mm B
A
C
P
u

1.3 Tensão em um plano oblíquo sob
carregamento axial
Nas seções anteriores, vimos que forças axiais aplicadas em um elemento
de barra (Fig. 1.26a) provocavam tensões normais na barra (Fig. 1.26b), en-
quanto forças transversais agindo sobre parafusos e pinos (Fig. 1.27a) provo-
cavam tensões de cisalhamento nas conexões (Fig. 1.27b). A razão pela qual
se observou uma relação entre forças axiais e tensões normais, por um lado, e
forças transversais e tensões de cisalhamento, por outro lado, era porque as ten-
sões estavam sendo determinadas apenas em planos perpendiculares ao eixo do
elemento ou conexão. Conforme será visto nesta seção, forças axiais provocam
tensões normais e tensões de cisalhamento em planos que não são perpendicu-
lares ao eixo do elemento. Da mesma forma, forças transversais agindo sobre
um parafuso ou um pino provocam tensões normais e tensões de cisalhamento
em planos que não são perpendiculares ao eixo do parafuso ou pino.
Fig. 1.27 (a) Diagrama de um parafuso a partir de uma conexão de
cisalhamento simples com um corte plano normal ao parafuso. (b)
Modelos de diagrama de força equivalente da força resultante atuando
no corte do centroide e a tensão de cisalhamento uniforme média.
P'
P
P
P' P'

(a) (b)
Considere a barra da Fig. 1.26, que está submetida às forças axiais P e
P9. Se cortarmos a barra por um plano formando um ângulo u com um plano
normal (Fig. 1.28a) e desenharmos o diagrama de corpo livre da parte do
componente localizada à esquerda da seção (Fig. 1.28b), verificaremos, pe-
las condições de equilíbrio do corpo livre, que as forças distribuídas agindo
na seção serão equivalentes à força P.
Decompondo P nas suas componentes F e V, respectivamente normal e
tangencial à seção (Fig. 1.28c), temos
(1.12)
F P cos u V P sen u
A força F representa a resultante das forças normais distribuídas sobre a se-
ção, e a força V, a resultante das forças tangenciais (Fig. 1.28d). Os valores
médios das tensões normal e de cisalhamento correspondentes são obtidos divi-
dindo-se, respectivamente, F e V pela área Au da seção:

(1.13)
s
F
Au
t
V
Au
Substituindo F e V de (1.12) em (1.13) e observando, da Fig. 1.28c,
que A0 5 Au cos u, ou Au 5 A0ycos u, em que A0 indica a área de uma seção
perpendicular ao eixo da barra, obtemos
s
P cos u
A0 cos u
t
P sen u
A0 cos u
Fig. 1.26 Forças axiais aplicadas em um
elemento de barra. (a) Corte plano perpendicular
ao membro distante da aplicação da carga. (b)
Modelos de diagrama de força equivalente da
força resultante atuando no centroide e a tensão
normal uniforme.
(a)
(b)
P
P
P'
P'
P'
s
Fig. 1.28 Corte oblíquo através de uma barra
simples. (a) Corte plano feito em um ângulo
u ao elemento normal ao plano, (b) Diagrama
de corpo livre do corte esquerdo com a força
resultante interna P. (c) Diagrama de copro livre
da força resultante resolvida nos componentes
F e V ao longo das direções normal e tangencial
à seção plana. (d) Diagrama de corpo livre com
as forças do corte F e V representadas como
tensão normal, s, e tensão de cisalhamento, t.
P'
P'
P'
P
A
A0
u
P
V
F
P'
(a)
(c)
(b)
(d)
u
u
s
t
P

26
ou
(1.14)
s
P
A0
cos2
u t
P
A0
sen u cos u
Notamos na primeira das Equações (1.14) que a tensão normal s é máxi-
ma quando u 5 0, ou seja, quando o plano da seção é perpendicular ao eixo do
elemento, e que ela se aproxima de zero à medida que u se aproxima de 908.
Verificamos que o valor de s quando u 5 0 é
(1.15)
sm
P
A0
A segunda das Equações (1.14) mostra que a tensão de cisalhamento t é zero para
u 5 0 e u 5 908 e que para u 5 458 ela alcança seu valor máximo
(1.16)
tm
P
A0
sen 45° cos 45°
P
2A0
A primeira das Equações (1.14) indica que, quando u 5 458, a tensão normal
s9 também é igual a Py2A0:
(1.17)
s¿
P
A0
cos2
45°
P
2A0
Os resultados obtidos nas Equações (1.15), (1.16) e (1.17) são mos-
trados graficamente na Fig. 1.29. Notamos que a mesma carga pode pro-
duzir uma tensão normal sm 5 PyA0 e nenhuma tensão de cisalhamento
(Fig. 1.29b), ou uma tensão normal e de cisalhamento da mesma intensidade
s9 5 tm 5 Py2A0 (Fig. 1.29c e d), dependendo da orientação da seção.
1.4 Tensão sob condições gerais de
carregamento; componentes de tensão
Os exemplos das seções anteriores estavam limitados a elementos sob
carregamento axial e conexões sob carregamento transversal. Muitos ele-
mentos estruturais e de máquinas estão sob condições de carregamento mais
complexas.
Considere um corpo sujeito a várias cargas, P1, P2, etc. (Fig. 1.30). Para
entendermos a condição de tensão criada por essas cargas em algum ponto Q
interno ao corpo, vamos primeiro passar um corte através de Q, utilizando um
plano paralelo ao plano yz. A parte do corpo à esquerda do corte está sujeita
a algumas das cargas originais e a forças normais e cortantes distribuídas na
seção. Vamos indicar por DFx e DVx, respectivamente, as forças normal e cor-
tante agindo sobre uma pequena área DA que circunda o ponto Q (Fig. 1.31a).
Note que é utilizado o índice superior x para indicar que as forças DFx
e DVx agem sobre uma superfície perpendicular ao eixo x. Enquanto a for-
ça normal DFx tem uma direção bem definida, a força cortante DVx pode ter
qualquer direção no plano da seção. Decompomos então DVx nas duas com-
ponentes de força, DVx
y e DVx
z, em direções paralelas aos eixos y e z, respecti-
vamente (Fig. 1.31b). Dividindo agora a intensidade de cada força pela área
Fig. 1.29 Resultados de tensão
selecionados por carregamento axial.
P'
(a) Carga axial
(b) Tensão para = 0
m = P/A0
u
(c) Tensão para = 45
u
(d) Tensão para = –45
u
s
' = P/2A0
s
' = P/2A0
s
m = P/2A0
t
m = P/2A0
t
P
Fig. 1.30 Múltiplas cargas em um
corpo.
P1
P4
P3
P2
y
z
x

DA e fazendo DA aproximar-se de zero, definimos as três componentes de
tensão mostradas na Fig. 1.32:

(1.18)
txy lim
¢AS0
¢Vy
x
¢A
txz lim
¢AS0
¢Vz
x
¢A
sx lim
¢AS0
¢Fx
¢A
Notemos que o primeiro índice em sx, txy e txz é utilizado para indicar que as
tensões em consideração são aplicadas em uma superfície perpendicular ao
eixo x. O segundo índice em txy e txz identifica a direção da componente. A
tensão normal sx é positiva, se o sentido do vetor correspondente apontar para
a direção positiva de x, isto é, se o corpo estiver sendo tracionado, e negativa
em caso contrário. Analogamente, as componentes da tensão de cisalhamento
txy e txz são positivas, se os sentidos dos vetores correspondentes apontarem,
respectivamente, nas direções positivas de y e z.
A análise acima também pode ser feita considerando-se a parte do corpo
localizada à direita do plano vertical através de Q (Fig. 1.33). As mesmas
intensidades, mas com sentidos opostos, são obtidas para as forças normal e
cortante DFx, DVx
y e DVx
z. Portanto, os mesmos valores são também obtidos
para as componentes de tensão correspondentes, mas, como a seção na Fig.
1.35 agora está voltada para o lado negativo do eixo x, um sinal positivo para
sx indicará que o sentido do vetor correspondente aponta na direção negativa
de x. Analogamente, sinais positivos para txy e txz indicarão que os sentidos
dos vetores correspondentes apontam, respectivamente, nas direções negati-
vas de y e z, como mostra a Fig. 1.33.
Passando um corte através de Q paralelo ao plano zx, definimos da mesma
maneira as componentes da tensão sy, tyz e tyx. Finalmente, um corte através
de Q paralela ao plano xy resulta nas componentes sz, tzx e tzy.
Para facilitar a visualização do estado de tensão no ponto Q, considera-
remos um pequeno cubo de lado a centrado em Q e as tensões que atuam em
cada uma das seis faces desse cubo (Fig. 1.34). As componentes de tensão
Fig. 1.32 Componentes de tensão no ponto Q
no corpo à esquerda do plano.
y
z
x
x
xy
Q

xz

Fig. 1.33 Componentes de tensão no ponto Q
no corpo à direita do plano.
y
z
x
x
xy

xz

Q
Fig. 1.31 (a) Resultantes das forças cortante e normal, DV x e DF x,
atuando sobre uma pequena área DA no ponto Q. (b) Forças em DA
solucionadas em forças nas direções coordenadas.
Fx
P2 P2
P1
y
z
x
y
z
x
P1
A
Fx
D
D
D
Vx
D
Vx
D
(a) (b)
Q Q
z
Vx
D y

28
mostradas na figura são sx, sy e sz, que representam as tensões normais nas
faces perpendiculares, respectivamente, aos eixos x, y e z e às seis compo-
nentes de tensão de cisalhamento txy, txz, etc. Recordamos que, de acordo
com a definição das componentes de tensão de cisalhamento, txy representa
a componente y da tensão de cisalhamento que atua na face perpendicular ao
eixo x, enquanto tyx representa a componente x da tensão de cisalhamento que
atua na face perpendicular ao eixo y. Note que somente três faces do cubo são
realmente visíveis na Fig. 1.34 e que componentes de tensão iguais e opostas
atuam nas faces ocultas. Embora as tensões que atuam nas faces do cubo difi-
ram ligeiramente das tensões em Q, o erro envolvido é pequeno e desaparece
na medida em que o lado a do cubo aproxima-se de zero.
Componentes de tensão cisalhantes. Considere o diagrama de corpo livre do
pequeno cubo com centro no ponto Q (Fig. 1.35). As forças normal e cortante que
atuam nas várias faces do cubo são obtidas multiplicando-se as componentes de
tensão correspondentes pela área DA de cada face. Escreveremos primeiro as três
equações de equilíbrio a seguir:
(1.19)
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Como há forças iguais e opostas às forças mostradas na Fig. 1.35 que atuam
nas faces ocultas do cubo, está claro que as Equações (1.19) são satisfeitas.
Considerando agora os momentos das forças em relação aos eixos x9, y9 e z9
desenhados a partir de Q em direções, respectivamente, paralelas aos eixos x,
y e z, temos as três equações adicionais
(1.20)
Mx¿ 0 My¿ 0 Mz¿ 0
Utilizando a projeção no plano x9y9 (Fig. 1.36), notamos que somente as for-
ças de cisalhamento têm momentos, em relação ao eixo z, diferentes de zero.
Essas forças formam dois conjugados, um de momento anti-horário (positivo)
(txy DA)a, e outro de momento horário (negativo) 2(tyx DA)a. Da última das
três Equações (1.20) resulta, então,
1txy ¢A2a 1tyx ¢A2a 0
g Mz 0:
da qual concluímos que
(1.21)
txy tyx
A relação obtida mostra que a componente y da tensão de cisalhamento apli-
cada à face perpendicular ao eixo x é igual à componente x da tensão de ci-
salhamento aplicada sobre a face perpendicular ao eixo y. Das duas equações
restantes (1.20), determinamos de maneira semelhante as relações
(1.22)
tyz tzy tzx txz
Concluímos, das Equações (1.21) e (1.22), que são necessárias somente
seis componentes de tensão para definir o estado de tensão em um determi-
nado ponto Q, em lugar das nove componentes consideradas originalmente.
Essas seis componentes são sx, sy, sz, txy, tyz e tzx. Notamos também que,
em um determinado ponto, o cisalhamento não pode ocorrer apenas em
Fig. 1.34 Componentes de tensão positivos
no ponto Q.
tyz
tyx
txy
txz
tzx
tzy
sy
sz
sx
a
Q
a
a
z
y
x
Fig. 1.35 Forças resultantes positivas em
um pequeno elemento no ponto Q resultado
de um estado de tensão geral.
tyxDA
txyDA
txzDA
tzxDA
sxDA
szDA
tzyDA
tyzDA
syDA
Q
z
y
x
Fig. 1.36 Diagrama de corpo livre do elemento
pequeno em Q visto no plano projetado
perpendicular ao eixo z. Forças resultantes nas
faces negativas e positicas de z (não mostrado)
agindo através do eixo z, sem contribuir para o
momento sobre o eixo.
yxA
yxA
xyA
xyA
xA
xA
yA
y A
x'
a
z'
y'

um plano; deve sempre existir uma tensão de cisalhamento igual em outro
plano perpendicular ao primeiro. Por exemplo, considerando novamente o
parafuso da Fig. 1.29 e um pequeno cubo no centro Q do parafuso (Fig.
1.37a), vemos que tensões de cisalhamento de igual intensidade devem estar
atuando nas duas faces horizontais do cubo e nas duas faces perpendiculares
às forças P e P9 (Fig. 1.37b).
Carga axial. Antes de concluirmos nossa discussão sobre as componentes
de tensão, vamos considerar novamente o caso de um elemento sob carga
axial. Se considerarmos um pequeno cubo com faces, respectivamente, pa-
ralelas às faces do elemento, e lembrando os resultados obtidos na Seção
1.3, verificaremos que o estado de tensão no elemento pode ser descrito
como mostra a Fig. 1.38a; as únicas tensões são as normais sx que atuam
nas faces do cubo perpendiculares ao eixo x. No entanto, se o pequeno cubo
for girado de 458 em torno do eixo z de modo que sua nova orientação cor-
responda à orientação das seções consideradas na Fig. 1.29c e d, concluímos
que as tensões normal e de cisalhamento de igual intensidade estão atuando
nas quatro faces do cubo (Fig. 1.38b). Observamos então que a mesma con-
dição de carregamento pode levar a diferentes interpretações do estado de
tensão em um determinado ponto, dependendo da orientação do elemento
considerado. Discutiremos mais sobre esse assunto no Capítulo 7: Transfor-
mação de Tensão e Deformações.
1.5 Considerações de projeto
Em aplicações de engenharia, a determinação das tensões raramente é o
objetivo final. Ao contrário, o conceito de tensões é utilizado pelos engenheiros
como auxílio na sua mais importante tarefa: o projeto de estruturas e máquinas
que executarão determinada função com segurança e economia.
1.5.1 Determinação do limite de resistência de um material
Um elemento importante a ser considerado por um projetista é como o mate-
rial selecionado se comportará sob um carregamento. Para um determinado
material, isso é determinado executando-se testes específicos em corpos de
prova preparados com aquele material. Por exemplo, um corpo de prova de
aço pode ser preparado e colocado em uma máquina de ensaios de laborató-
rio para ser submetido à força axial de tração centrada conhecida, conforme
descrito na Seção 2.1.2. À medida que se aumenta a intensidade da força, são
medidas várias alterações no corpo de prova, como alterações em seu com-
primento e diâmetro. Em algum momento, é possível atingir a máxima força
a ser aplicada ao corpo de prova, e este pode se romper ou começar a supor-
tar menos carga. Essa força máxima é chamada de carga-limite do corpo de
prova, também denominada PL. Como a carga aplicada é centrada, podemos
dividir o valor da carga-limite pela área da seção transversal original da barra
para obter o limite da tensão normal do material utilizado. Essa tensão, tam-
bém conhecida como limite de resistência à tração do material, é
(1.23)
sL
PL
A
Fig. 1.37 (a) Parafuso de cisalhamento simples
com o ponto Q escolhido no centro. (b) Elemento
de tensão de cisalhamento puro no ponto Q.
(a) (b)
t
t
t
t
P
P'
Q
Fig. 1.38 Mudar a orientação do elemento de
tensão cria diferentes components de tensão
para um mesmo estadão de tensão.
(b)
(a)
tm =
=
tm
P
P'
P'
P
P
2A
z
x
y
'
458
sx =
sx
P
A
P
2A
s '
s
'
s
'
s

30
Há vários procedimentos de ensaio disponíveis para determinar o limi-
te da tensão de cisalhamento, ou limite de resistência em cisalhamento, de
um material. O procedimento mais comumente utilizado envolve a torção de
um tubo circular (Seção 3.2). Um procedimento mais direto, embora menos
preciso, consiste em prender uma barra retangular ou redonda e, com uma
ferramenta de corte (Fig. 1.39), aplicar uma carga P crescente até ser obtida
a carga-limite PL para cisalhamento simples. Se a extremidade livre do corpo
de prova se apoiar em ambas as superfícies de corte (Fig. 1.40), será obtida a
carga-limite para cisalhamento duplo. Em qualquer caso, o limite da tensão
de cisalhamento tL.
(1.24)
tL
PL
A
No caso de cisalhamento simples, essa é a área da seção transversal A do
corpo de prova, enquanto em cisalhamento duplo ela é igual a duas vezes a
área da seção transversal.
1.5.2 Carga admissível e tensão admissível;
coeficiente de segurança
A carga máxima que um elemento estrutural ou um membro de máquina po-
derá suportar sob condições normais de utilização é consideravelmente menor
que o valor da carga-limite. Essa carga menor é conhecida como carga admis-
sível e, às vezes, como carga de trabalho ou carga de projeto. Somente uma
fração do limite da capacidade de carga do elemento é utilizada quando apli-
cada à carga admissível. A parte restante da capacidade de carga do elemento
é mantida na reserva para garantir seu desempenho com segurança. A relação
entre a carga-limite e a carga admissível é utilizada para definir o coeficiente
de segurança.† Temos
(1.25)
Coeficiente de segurança C.S.
carga-limite
carga admissível
Uma definição alternativa do coeficiente de segurança é dada com base no
uso de tensões:
(1.26)
limite de tensão
tensão admissível
As duas expressões dadas para o coeficiente de segurança nas equações acima
são idênticas quando existe uma relação linear entre a carga e a tensão. No
entanto, na maioria das aplicações de engenharia, essa relação deixa de ser
linear à medida em que a carga se aproxima de seu valor-limite e o coeficiente
de segurança obtido da Equação (1.26) não proporciona uma verdadeira ava-
liação da segurança de um determinado projeto. Contudo, o método de projeto
da tensão admissível, com base no uso da Equação (1.26), é amplamente
utilizado.
Fig. 1.39 Ensaio de cisalhamento simples.
P
Fig. 1.40 Ensaio de cisalhamento duplo.
P
† Em alguns campos da engenharia, principalmente na engenharia aeronáutica, é usada a margem
de segurança em lugar do coeficiente de segurança. A margem de segurança é definida como o
coeficiente de segurança menos um; ou seja, margem de segurança 5 C.S. 2 1,00.

1.5.3 Seleção de um coeficiente de segurança apropriado
A seleção do coeficiente de segurança a ser utilizado para várias aplicações é
uma das mais importantes tarefas da engenharia. No entanto, se for escolhido
um coeficiente de segurança muito pequeno, a possibilidade de falha se tor-
nará grande e inaceitável; em contrapartida, se for escolhido um coeficiente
de segurança desnecessariamente grande, o resultado será um projeto antie-
conômico e não funcional. A escolha do coeficiente de segurança apropriado
para uma aplicação requer senso de engenharia com base em muitas conside-
rações, como:
1. Variações que podem ocorrer nas propriedades do elemento sob con-
sideração. A composição, a resistência e as dimensões do elemento
estão sujeitas a pequenas variações durante a fabricação. Além disso,
as propriedades do material podem ser alteradas e as tensões residuais,
introduzidascomoaquecimentooudeformaçãoquepodemocorrerdu-
rante a fabricação, a armazenagem, o transporte ou a construção.
2. Número de cargas que podem ser esperadas durante a vida da estru-
tura ou máquina. Para a maioria dos materiais, a tensão-limite dimi-
nui na medida em que o número de operações de carga aumenta. Esse
fenômeno é conhecido como fadiga e, se for ignorado, pode resultar
em falha súbita (ver a Seção 2.1.6).
3. Tipo de carregamento planejado para o projeto ou que pode ocor-
rer no futuro. Poucas são as cargas que podem ser conhecidas com
exatidão total — a maioria das cargas de projeto é estimativa de en-
genharia. Além disso, alterações futuras ou mudanças no uso podem
introduzir alterações na carga real. Coeficientes de segurança maio-
res são também necessários para carregamentos dinâmicos, cíclicos
ou impulsivos.
4. Tipo de falha que pode ocorrer. Materiais frágeis falham subitamen-
te, em geral sem uma indicação prévia de que o colapso é iminente.
Não obstante, materiais dúcteis, como o aço utilizado em estruturas,
normalmente passam por uma deformação substancial chamada de
escoamento antes de falhar, proporcionando assim um aviso de que
existe sobrecarga. No entanto, a maioria das falhas por flambagem
ou por perda de estabilidade é súbita, seja o material frágil ou não.
Quando existe a possibilidade de falha súbita, deverá ser utilizado um
coeficiente de segurança maior que aquele utilizado quando a falha é
precedida por sinais óbvios de aviso.
5. Incerteza em virtude de métodos de análise. Todos os métodos de
análise são realizados com base em certas hipóteses simplificado-
ras cujos resultados fazem as tensões calculadas aproximarem-se das
tensões reais.
6. Deterioração que pode ocorrer no futuro em razão da falta de ma-
nutenção ou devido às causas naturais imprevisíveis. Um coeficiente
de segurança maior é necessário em locais em que as condições como
corrosão e envelhecimento são difíceis de controlar ou até de desco-
brir.
7. Importância de um determinado elemento para a integridade de toda
a estrutura. Contraventamentos e elementos secundários podem, em
muitos casos, ser projetados com um coeficiente de segurança menor
que aquele utilizado para elementos principais.

32
Além dessas considerações, há uma outra referente ao risco de vida e de
danos materiais que uma falha poderia produzir. Nos casos em que uma falha
não causaria risco de vida, e somente risco mínimo de danos materiais, pode-
-se considerar o uso de um coeficiente de segurança menor. Finalmente, há a
consideração prática de que, a menos que seja utilizado um projeto cuidadoso,
com um coeficiente de segurança baixo, uma estrutura ou máquina pode não
executar a função para a qual ela foi projetada. Altos coeficientes de seguran-
ça, por exemplo, podem ter um efeito inaceitável no peso de um avião.
Para a maioria das aplicações estruturais e de máquinas, coeficientes de
segurança são definidos por especificações de projeto ou normas técnicas redi-
gidas por comitês de engenheiros experientes que trabalham em conjunto com
sociedades profissionais, com indústrias ou com agências federais, estaduais ou
municipais. Exemplos de tais especificações de projeto e normas técnicas são
1. Aço: American Institute of Steel Construction, Especificações para
Construção com Aço Estrutural
2. Concreto: American Concrete Institute, Código de Requisitos para
Construção em Concreto Estrutural
3. Madeira: American Forest and Paper Association, Especificações Na-
cionais para Construção em Madeira
4. Pontes rodoviárias: American Association of State Highway Officials,
Especificações Padrão para Pontes Rodoviárias
1.5.4 Coeficiente de projeto para carga e resistência
Conforme vimos, o método da tensão admissível exige que todas as incertezas
associadas com o projeto de uma estrutura ou elemento de máquina sejam agru-
padas em um único coeficiente de segurança. Um método alternativo de projeto,
que está ganhando aceitação principalmente entre engenheiros estruturais, torna
possível, com o uso de três diferentes coeficientes, distinguir entre as incertezas
associadas com a própria estrutura e aquelas associadas com a carga que ela
deve suportar por projeto. Esse método, conhecido como Load and Resistance
Factor Design — LRFD (Coeficiente de Projeto para Carga e Resistência), per-
mite ao projetista distinguir melhor entre incertezas associadas a carga externa,
PE, ou seja, com a carga a ser suportada pela estrutura, e a carga permanente,
PP, ou seja, com o peso da parte da estrutura contribuindo para a carga total.
Quando esse método de projeto for utilizado, deverá ser determinado pri-
meiro o limite de carga, PL, da estrutura, ou seja, a carga na qual a estrutura
deixa de ser útil. O projeto proposto é então aceitável se for satisfeita a seguinte
inequação:
(1.27)
gPPP gEPE fPL
O coeficiente f é conhecido como coeficiente de resistência: ele está rela-
cionado às incertezas associadas com a própria estrutura e normalmente será
menor que 1. Os coeficientes gP e gE são chamados de coeficientes de carga;
eles estão relacionados às incertezas associadas, respectivamente, com a carga
permanente e a carga externa e normalmente serão maiores que 1, com gE
geralmente maior que gP. Embora sejam incluídos alguns exemplos ou pro-
blemas propostos utilizando LRFD neste capítulo e nos Capítulos 5 e 10, será
utilizado neste texto o método de projeto da tensão admissível.

São aplicadas duas forças ao suporte BCD mostrado na figura. (a) Sabendo
que a barra de controle AB deve ser feita de aço e ter um limite de tensão normal
de 600 MPa, determine o diâmetro da barra para o qual o coeficiente de segurança
com relação à falha seja igual a 3,3. (b) Sabendo que o pino em C deve ser feito de
um aço com um limite de tensão de cisalhamento de 350 MPa, determine o diâme-
tro do pino C para o qual o coeficiente de segurança com relação ao cisalhamento
seja também igual a 3,3. (c) Determine a espessura necessária para as barras de
apoio em C, sabendo que a tensão de esmagamento admissível do aço utilizado é
300 MPa.
Estratégia: Considere o corpo livre do suporte e determine a força P e a
reação em C. As forças resultantes são então utilizadas junto com as tensões
admissíveis determinadas pelo coeficiente de segurança, a fim de obter as di-
mensões desejadas.
Modelagem: Desenhe o diagrama de corpo livre do suporte (Fig. 1), e do pino
em C (Fig. 2).
Análise:
Corpo livre: o suporte inteiro. Utilizando a Fig. 1, a reação em C é representada
por seus componentes Cx e Cy.
Cx 40 k
Cy 65 kN
C 2Cx
2
Cy
2
76.3 kN
Fx 0:
Fy 0:
P10,6 m2 150 kN210,3 m2 115 kN210,6 m2 0 P 40 kN
g MC 0:
76,3 kN
kN
a. Haste de controle AB. Como o coeficiente de segurança deve ser 3,3, a ten-
são admissível é
sadm
sL
C.S.
600 MPa
3,3
181,8 MPa
Para P 5 40 kN, a área da seção transversal necessária é
dAB 16,74 mm
Anec
p
4
dAB
2
220 10 6
m2
Anec
P
sadm
40 kN
181,8 MPa
220 10 6
m2
b. Cisalhamento no pino C. Para um coeficiente de segurança de 3,3, temos
tadm
tL
C.S.
350 MPa
3,3
106,1 MPa
Como mostrado na Fig. 2, o pino está sob corte duplo, então temos
Utilizamos:dC 22 mm
dC 21,4 mm
Anec
p
4
dC
2
360 mm2
Anec
C 2
tadm
176,3 kN2 2
106,1 MPa
360 mm2
t t
A
D
B
dAB
C
0,6 m
0,3 m 0,3 m
50 kN 15 kN
P
50 kN 15 kN
0,6 m
0,3 m 0,3 m
D
B
C
P
Cx
Cy
suporte.
C
C
dC
F2
F1
F1 5 F2 5 1
2
Fig. 2 Diagrama de corpo
livre do pino no ponto C.

34
c. Esmagamento em C. Utilizando d H 22 mm, a área nominal de esmagamento
de cada barra é 22t. Como a força aplicada em cada suporte é Cy2, e a tensão de
esmagamento admissível é 300 MPa, temos
Assim, Utilizamos: t 6 mm
22t 127,2 t 5,78 mm
Anec
C 2
sadm
176,3 kN2 2
300 MPa
127,2 mm2
Refletir e Pensar: É apropriado projetar o pino C primeiro e em seguida seu
suporte, uma vez que o projeto do pino é geometricamente dependente apenas de
seu diâmetro, enquanto que o projeto do suporte envolve tanto o diâmetro do pino
quanto a espessura do suporte.
d 5 22 mm
t C
1
2
C
1
2
Fig. 3 Cargas de esmagamento no
suporte no ponto C.
D
C
B
A
150 mm
200 mm
D
D
B
C
B C
150mm 200mm
Fig. 1 Diagrama de corpo livre da viga BCD.
A viga rígida BCD está presa por parafusos a uma barra de controle em
B, a um cilindro hidráulico em C e a um suporte fixo em D. Os diâmetros dos
parafusos utilizados são: dB 5 dD 5 9,5 mm, dC 5 12,7 mm. Cada parafuso
age sob cisalhamento duplo e é feito de um aço para o qual o limite da tensão
de cisalhamento é tL 5 275 MPa. A barra de controle AB tem um diâmetro
dA 5 11 mm e é feita de um aço para o qual o limite da tensão de tração é
sL 5 414 MPa. Se o coeficiente de segurança mínimo deve ser 3,0 para toda
a estrutura, determine a maior força ascendente que pode ser aplicada pelo
cilindro hidráulico em C.
Estratégia: O coeficiente de segurança com relação à falha deve ser igual
ou maior do que 3 em cada um dos três parafusos e na haste de controle. Esses
quatro critérios independentes devem ser considerados separadamente.
Modelagem: Desenhe o diagrama de corpo livre da barra (Fig. 1) e dos
parafusos em B e C (Figuras 2 e 3). Determine o valor admissível da força C
baseado no critério de projeto requerido por cada parte.
Análise:
Corpo livre: viga BCD. Utilizando a Fig. 1, primeiramente determinamos a
força C em função das forças B e D.
(1)
(2)
C 2,33D
D1350 mm2 C1150 mm2 0
g MB 0:
C 1,750B
B1350 mm2 C1200 mm2 0
g MD 0:
Haste de controle. Para um coeficiente de segurança de 3,0, temos
sadm
sL
C.S.
414 MPa
3,0
138 MPa
A força admissível na haste de controle é
B sadm1A2 1138 MPa2 1
4p 111 mm22
13,11 kN

Utilizando a Equação (1), determinamos o maior valor admissível C:
C 22,94 kN
C 1,750B 1,750113,11 kN2
Parafuso em B. tadm 5 tL=C.S. 5 (275 MPa)=3 5 91,67 MPa. Como o parafuso
está sob corte duplo, o valor admissível da força B aplicada no parafuso é
Da Equação (1): C 22,75 kN
C 1,750B 1,750113,00 kN2
B 2F1 21tadm A2 2191,67 MPa211
4 p219,5 mm22
13,00 kN
F1
F1
B
9,5 mm
B 5 2F1
livre do pino no ponto B.
Parafuso em D. Como esse parafuso é igual ao parafuso B, a força admissível é
D 5 B 5 13,00 kN. Da Equação (2):
C 30,29 kN
C 2,33D 2,33113,00 kN2
Parafuso em C. Temos novamente tadm 5 91,67 MPa. Utilizando a Fig. 3, es-
crevemos
C 23,22 kN
C 2F2 21tadm A2 2191,67 MPa211
4 p2112,7 mm22
C
F2
F2
12,7 mm
C = 2F2
livre do pino no ponto C.
Resumo. Encontramos separadamente quatro valores máximos admissíveis para
a força C. Para satisfazermos todos esses critérios, devemos escolher o menor
valor, ou seja:
Refletir e Pensar: Este exemplo demonstra que todas as partes devem
satisfazer o critério de projeto apropriado e, como resultado, algumas partes
resultam com capacidade maior que a necessária.

36
1.29 Dois elementos de madeira de seção transversal retangular uniforme são
unidos por uma emenda colada como mostra a figura. Sabendo que P 5 11
kN, determine as tensões normal e de cisalhamento na emenda colada.
unidos por uma emenda colada como mostra a figura. Sabendo que a máxi-
ma tensão de cisalhamento admissível na emenda é 620 kPa, determine (a) a
maior carga P que pode ser suportada com segurança e (b) a tensão de tração
correspondente na emenda.
1.31 A carga P de 6 227 N é suportada por dois elementos de madeira de seção
transversal uniforme unidos pela emenda colada mostrada na figura. Deter-
mine as tensões normal e de cisalhamento na emenda colada.
unidos por uma emenda colada como mostra a figura. Sabendo que a máxi-
ma tensão de tração admissível na emenda é 75 psi, determine (a) a maior
carga P que pode ser aplicada com segurança e (b) a tensão de cisalhamento
correspondente na emenda.
1.33 Uma carga P centrada é aplicada ao bloco de granito mostrado na figura. Sa-
bendo que o valor máximo resultante da tensão de cisalhamento no bloco é
17,24 MPa, determine (a) a intensidade de P, (b) a orientação da superfície
na qual ocorre a tensão de cisalhamento máxima, (c) a tensão normal que
atua na superfície e (d) o valor máximo da tensão normal no bloco.
1.34 Uma carga P de 1 070 kN é aplicada ao bloco de granito mostrado na figura.
Determine o valor máximo resultante da (a) tensão normal e (b) tensão de
cisalhamento. Especifique a orientação do plano no qual ocorre cada um
desses valores máximos.
152,4 mm
152,4 mm
P
Fig. P1.33 e P1.34
1.35 Um tubo de aço com 400 mm de diâmetro externo é fabricado a partir de
uma chapa de aço com espessura de 10 mm soldada ao longo de uma hélice
que forma um ângulo de 20° com um plano perpendicular ao eixo do tubo.
Sabendo que uma força axial P de 300 kN é aplicada ao tubo, determine as
tensões normal e de cisalhamento respectivamente nas direções normal e
tangencial à solda.
P'
P
608
127,0 mm
76,2 mm
Fig. P1.31 e P1.32
PROBLEMAS
75 mm
150 mm
458
P'
P
Fig. P1.29 e P1.30

1.36 Um tubo de aço com 400 mm de diâmetro externo é fabricado a partir de uma
chapa de aço com espessura de 10 mm soldada ao longo de uma hélice que
forma um ângulo de 20º com um plano perpendicular ao eixo do tubo. Sabendo
que as tensões normal e de cisalhamento máximas admissíveis nas direções,
respectivamente, normal e tangencial à solda são s 5 60 MPa e t 5 36 MPa,
determine o valor P da maior força axial que pode ser aplicada ao tubo.
1.37 Um aro em forma de losango de aço ABCD com comprimento de
1,2 m e com 10 mm de diâmetro é colocado para envolver uma barra de
alumínio AC com 24 mm de diâmetro, conforme mostra a figura. São uti-
lizados os cabos BE e DF, cada um com 12 mm de diâmetro, para aplicar
a carga Q. Sabendo que o limite de resistência do aço utilizado para o aro
e os cabos é 480 MPa e que o limite de resistência do alumínio utilizado
na barra é 260 MPa, determine a máxima carga Q que pode ser aplicada
quando se adota um coeficiente de segurança 3 para todos os elementos.
1.38 O vínculo BC com 6 mm de espessura, tem largura w = 25 mm, e é feito
de aço com resistência última a tração igual a 480 MPa. Qual é o fator de
segurança utilizado se a estrutura mostrada foi projetada para uma carga P
de 16 kN?
1.39 O vínculo BC com 6 mm de espessura é feito de aço com resistência última
a tração igual a 450 MPa. Qual deverá ser sua largura w se a estrutura mos-
trada foi projetada para uma carga P de 20 kN com um fator de segurança
igual a 3?
1.40 Os elementos AB e BC da treliça mostrada são feitos da mesma liga. É sabi-
do que uma barra quadrada de 20 mm de lado feita do mesmo material foi
ensaiada a falha e sua carga última de 120 kN foi registrada. Se um fator de
segurança de 3,2 deve ser alcançado nas duas barras, determine a área da
seção transversal de (a) a barra AB, (b) a barra AC.
1.41 Os elementos AB e BC da treliça mostrada são feitos da mesma liga. É sabi-
do que uma barra quadrada de 20 mm de lado feita do mesmo material foi
ensaiada a falha e sua carga última de 120 kN foi registrada. Se a barra AB
tem uma seção transversal de 225 mm2, determine (a) o fator de segurança
para a barra AB, (b) a área da seção transversal da barra AC tal que ela tenha
o mesmo coeficiente de segurança da barra AB.
Fig. P1.38 e P1.39
A B
C
D
480 mm
908
w
P
Fig. P1.40 e P1.41
1,4 m
0,75 m
0,4 m
28 kN
B
A
C
1.42 O vínculo AB deve ser feito de um aço para o qual o limite da tensão normal
é 450 MPa. Determine a área da seção transversal para AB para a qual o
coeficiente de segurança seja 3,50. Suponha que o vínculo seja reforçado
adequadamente ao redor dos pinos em A e B.
10 mm
208
P
Solda
Fig. P1.35 e P1.36
240 mm
180 mm
24 mm
C
F
D
B
E
Q
Q'
A
10 mm
12 mm
180 mm
240 mm
Fig. P1.37
0,4 m
358
B
A
C D
E
0,4 m 0,4 m
8 kN/m
20 kN
Fig. P1.42

38
1.43 Os dois elementos de madeira mostrados suportam uma carga de 16 kN e
são unidos por juntas de madeira contraplacadas perfeitamente coladas pela
superfície de contato. A tensão de cisalhamento limite da cola é de 2,5 MPa
e o espaçamento entre os elementos é de 6 mm. Determine o comprimento
L necessário para que as juntas trabalhem com um coeficiente de segurança
igual a 2,75.
1.44 Para a conexão e o carregamento do Problema 1.43, determine o coeficiente
de segurança, sabendo que o comprimento de cada junta é L 5 180 mm.
1.45 Três parafusos de aço com 18 mm de diâmetro devem ser utilizados para
fixar a chapa de aço mostrada na figura em uma viga de madeira. Sabendo
que a chapa suportará uma carga de 110 kN e que o limite da tensão de cisa-
lhamento do aço utilizado é 360 MPa, determine o coeficiente de segurança
para esse projeto.
1.46 Três parafusos de aço devem ser utilizados para fixar a chapa de aço mostrada
na figura em uma viga de madeira. Sabendo que a chapa suportará uma carga
carga de P = 28 kips, que o limite da tensão de cisalhamento do aço utilizado é
52 ksi e que é desejado um coeficiente de segurança 3,25, determine o diâmetro
necessário para os parafusos.
1.47 Uma carga P é aplicada em um pino de aço que foi inserido em um elemento
de madeira curto preso em um teto, como mostra a figura. O limite de resis-
tência à tração da madeira utilizada é 60 MPa e 7,5 MPa em cisalhamento, ao
passo que o limite de resistência do aço é 145 MPa em cisalhamento. Sabendo
que b 5 40 mm, c 5 55 mm, e d 5 12 mm, determine a carga P se for dese-
jado um coeficiente de segurança geral de 3,2.
1.48 Para o apoio do Prob. 1.47, sabendo que o diâmetro do pino é d = 16 mm e
que a magnitude da carga é P = 20 kN, determine (a) o fator de segurança
para o pino (b) os valores necessários para b e c se o fator de segurança para
o elemento de madeira deve ser o mesmo a aquele encontrado na parte a
para o pino.
1.49 Os dois vínculos verticais CF que conectam os dois elementos horizon-
tais AD e EG têm uma seção transversal retangular uniforme de 6,35 3
25,4 mm e são feitos com um aço que tem limite de resistência em tração
de 413,7 MPa, enquanto os dois pinos em C e F têm um diâmetro de 12,7
mm e são feitos de aço com um limite de resistência em cisalhamento de
172,4 MPa. Determine o coeficiente global de segurança para os víncu-
los CF e os pinos que os conectam aos elementos horizontais.
Fig. P1.49
a
b
P
3
4
in.
1
4
in.
Fig. P1.43
16 kN
L
125 mm
6 mm
16 kN
110 kN
Fig. P1.45 e P1.46
1
2
40 mm
d
c
b
P
1
2 P
Fig. P1.47

1.50 Determine o fator de segurança para o cabo âncora no Prob. 1.49 quando
P = 2,5 kips, sabendo que a = 2 in. e b = 6 in.
1.51 O vínculo AC é feito de aço com tensão normal última de 65 ksi e tem uma
seção transversal retangular uniforme de 1/4 3 1/2 in. Ele está conectado
ao apoio em A e ao elemento BCD em C por pinos de 3/8 in. de diâmetro,
enquanto o elemento BCD está conectado ao seu apoio em B por um pino
de 5/16 in. de diâmetro. Todos os pinos são feitos de aço com uma tensão de
cisalhamento última de 25 ksi e estão submetidos ao cisalhamento simples.
Sabendo que o fator de segurança de 3,25 é o desejado, determine a maior
carga P que pode ser aplicada em D. Observe que o vínculo AC não é refor-
çado no entorno dos orifícios do pino.
1.52 Resolva o Prob. 1.51, admitindo que a estrutura foi reprojetada para utilizar
pinos de 5/16 in. em A e C assim como em B e que não foram feitas outras
alterações.
1.53 Cada um dos vínculos verticais CF que conectam os elementos horizontais
AD e EG tem seção transversal retangular uniforme de 10 × 40 mm e são
feitos de aço com resistência última a tração de 400 MPa, enquanto que
cada um dos pinos em C e F tem diâmetro de 20 mm e são feitos de aço com
resistência última ao cisalhamento de 150 MPa. Determine o fator de segu-
rança global para os vínculos CF e os pinos que os conectam aos elementos
horizontais.
1.54 Resolva o Prob. 1.53, admitindo que os pinos em C e F foram substituídos
por pinos com 30 mm de diâmetro.
1.55 Na estrutura mostrada, é utilizado um pino de 8 mm de diâmetro em A e pinos
de 12 mm de diâmetro em B e D. Sabendo que o limite da tensão de cisalha-
mento é 100 MPa em todas as conexões e que o limite da tensão normal é 250
MPa em cada um dos dois vínculos que conectam B e D, determine a carga P
admissível se adotarmos um coeficiente global de segurança de 3,0.
Fig. P1.55
180 mm
200 mm
Vista superior
Vista lateral
Vista frontal
8 mm
20 mm
8 mm
8 mm
12 mm
12 mm
B
C
B
D D
A
B C
A
P
1.56 Em um projeto alternativo para a estrutura do Problema 1.55, deve ser uti-
lizado um pino de 10 mm de diâmetro em A. Supondo que todas as outras
especificações permaneçam inalteradas, determine a carga P admissível se
adotarmos um coeficiente global de segurança de 3,0.
P
6 in.
8 in.
4 in.
1
2
in.
A
B C D
Fig. P1.51
Fig. P1.53
24 kN
250 mm
250 mm
400 mm
C
A
B
E
D
F G

40
1.57 Uma plataforma de 40 kg está presa à extremidade B de uma barra AB de
madeira, de 50 kg, suportada, conforme mostra a figura, por um pino em
A e por uma barra esbelta de aço BC com um limite de carga de 12 kN. (a)
Utilizando o método do Coeficiente de Projeto para Carga e Resistência,
com um coeficiente de resistência f 5 0,90 e coeficientes de carga gP 5
1,25 e gE 5 1,6, determine a maior carga que pode ser colocada com se-
gurança na plataforma. (b) Qual é o coeficiente de segurança convencional
correspondente para a barra BC?
1.58 O método do Coeficiente de Projeto para Carga e Resistência deve ser uti-
lizado para selecionar os dois cabos a serem utilizados para subir e descer
uma plataforma com dois operários lavadores de janelas. A plataforma pesa
710 N e supõe-se que cada um dos lavadores pesa 870 N, incluindo seus
equipamentos. Como os operários podem andar livremente na plataforma,
75% do peso total deles e de seus equipamentos será utilizado como carga
externa de projeto para cada cabo. (a) Supondo um coeficiente de resis-
tência f 5 0,85 e coeficientes de carga gP 5 1,2 e gE 5 1,5, determine o
limite mínimo de carga necessário de um cabo. (b) Qual é o coeficiente de
segurança convencional para os cabos selecionados?
P
P
Fig. P1.58
*
*
1,8 m
2,4 m
A B
C
Fig. P1.57
Esse capítulo foi dedicado ao conceito de tensão e à introdução aos méto-
dos utilizados para a análise e o projeto de máquinas e estruturas. Foi dada
ênfase ao uso dos diagramas de corpo livre na obtenção das equações de
equilíbrio que foram resolvidas para se chegar às reações incógnitas. Tais
diagramas também foram utilizados para encontrar as forças internas em
vários elementos de uma estrutura.
Carga Axial:Tensão Normal
O conceito de tensão foi introduzido inicialmente considerando-se
uma barra sob carga axial. A tensão normal na barra (Fig. 1.41) foi obtida
Revisão e Resumo

A
P'
P
Fig. 1.41 Componente carregado axialmente
com seção transversal normal ao component
utulizada para definir a tensão normal.
Fig. 1.42 Modelo de forças resultantes
transversais Modelo das forças resultantes
transversais em ambos os lados de C resultado
em tensão de cisalhamento na seção C.
A C B
P'
P
dividindo-se por
(1.5)
s
P
A
O valor de s obtido da Equação (1.5) representa a tensão média sobre a
seção, e não a tensão em um ponto Q específico da seção. Considerando uma
pequena área DA ao redor de Q e a intensidade DF da força exercida sobre
DA, definimos a tensão no ponto Q como
(1.6)
s lim
¢AS0
¢F
¢A
Em geral, o valor obtido para a tensão s no ponto Q na Equação (1.6)
é diferente do valor da tensão média dado pela Fórmula (1.5) e sabe-se
que ele varia ao longo da seção. No entanto, essa variação é pequena em
qualquer seção distante dos pontos de aplicação das cargas. Na prática,
portanto, a distribuição da tensão normal em uma barra com carga axial
supõe-se uniforme, exceto nas vizinhanças imediatas dos pontos de apli-
cação das cargas.
Contudo, para que a distribuição das tensões seja uniforme em uma
dada seção, é necessário que a linha de ação das cargas P e P9 passem
através do centroide C da seção. Uma carga desse tipo é chamada de carga
axial centrada. No caso de uma carga axial excêntrica, a distribuição de
tensões não é uniforme.
Forças transversais e tensão de cisalhamento
Quando forças transversais P e P9 iguais e opostas de intensidade P
são aplicadas a uma barra AB (Fig. 1.42), são criadas tensões de cisalha-
mento t sobre qualquer seção localizada entre os pontos de aplicação das
duas forças.
Essas tensões variam bastante através da seção, e sua distribuição não
pode ser considerada uniforme. No entanto, dividindo a intensidade P (cha-
mada de força cortante na seção) pela área da seção transversal A, defini-
mos a tensão de cisalhamento média sobre a seção.
(1.8)
tméd
P
A
Corte simples e duplo
Tensões de cisalhamento são encontradas em parafusos, pinos ou rebi-
tes que conectam dois elementos estruturais ou em componentes de máqui-
nas. Por exemplo, no caso do parafuso CD (Fig. 1.43), que está sob corte
simples, temos
(1.9)
tméd
P
A
F
A
ao passo que, no caso dos parafusos EG e HJ (Fig. 1.44), que estão ambos
sob corte duplo, tínhamos
(1.10)
tméd
P
A
F 2
A
F
2A
Fig. 1.43 Diagrama de junta de cisalhamento
simples.
C
D
A
F
E'
F'
B
E

42
Tensão de esmagamento
Parafusos, pinos e rebites também criam tensões localizadas ao longo
das superfícies de contato nos elementos conectados. O parafuso CD da
Fig. 1.43, por exemplo, cria tensões na superfície semicilíndrica da chapa
A com a qual ele está em contato (Fig. 1.45). Como a distribuição dessas
tensões é bastante complicada, utilizamos na prática um valor nominal mé-
dio se da tensão, chamado de tensão de esmagamento,
(1.11)
se
P
A
P
td
Método de solução
A sua solução deverá começar com um enunciado claro e preciso do
problema. Você desenhará então um ou vários diagramas de corpo livre
que utilizará para escrever equações de equilíbrio. Essas equações serão
resolvidas em função das forças desconhecidas, a partir das quais podem
ser computadas as tensões e as deformações necessárias. Uma vez obtida a
resposta, esta deverá ser cuidadosamente verificada.
Estas diretrizes são incorporadas à metodologia de resolução de proble-
mas SMART, na qual foram usados os passos de Estratégia, Modelagem,
Análise, e Refletir Pensar. Você é encorajado a aplicar a metodologia
SMART na solução de todos os problemas destacados a partir deste texto.
Tensões em um corte oblíquo
Quando as tensões são criadas em um corte oblíquo em uma barra sob
carga axial, ocorrem tensões normais e de cisalhamento. Designando por u o
ângulo formado pelo plano de corte com um plano normal (Fig. 1.46) e por
A0 a área de uma seção perpendicular ao eixo do componente, determinamos
as expressões a seguir para a tensão normal s e a tensão de cisalhamento t
no corte oblíquo:
(1.14)
s
P
A0
cos2
u t
P
A0
sen u cos u
Observamos a partir dessas fórmulas que a tensão normal é máxima e
igual a sm 5 PyA0 para u 5 0, enquanto a tensão de cisalhamento é máxi-
ma e igual a tm 5 Py2A0 para u 5 45°. Notamos também que t 5 0 quando
u 5 0, enquanto s 5 Py2A0 quando u 5 45°.
Tensão sob carregamento geral
Considerando um pequeno cubo centrado em Q (Fig. 1.47), designa-
mos por sx a tensão normal aplicada a uma face do cubo perpendicular ao
eixo x, e por txy e txz, respectivamente, as componentes y e z da tensão de
cisalhamento aplicada na mesma face do cubo. Repetindo esse procedi-
mento para as outras duas faces do cubo e observando que txy 5 tyx, tyz 5
tzy e tzx 5 txz, concluímos que são necessários seis componentes de tensão
para definir o estado de tensão em um determinado ponto Q, a saber, sx,
sy, sz, txy, tyz, tzx.
Fig. 1.44 Diagrama de corpo livre de uma junta
de cisalhamento duplo.
K
A
B
L
E H
G J
C
D
K'
L'
F
F'
Fig. 1.45 Tensão de esmagamento a partir de
uma força P e um parafuso de cisalhamento
simples associado a ela.
A
C
D
d
t
F
P
F'
P'
P'
P'
P
A
A0
u
P
V
F
P'
(a)
(c)
(b)
(d)
u
u
s
t
P
Fig. 1.46 Componente axialmente
carregado com seção de corte oblíquo.
Fig. 1.47 Componentes de tensão positiva no
ponto Q.
tyz
tyx
txy
txz
tzx
tzy
sy
sz
sx
a
Q
a
a
z
y
x

Coeficiente de segurança
A carga-limite de um componente estrutural ou componente de máquina
é a carga com a qual se espera que o elemento ou componente venha a falhar:
ela é calculada com base no valor do limite de tensão ou limite de resistên-
cia do material utilizado, conforme determinado por um teste de laboratório
feito em corpo de prova daquele material. O limite de carga deverá ser consi-
deravelemente maior que a carga admissível, isto é, a carga que o elemento
ou componente poderá suportar sob condições normais. A relação entre a
carga-limite e a carga admissível é definida como coeficiente de segurança:
(1.25)
carga-limite
carga admissível
Coeficiente de projeto para carga e resistência
O coeficiente de projeto para carga e resistência permite ao engenhei-
ro distinguir entre as incertezas associadas à estrutura e aquelas associadas
à carga.
1.59 No guindaste marítimo mostrado, sabe-se que a barra de conexão CD tem
seção transversal constante de 50 × 150 mm. Para o carregamento mostrado,
determine a tensão normal na porção central da barra de conexão.
Fig. P1.59
A
D
C
B
3 m
25 m
15 m
35 m
80 Mg
15 m
1.60 Duas forças horizontais de 22,24 kN são aplicadas ao pino B do conjunto
mostrado na figura. Sabendo que é utilizado um pino de 20,32 mm de diâ-
metro em cada conexão, determine o valor máximo da tensão normal média
(a) na haste AB e (b) na haste BC.
PROBLEMAS de revisão
B
A
C
12 mm
12 mm
46 mm
46 mm
458
608
22,24 kN
22,24 kN
Fig. P1.60

44
1.61 Para a montagem e carregamento do Problema 1.60, determine (a) a tensão
de cisalhamento média no pino C, (b) a tensão de esmagamento média em
C no componente BC e (c) a tensão de esmagamento média em B no com-
ponente BC.
1.62 Duas placas de aço são mantidas juntas através de parafusos de aço de alta
resistência com 16 mm de diâmetro perfeitamente ajustados no interior de espa-
çadores cilíndricos de latão. Sabendo que a tensão normal média não deve exce-
der 200 MPa nos parafusos e 130 MPa nos espaçadores, determine o diâmetro
externo dos espaçadores que conduz ao projeto mais econômico e seguro.
Fig. P1.62
1.63 O conjugado M de intensidade 1 500 N ? m é aplicado à manivela de um mo-
tor. Para a posição mostrada, determine (a) a força P necessária para manter
o sistema do motor em equilíbrio e (b) a tensão normal média na biela BC,
que tem uma seção transversal uniforme de 450 mm2.
1.64 Sabendo que a barra de conexão DE tem 1/8 in de espessura e 1 in de largura,
determine a tensão normal na porção central dessa barra quando (a) θ = 0º, (b)
θ = 90º.
Fig. P1.64
60 lb
F
D
E
J
C D
B
A
8 in.
2 in.
4 in.
12 in.
4 in.
6 in.
u
1.65 Uma barra de aço AB de 15,88 mm de diâmetro está encaixada em um furo
redondo próximo à extremidade C de uma vigota de madeira CD. Para o
carregamento mostrado, determine (a) a tensão normal média máxima na
madeira, (b) a distância b para a qual a tensão de cisalhamento média é
690 kPa nas superfícies indicadas pelas linhas pontilhadas e (c) a tensão de
esmagamento média na madeira.
1.66 Na estrutura de aço mostrada na figura é utilizado um pino de 6 mm de diâ-
metro em C e são utilizados pinos de 10 mm de diâmetro em B e D. O limite
da tensão de cisalhamento é 150 MPa em todas as conexões, e o limite da
tensão normal é 400 MPa na barra BD. Sabendo que se deseja um coeficien-
te de segurança de 3,0, determine a maior carga P que pode ser aplicada em
A. Note que a barra BD não é reforçada ao redor dos furos dos pinos.
Fig. P1.65
D
A
C
B
b
1500 lb
750 lb
750 lb
4 in.
1 in.
200 mm
80 mm
M
P
60 mm
B
A
C
Fig. P1.63

Fig. P1.66
18 mm
P
Vista superior
Vista lateral
Vista frontal
160 mm 120 mm
6 mm
A
A
B
C
B
D
C
B
D
1.67 O elemento ABC, suportado por um pino em C e por um cabo BD, foi pro-
jetado para suportar uma carga P de 16 kN conforme mostrado. Sabendo
que a carga limite para o cabo BD é de 100 kN, determine o coeficiente de
segurança com relação à falha do cabo.
Fig. P1.67
A
D
B
C
0,4 m
0,8 m
0,6 m
P
408
308
1.68 Uma força P é aplicada a uma barra de aço encaixada dentro de um bloco
de concreto, conforme mostra a figura. Determine o menor comprimento
L para o qual pode ser desenvolvida a tensão normal admissível na barra.
Expresse o resultado em termos do diâmetro d da barra, da tensão normal
admissível sadm no aço e da tensão média de aderência tadm entre o concreto
e a superfície cilíndrica da barra. (Despreze as tensões normais entre o con-
creto e a extremidade da barra.)
1.69 As duas partes do elemento AB são coladas ao longo de um plano formando
um ângulo u com a horizontal. Sabendo que o limite de tensão para a junta
colada é 17,24 MPa em tração e 8,96 MPa em cisalhamento, determine (a)
o valor de upara o qual o coeficiente de segurança do elemento seja máximo
e (b) o valor correspondente do coeficiente de segurança. (Dica: equacione
as expressões obtidas para os coeficientes de segurança respeitando a tensão
normal e de cisalhamento.)
1.70 As duas partes do elemento AB são coladas ao longo de um plano formando
um ângulo u com a horizontal. Sabendo que o limite de tensão para a junta
P
L d
Fig. P1.68

46
colada é de 17,2 MPa em tração e de 9 MPa em cisalhamento, determine o
intervalo de valores de u para o qual o coeficiente de segurança dos elemen-
tos seja pelo menos 3,0.
A
32 mm
10 kN
60 mm
B

Fig. P1.69 e P1.70
Os problemas a seguir devem ser resolvidos no computador.
1.C1 Umabarrasólidadeaçoconsistindodenelementoscilíndricossoldadosentre
si é submetida ao carregamento indicado na figura. O diâmetro do elemento
i é indicado por di e a carga aplicada em sua extremidade inferior, por Pi,
sendo a intensidade de Pi dessa carga considerada positiva se Pi estiver di-
recionada para baixo como mostra a figura e negativa em caso contrário. (a)
Elabore um programa de computador que possa ser utilizado para determi-
nar a tensão média em cada elemento da barra. (b) Utilize esse programa
para resolver os Problemas 1.1 e 1.3.
1.C2 Uma carga de 20 kN é aplicada ao elemento horizontal ABC, conforme
mostra a figura. O elemento ABC tem uma seção transversal retangular uni-
forme de 10 3 50 mm e é suportado por quatro vínculos verticais, cada um
com seção transversal retangular uniforme de 8 3 36 mm. Cada um dos
quatro pinos em B, C, D e E tem o mesmo diâmetro d e está em corte duplo.
(a) Elabore um programa de computador para calcular para valores de d de
10 mm a 30 mm, utilizando incrementos de 1 mm, (1) o valor máximo da
tensão normal média nos vínculos que conectam os pinos B e D, (2) a tensão
normal média nos vínculos que conectam os pinos C e E, (3) a tensão de
cisalhamento média no pino B, (4) a tensão de cisalhamento média no pino
C, (5) a tensão de esmagamento média em B no elemento ABC e (6) a tensão
de esmagamento média em C no elemento ABC. (b) Verifique o seu progra-
ma comparando os valores obtidos para d 5 16 mm com as respostas dadas
para os Problemas 1.7 e 1.27. (c) Utilize esse programa para determinar os
valores admissíveis para o diâmetro d dos pinos, sabendo que os valores ad-
missíveis para as tensões normal, de cisalhamento e de esmagamento para
o aço utilizado são, respectivamente, 150 MPa, 90 MPa e 230 MPa. (d) Re-
0,2 m
0,25 m
0,4 m
20 kN
C
B
A
D
E
Fig. P1.C2
Elemento n
Elemento 1
Pn
P1
Fig. P1.C1
PROBLEMAS para computador

solva a parte c considerando que a espessura do elemento ABC foi reduzida
de 10 mm para 8 mm.
1.C3 Duas forças horizontais de 22,242 kN são aplicadas ao pino B do conjunto
mostrado na figura. Cada um dos três pinos A, B e C tem o mesmo diâmetro
d e está em corte duplo. (a) Elabore um programa de computador para cal-
cular para valores de d de 12,7 mm a 38,1 mm, utilizando incrementos de
1,27 mm, (1) o valor máximo da tensão normal média no elemento AB, (2)
a tensão normal média no elemento BC, (3) a tensão de cisalhamento média
no pino A, (4) a tensão de cisalhamento média no pino C, (5) a tensão de
esmagamento média em A no elemento AB, (6) a tensão de esmagamento
média em C no elemento BC e (7) a tensão de esmagamento média em B no
elemento BC. (b) Verifique o seu programa comparando os valores obtidos
para d 5 20,32 mm com as respostas dadas para os Problemas 1.60 e 1.61.
(c) Utilize esse programa para encontrar os valores admissíveis para o diâ-
metro d dos pinos, sabendo que os valores admissíveis das tensões normal,
de cisalhamento e de esmagamento para o aço utilizado são, respectivamen-
te, 150 MPa, 90 MPa e 250 MPa. (d) Resolva a parte c supondo que um
novo projeto esteja sendo investigado, no qual a espessura e largura dos dois
elementos são alteradas, respectivamente, de 12 mm para 8 mm e de 45 mm
para 60 mm.
1.C4 Uma força P de 18 kN formando um ângulo a com a vertical é aplicada no
elemento ABC, conforme mostra a figura. O elemento ABC é suportado
por um pino e um suporte em C e por um cabo BD formando um ângulo
b com a horizontal. (a) Sabendo que a carga-limite do cabo é 110 kN,
elabore um programa de computador para fazer uma tabela dos valores
do coeficiente de segurança do cabo para valores de a e b de 0 até 45°,
utilizando incrementos em a e b correspondentes a incrementos de 0,1 na
tan a e na tan b. (b) Verifique que, para um determinado valor de a, o valor
máximo do coeficiente de segurança é obtido para b 5 38,66° e explique
por quê. (c) Determine o menor valor possível do coeficiente de segurança
para b 5 38,66°, bem como o correspondente valor de a, e explique o resul-
tado obtido.
1.C5 Uma carga P é suportada, conforme mostra a figura, por dois elementos de
madeira de seção transversal retangular uniforme e unidos por uma junta
colada. (a) Designando por sL e tL, respectivamente, o limite de resistência
da junta em tração e em cisalhamento, elabore um programa de computa-
dor que, para valores de a, b, P, sL e tL e para valores de a de 5° a 85° em
intervalos de 5°, possa ser utilizado para calcular (1) a tensão normal na
junta, (2) a tensão de cisalhamento na junta, (3) o coeficiente de segurança
relativo à falha em tração, (4) o coeficiente de segurança relativo à falha em
cisalhamento e (5) o coeficiente de segurança global para a junta colada.
(b) Aplique esse programa utilizando as dimensões e os carregamentos dos
elementos dos Problemas 1.29 e 1.31, sabendo que sL 5 1,034 MPa e tL 5
1,476 MPa para a cola utilizada no Problema 1.29 e que sL 5 1,26 MPa e
tL 5 1,50 MPa para a cola utilizada no Problema 1.31. (c) Verifique que em
cada um dos dois casos a tensão de cisalhamento é máxima para a 5 45°.
1.C6 O elemento ABC é suportado por um pino e suporte em A e por duas barras,
conectadas por pinos ao elemento em B e a um suporte fixo em D. (a) Ela-
bore um programa de computador para calcular a carga Padm para quaisquer
valores dados de (1) o diâmetro d1 do pino em A, (2) o diâmetro comum d2
dos pinos em B e D, (3) o limite da tensão normal sL em cada uma das duas
barras, (4) o limite da tensão de cisalhamento tL em cada um dos três pinos
B
A
C
12 mm
12 mm
46 mm
46 mm
458
608
22,24 kN
22,24 kN
Fig. P1.C3
A
D
B
C
300 mm
460 mm
380 mm
P
a
b
Fig. P1.C4
P'
P
a
a
b
Fig. P1.C5

48
e (5) o coeficiente de segurança global desejado C.S. (b) O seu programa
deverá também indicar qual das três tensões é crítica: a tensão normal nas
barras, a tensão de cisalhamento no pino em A ou a tensão de cisalhamento
nos pinos em B e D. Verifique o seu programa utilizando os dados dos Pro-
blemas 1.55 e 1.56, respectivamente, e compare as respostas obtidas para
Padm com aquelas dadas no texto. (d) Utilize o seu programa para determinar
a carga admissível Padm, bem como quais as tensões que são críticas, quando
d1 5 d2 5 15 mm, sL 5 110 MPa para as barras de alumínio, sL 5 100 MPa
para pinos de aço e C.S. 5 3,2.
180 mm
200 mm
Vista superior
Vista lateral
Vista frontal
8 mm
20 mm
8 mm
8 mm
12 mm
12 mm
B
C
B
D D
A
B C
A
P
Fig. P1.C6

Objetivos
Neste capítulo vamos:
„
„ Apresentar o conceito de deformação.
„
„ Discutir a relação entre tensão e deformação em diferentes materiais.
„
„ Determinar a deformação de elementos estruturais sob carregamento axial.
„
„ Apresentar a lei de Hooke e o módulo de elasticidade.
„
„ Discutir o conceito de deformação transversal e o coeficiente de Poisson.
„
„ Utilizar as deformações para resolver problemas indeterminados.
„
„ Definir o princípio de Saint-Venant e a distribuição de tensões.
„
„ Recapitular a concentração de tensões e como elas são consideradas em
projeto.
„
„ Definir a diferença entre comportamento elástico e plástico por meio da
discussão sobre condições como o limite elástico, a deformação plástica e
as tensões residuais.
„
„ Examinar tópicos específicos relacionados aos materiais compósitos
reforçados por fibras, fadiga, carregamento multiaxial.
Este capítulo considera as deformações que ocorrem
em elementos submetidos a carregamento axial.
No projeto da ponte estaiada se leva em conta
cuidadosamente a mudança de comprimento dos
estais em diagonal.
Tensão e deformação —
Carregamento axial
2

50
Introdução
2.1
Apresentação da tensão e da
deformação
2.1.1 Deformação específica normal sob
carregamento axial
2.1.2 Diagrama tensão-deformação
*2.1.3 Tensões e deformações específicas
verdadeiras
2.1.4 Lei de Hooke; módulo de elasticidade
2.1.5 Comportamento elástico e
comportamento plástico de um material
2.1.6 Carregamentos repetidos e fadiga
2.1.7 Deformações de elementos sob
carregamento axial
2.2 Problemas estaticamente indeterminados
2.3
Problemas que envolvem mudanças de
temperatura
2.4 Coeficiente de Poisson
2.5
Carregamento multiaxial: Lei de Hooke
generalizada
*2.6
Dilatação e módulo de
compressibilidade volumétrica
2.7 Deformação de cisalhamento
2.8
Outras discussões sobre deformação
sob carregamento axial; relação entre
E, n e G
*2.9
Relações de tensão-deformação para
materiais compósitos reforçados com
fibras
2.10
Distribuição de tensão e deformação
específica sob carregamento axial:
princípio de Saint-Venant
2.11 Concentrações de tensão
2.12 Deformações plásticas
*2.13 Tensões residuais
Introdução
Um aspecto importante da análise e do projeto de estruturas relaciona-se
com as deformações produzidas pelas cargas aplicadas a uma estrutura. A análi-
se das deformações é importante para se evitar deformações grandes o suficiente
que possam impedir a estrutura de atender à finalidade para a qual ela foi destina-
da, mas essa análise também pode nos ajudar na determinação das tensões. Sem
dúvida, nem sempre é possível determinar as forças nos componentes de uma
estrutura aplicando-se somente os princípios da estática; isso porque a estática
é baseada na hipótese de estruturas rígidas e indeformáveis. Considerando as
estruturas de engenharia deformáveis e analisando as deformações em seus vá-
rios componentes, poderemos calcular as forças estaticamente indeterminadas.
A distribuição das tensões dentro de um componente é estatisticamente indeter-
minada, mesmo quando a força naquele componente é conhecida.
Neste capítulo, vamos considerar as deformações de um componente es-
trutural como uma haste, barra, ou placa sob carregamento axial. Primeira-
mente, a deformação específica normal P em um componente será definida
como a deformação do componente por unidade de comprimento. Construin-
do um gráfico da tensão s em função da deformação específica P, à medida
que aumentarmos a carga aplicada ao componente, obteremos um diagrama
tensão-deformação específica para o material utilizado. Por meio desse dia-
grama podemos determinar algumas propriedades importantes do material,
como seu módulo de elasticidade, e se o material é dúctil ou frágil. Você
verá também que, embora o comportamento da maioria dos materiais seja
independente da direção na qual a carga é aplicada, a resposta de materiais
compósitos reforçados com fibras depende da direção da carga.
Por meio do diagrama tensão-deformação específica, podemos também
determinar se as deformações no corpo de prova desaparecerão depois de a
carga ser removida (neste caso, dizemos que o material tem comportamento
elástico,) ou se haverá uma deformação permanente ou deformação plástica.
Examinaremos o fenômeno da fadiga, que faz com que os componentes
de uma estrutura ou máquina venham a falhar após um número muito grande
de cargas repetidas, mesmo que as tensões permaneçam na região elástica.
Nas Seções 2.2 e 2.3, serão considerados os problemas estaticamente inde-
terminados, isto é, problemas nos quais as reações e as forças internas não podem
ser determinadas apenas pela estática.As equações de equilíbrio derivadas do dia-
grama de corpo livre do componente devem ser complementadas por relações que
envolvem deformações; essas relações serão obtidas da geometria do problema.
Nas Seções 2.4 a 2.8, serão introduzidas constantes adicionais associadas
com materiais isotrópicos — isto é, materiais com características mecânicas
independentes da direção. Elas incluem o coeficiente de Poisson, que relacio-
na deformação lateral e axial, o módulo de compressibilidade volumétrica,
que caracteriza a variação do volume de um material sob pressão hidrostática,
e o módulo de elasticidade transversal, que relaciona componentes de tensão
de cisalhamento e deformação específica de cisalhamento. Vamos determinar
também as relações tensão-deformação específica para um material isotrópico
sob um carregamento multiaxial.
Serão desenvolvidas relações tensão-deformação específica que envol-
vem vários valores distintos do módulo de elasticidade, do coeficiente de
Poisson e do módulo de elasticidade transversal, para materiais compósitos
reforçados com fibras submetidos a carregamento multiaxial. Embora esses
materiais sejam não isotrópicos, geralmente apresentam propriedades espe-
ciais, conhecidas como propriedades ortotrópicas, que facilitam seu estudo.

Capítulo 2 • Tensão e deformação — Carregamento axial 51
No Capítulo 1, as tensões foram consideradas uniformemen
te distribuídas
em determinada seção transversal; também supõe-se que elas perma
neçam
dentro da região elástica. A validade da primeira hipótese é discutida na Seção
2.10, enquanto concentrações de tensões próximas a furos circulares e ado-
çamentos em placas são consideradas na Seção 2.11. As Seções 2.12 e 2.13
dedicam-se à discussão das tensões e deformações em componentes feitos
com um material dúctil quando o ponto de escoamento do material é excedi-
do. Veremos, também, que dessas condições de carregamento resultam defor-
mações plásticas permanentes e tensões residuais.
2.1 Apresentação da tensão e da deformação
2.1.1
deformação específica normal sob carregamento axial
Vamos considerar uma barra BC, de comprimento L e com seção transver-
sal uniforme de área A, que está suspensa em B (Fig. 2.1a). Se aplicarmos uma
força P à extremidade C, a barra se alonga (Fig. 2.1b). Construindo um gráfico
com os valores da intensidade P da força em função da deformação d (letra gre-
ga delta), obtemos determinado diagrama força-deformação (Fig. 2.2). Embora
esse dia
grama contenha informações úteis para a análise da barra em conside-
ração, ele não pode ser utilizado diretamente para prever a deformação de uma
barra do mesmo material mas com dimensões diferentes. De fato, observamos
que, se uma deformação d é produzida em uma barra BC por uma força P, é ne-
cessária uma força 2P para provocar a mesma deformação em uma barra B ¿C ¿
de mesmo comprimento L, mas com uma área de seção transversal igual a 2A
(Fig. 2.3). Notamos que, em ambos os casos, o valor da tensão é o mesmo: s 5
PA. Em contrapartida, uma força P aplicada a uma barra B ¿¿C ¿¿, com a mesma
seção transversal de área A, mas com comprimento 2L, provoca uma deforma-
ção 2d naquela barra (Fig. 2.4), isto é, uma deformação duas vezes maior do
que a deformação d que ela produz na barra BC. Contudo, em ambos os casos,
a relação entre a deformação e o comprimento da barra é a mesma; ela é igual a
d/L. Essa observação nos leva ao conceito de deformação específica: definimos
deformação específica normal em uma barra sob carregamento axial como a
deformação por unidade de comprimento da barra. Designando a deformação
específica normal por P (letra grega epsilon), temos

d
L
(2.1)
P
d
Fig. 2.2 Diagrama força-deformação.
B B
C
C
L
A
P
d
(a) (b)
Fig. 2.1 Barra axialmente carregada não
deformada e deformada.
B'
B'
C'
C'
L
2A
2P
d
Fig. 2.3 O dobro da força é necessário
para obter a mesma deformação d quando
a área de seção transversal é duplicada.
B'' B''
C''
C''
2L
A
P
2d
Fig. 2.4 A deformação é duplicada quando
o comprimento da barra é duplicado, com a
manutenção da força P e da área de seção
transversal A.

52
Construindo o gráfico da tensão s  P/A em função da deformação especí-
fica P  d/L, obtemos uma curva característica das propriedades do material que
não depende das dimensões do corpo de prova utilizado. Essa curva é chamada
de diagrama tensão-deformação.
Como a barra BC Fig 2.1 considerada na discussão anterior tinha uma seção
transversal uniforme de área A, poderíamos supor que a tensão normal s tem
um valor constante igual a P/A por toda a barra. Assim, seria apropriado definir
a deformação específica P como a relação entre a deformação total d sobre o
comprimento total L da barra. No caso de um elemento com seção transversal de
área A variável, a tensão normal s  P/A também varia ao longo do elemento,
e é necessário definir a deformação específica em determinado ponto Q consi-
derando um pequeno elemento de comprimento não deformado ¢x (Fig. 2.5).
Designando por ¢d a deformação do elemento sob determinado carregamento,
definimos a deformação específica normal no ponto Q como
lim
¢xS0
¢d
¢x
dd
dx (2.2)
Como a deformação e o comprimento são expressos nas mesmas uni-
dades, a deformação específica normal P obtida dividindo-se d por L (ou dd
por dx) é uma quantidade adimensional. Assim, obtemos o mesmo valor nu-
mérico para a deformação específica normal em determinado componente,
independentemente de usarmos o sistema de unidades métrico SI ou o sistema
inglês. Considere, por exemplo, uma barra de comprimento L 0,600 m com
seção transversal uniforme, que sofre uma deformação d  150  1026 m. A
deformação específica correspondente é

d
L
150 10 6
m
0,600 m
250 10 6
m/m 250 10 6
Note que a deformação poderia ter sido expressa em micrômetro: d  150 mm.
e a resposta escrita em micros (m) é:

d
L
150 m
0,600 m
250 m/m 250
Quando utilizamos o sistema inglês, o comprimento e a deformação da mesma
barra são, respectivamente, L  23,6 pol e d  5,91  1023 pol. A deforma-
ção específica correspondente é

d
L
5,91 10 3
pol
23,6 pol
250 10 6
pol/pol
que é o mesmo valor que encontramos usando as unidades SI. No entanto,
usualmente, quando os comprimentos e deformações são expressos em pole-
gadas ou micropolegadas (mpol), costuma-se manter as unidades originais na
expressão obtida para a deformação específica. Em nosso exemplo, a defor-
mação espe
cífica seria escrita como P  250  1026 pol/pol ou, alternativa-
mente, como P  250 mpol/pol.
2.1.2 Diagrama tensão-deformação
Ensaio de tração. Para obter o diagrama tensão-deformação de um mate-
rial, geralmente se executa um ensaio de tração em um corpo de prova do
material. A Foto 2.1 mostra um tipo de corpo de prova usual. A área da se-
d d
D
x+ x +
Q
Q
Dx
x
D
P
Fig. 2.5 Deformação de um componente
axialmente carregado de área de seção
transversal variável.

ção transversal da parte central cilíndrica do corpo de prova foi determinada
com precisão e foram feitas duas marcas de referência naquela parte a uma
distância L0 uma da outra. A distância L0 é conhecida como comprimento de
referência do corpo de prova.
O corpo de prova é então colocado em uma máquina de ensaio (Foto 2.2),
utilizada para aplicar uma carga centrada P. À medida que a carga P aumenta,
a distância L entre as duas marcas de referência também aumenta (Foto 2.3).
A distância L é medida com um extensômetro, e o alongamento d  LL0 é
registrado para cada valor de P. Em geral usa-se simultaneamente um segun-
do extensômetro para medir e registrar a alteração no diâmetro do corpo de
prova. Para cada par de leituras P e d é calculada a tensão s
s 5
P
A0
(2.3)
e a deformação específica P é obtida
P 5
d
L0
(2.4)
O diagrama tensão-deformação pode então ser obtido colocando-se P como
abscissa e s como ordenada.
Os diagramas tensão-deformação dos materiais variam muito, e ensaios de
tração diferentes executados com o mesmo material podem produzir resultados
diferentes, dependendo da temperatura do corpo de prova e da velocidade de
aplicação da carga. No entanto, é possível distinguir algumas características
comuns entre os diagramas tensão-deformação de vários grupos de materiais
e, assim, dividir os materiais em duas categorias principais com base nessas
características, ou seja, materiais dúcteis e materiais frágeis.
Foto 2.1 Tipo de corpo de prova comum em
ensaios de tração. O comprimento de referência
sem deformação é L0.
Foto 2.2 Máquina universal de ensaios utilizada para ensaios de
tração em um corpo de prova.
Foto 2.3 Corpo de prova alongado em
ensaio de tração, submetido à carga P e com
comprimento deformado L . L0.

54
Os materiais dúcteis, como o aço estrutural e as ligas de muitos outros me-
tais, são caracterizados por sua capacidade de escoar na tempe
ratura ambiente.
À medida que o corpo de prova é submetido a uma carga cres
cente, seu com-
primento aumenta linearmente a uma taxa muito baixa, inicialmente. Assim, a
parte inicial do diagrama tensão-deformação é uma linha reta com inclinação
bastante acentuada (Fig. 2.6). No entanto, após alcançar um valor crítico de
tensão sE, o corpo de prova sofre uma grande deformação com aumento relati-
vamente pequeno da carga aplicada. Essa deformação é provocada por desliza-
mento do material ao longo de superfícies oblíquas e se deve, portanto, primeiro
às tensões de cisalhamento. Depois de alcançar um certo valor máximo da car-
ga, o diâmetro de uma parte do corpo de prova começa a diminuir, em razão
da instabilidade local (Foto 2.4a). Esse fenômeno é conhecido como estricção.
Depois de iniciada a estricção, cargas mais baixas são suficientes para manter
o corpo de prova alongando, até que finalmente se rompa (Fig. 2.4b). Notamos
que a ruptura ocorre ao longo de uma superfície cônica que forma um ângulo de
aproximadamente 45 com a superfície original do corpo de prova. Isso indica
que o cisalhamento é o principal res
ponsável pela falha dos materiais dúcteis,
e confirma o fato de que, sob uma carga axial, as tensões de cisalhamento são
maiores nos planos que formam um ângulo de 45 com a carga (cf. Seção 1.3).
Podemos notar pela Fig. 2.6 que o alongamento do corpo de prova após o início
do escoamento pode ser até 200 vezes maior do que aquele observado no iní-
cio do escoamento. A tensão sE , na qual o escoamento é iniciado, é chamada
de resistência ao escoamento do material; a tensão sL correspondente à carga
máxima aplicada ao corpo de prova é conhecida como limite de resistência; e a
tensão sR , correspondente à ruptura, é chamada de resistência à ruptura.
Materiais frágeis, que incluem ferro fundido, vidro e pedra, são caracte
rizados pelo fato de que a ruptura ocorre sem nenhuma mudança prévia no-
tável na taxa de alongamento (Fig. 2.7). Para os materiais frágeis, não há
dife
rença entre o limite de resistência e a resistência à ruptura. E, também, a
deformação no instante da ruptura é muito menor para materiais frágeis que
para materiais dúcteis. Na Foto 2.5, notamos a falta de estricção no corpo de
prova no caso de um material frágil, e que a ruptura ocorre ao longo de uma
superfície perpendicular à carga. Concluímos dessa observação que as tensões
normais são as principais responsáveis pela falha de materiais frágeis.†
† Presume-se que os ensaios de tração descritos nesta seção sejam executados na temperatura am-
biente. No entanto, um material dúctil na temperatura ambiente pode apresentar as características
de um material frágil a temperaturas muito baixas, ao passo que um material normalmente frágil
pode se comportar de maneira dúctil a temperaturas muito altas. Portanto, em temperaturas que
não a ambiente, podemos nos referir a um material em estado dúctil ou a um material em estado
frágil, em vez de dizer que o material é dúctil ou frágil.
Foto 2.4 Corpos de prova de materiais
dúcteis ensaiados: (a) com estricção na seção
transversal; (b) rompido.
Fig. 2.6 Diagramas tensão-deformação de dois materiais dúcteis típicos.
Escoamento
Encruamento
Ruptura
0,02
(a) Aço com baixo teor de carbono
0,0012
0,2 0,25
420
280
140
Estricção
e
E
s
(MPa)
s
R
s
Ruptura
(b) Liga de alumínio
0,004
0,2
420
280
140
e
E
s
E
s
E
s
(MPa)
s
R
s

Fig. 2.7 Diagrama tensão-deformação para um
material frágil típico.
Ruptura
e
R
s
L =
s
s
Os diagramas tensão-deformação da Fig. 2.6 mostram que o aço estrutural
e o alumínio, embora sejam dúcteis, têm diferentes características de escoamen-
to. No caso do aço estrutural (Fig. 2.6a), a tensão permanece constante em um
grande intervalo de valores da deformação após o início do escoamento. Depois
a tensão tem de ser aumentada para manter o corpo de prova se alongando, até
ser atingido o máximo valor de sL. Isso se dá em razão de uma propriedade do
material conhecida como encruamento.A resistência ao escoamento do aço es-
trutural pode ser determinada durante o ensaio de tração observando-se a carga
indicada no mostrador da máquina de ensaio. Após um aumento constante, ob-
serva-se que a carga cai subitamente para um valor ligeiramente inferior, manti-
do por um certo período enquanto o corpo de prova continua se alongando. Em
um ensaio executado cuidadosamente, é possível distinguir entre o ponto de
escoamento superior, que corresponde à carga atingida imediatamente antes do
iní
cio do escoamento, e o ponto de escoamento inferior, que corresponde à car-
ga necessária para manter o escoamento. Como o ponto de escoamento superior
é transitório, deve ser utilizado o ponto de escoamento inferior para determinar
a resistência ao escoamento do material.
No caso do alumínio (Fig. 2.6b) e de muitos outros materiais dúcteis,
a tensão continua aumentando, embora não linearmente, até ser alcançado
o limite de resistência. Começa então a estricção, que leva eventualmente à
ruptura. Para esses materiais, a resistência ao escoamento sE pode ser defi-
nida pelo método do desvio. A resistência ao escoamento para um desvio de
0,2%, por exemplo, é obtida traçando-se através do ponto do eixo horizontal
de abcissa P  0,2% (ou P  0,002) uma linha paralela à parte reta inicial da
curva do dia
grama tensão-deformação (Fig. 2.8). A tensão sE corresponde ao
ponto E obtido dessa maneira e é definida como a resistência ao escoamento
a 0,2% da origem.
Uma medida-padrão da ductilidade de um material é sua deformação per-
centual, definida como
Deformação percentual 100
LR L0
L0
em que L0 e LR são, respectivamente, o comprimento inicial do corpo de prova
e seu comprimento final na ruptura. O alongamento mínimo especificado para
um comprimento de referência de 50 mm, usualmente empregado para aços
com resistência ao escoamento de até 345 MPa, é 21%. Isso significa que a
deformação média na ruptura deverá ser de pelo menos 0,21 mm/mm.
Outra medida da ductilidade, às vezes usada, é a redução percentual da
área, definida como
Redução percentual da área 100
A0 AR
A0
em que A0 e AR são, respectivamente, a área da seção transversal inicial do
corpo de prova e sua área de seção transversal mínima na ruptura. Para o aço
estrutural, reduções percentuais em área de 60% a 70% são comuns.
Ensaio de compressão. Se um corpo de prova feito de um material dúctil
fosse submetido a uma carga de compressão em lugar de tração, a curva tensão-
-deformação específica obtida seria essencialmente a mesma em sua parte ini-
cial reta e no início da parte correspondente ao escoamento e encruamento. É
particularmente notável o fato de que, para determinado aço, a resistência ao es-
coamento é a mesma tanto na tração como na compressão. Para valores maiores
Foto 2.5 Corpo de prova de material frágil
rompido.
Fig. 2.8 Determinação da resistência ao
escoamento por meio do método de desvio
de 0,2%.
Ruptura
Desvio de 0,2%
e
E
E
s
s

56
de deformação específica, as curvas tensão-deformação na tração e na compres-
são divergem, e deve-se notar que a estricção não pode ocorrer na compressão.
Para muitos materiais frágeis, sabe-se que o limite de resistência de compressão
é muito maior que o limite de resistência de tração. Isso se deve à presença de
falhas, como trincas microscópicas ou cavidades, que tendem a enfraquecer o
material na tração, embora não afete significativamente sua resistência à falha
em compressão.
Um exemplo de material frágil com propriedades diferentes na tração e
na compressão é o concreto, cujo diagrama tensão-deformação é mostrado
na Fig. 2.9. No lado da tração do diagrama, observamos primeiro uma região
elástico-linear na qual a deformação é proporcional à tensão. Depois de ter al-
cançado o ponto de escoamento, a deformação aumenta mais rápido do que a
tensão até ocorrer a ruptura. O comportamento do material na compressão é di-
ferente. Primeiro, a região elástico-linear é significativamente maior. Segundo,
não ocorre a ruptura quando a tensão alcança seu valor máximo. Em vez disso,
a tensão diminui em intensidade enquanto a deformação continua aumentando
até ocorrer a ruptura. Note que o módulo de elasticidade, representado pela in-
clinação da curva tensão-deformação em sua parte linear, é o mesmo na tração
e na compressão. Isso vale para a maioria dos materiais frágeis.
Fig. 2.9 Diagrama tensão-deformação para o concreto mostra a
diferença entre as respostas à tração e à compressão.
Região elástico-linear
Ruptura, compressão
Ruptura, tração
e
L, tração
s
L, compressão
s
s
*2.1.3
tensões e deformações específicas verdadeiras
Recordamos que a tensão representada nos diagramas das Figuras 2.6 e 2.7
foi obtida dividindo-se a força P pela área A0 da seção transversal do corpo de
prova. Esta área foi medida antes de ocorrer qualquer deformação. Como a área
da seção transversal do corpo de prova diminui à medida que P aumenta, o gráfico
da tensão indicada em nossos diagramas não representa a tensão verdadeira no
corpo de prova. A diferença entre a tensão de engenharia s  P/A0, já calcula-
da, e a tensão verdadeira sv  P/A, obtida dividindo-se P pela área A da seção
transversal do corpo de prova deformado, torna-se visível em materiais dúcteis
após o início do escoamento. Embora a tensão de engenharia s, que é diretamente
proporcional à força P, diminua com P durante a fase de estricção, observa-se
que a tensão verdadeira sv, que é proporcional a P mas também inversamente
proporcional a A, continua aumentando até ocorrer a ruptura do corpo de prova.
Para a deformação específica de engenharia P  d/L0, em vez de usar
o alongamento total d e o valor original L0 do comprimento de referência,

muitos cientistas usam todos os valores sucessivos de L que registraram. Di-
vidindo cada incremento ¢L da distância entre as marcas de referência pelo
valor correspondente de L, obtêm uma deformação específica elementar ¢P 
¢L/L. Somando os valo
res sucessivos de ¢P, definem a deformação específica
verdadeira Pv:
v ¢ 1¢L L2
Substituindo a somatória pela integral, pode-se também expressar a deforma-
ção específica verdadeira da seguinte forma:
v
L
L0
dL
L
ln
L
L0
(2.5)
O diagrama obtido construindo-se o gráfico da tensão verdadeira em fun-
ção da deformação específica verdadeira (Fig. 2.10) reflete mais precisamente
o comportamento do material. Conforme já vimos, não há nenhum decrésci-
mo na tensão verdadeira durante a fase de estricção. Além disso, os resultados
obtidos dos ensaios de tração e de compressão resultarão essencialmente no
mesmo gráfico quando utilizadas a tensão verdadeira e a deformação espe-
cífica verdadeira. Este não é o caso para grandes valores de deformação es-
pecífica quando se utiliza o gráfico da tensão de engenharia em função da
deformação específica de engenharia. No entanto, os engenheiros, cuja res-
ponsabilidade é determinar se uma carga P produzirá tensões e deformações
aceitáveis em determinado componente, desejarão usar um diagrama baseado
nas Eqs (2.3) e (2.4) tensão de engenharia s  P/A0 e na deformação especí-
fica de engenharia P  d/L0, visto que essas expressões envolvem dados que
eles têm disponíveis, ou seja, a área A0 da seção transversal e o comprimento
L0 do componente em seu estado não deformado.
Conforme podemos notar nos diagramas tensão-deformação de dois ma-
teriais dúcteis típicos (Foto 2.4b), o alongamento do corpo de prova após o
início do escoamento pode ser até 200 vezes maior do que àquele observado
no início do escoamento.
2.1.4 Lei de Hooke; módulo de elasticidade
Módulo de elasticidade. Muitas estruturas em engenharia são projetadas para
sofrer deformações re
la
tivamente pequenas, que envolvem somente a parte reta
do correspondente diagrama tensão-deformação. Para essa parte inicial do diagra-
ma (Fig. 2.6), a tensão s é diretamente proporcional à deformação específica P,
e podemos escrever
s E (2.6)
Essa relação é conhecida como lei de Hooke, em homenagem ao matemá-
tico inglês Robert Hooke (1635-1703), cientista inglês e um dos fundadores
da mecânica aplicada. O coeficiente E é chamado de módulo de elasticidade
do material envolvido, ou também módulo deYoung, em homenagem ao cien-
tista inglês Thomas Young (1773-1829). Como a deformação específica P é
uma quantidade adimensional, o módulo E é expresso nas mesmas unidades
da tensão s, ou seja, em pascal ou em um de seus múltiplos se forem utiliza-
das unidades do SI, e em psi ou ksi se forem utilizadas unidades do sistema
inglês de unidades.
O maior valor da tensão para o qual a lei de Hooke pode ser utilizada para
determinado material é conhecido como o limite de proporcionalidade daquele
Fig. 2.10 Tensão verdadeira em função da
deformação específica verdadeira para um
material dúctil típico.
sv
ev
Escoamento
Ruptura

58
material. No caso dos materiais dúcteis que possuem um ponto de escoamento
bem definido, como na Fig. 2.6a, o limite de proporcionalidade quase coincide
com o ponto de escoamento. Para outros materiais, o limite de proporcionalidade
não pode ser definido tão facilmente, visto que é difícil determinar com precisão o
valor da tensão s para o qual a relação entre s e P deixa de ser linear. Contudo, em
razão dessa dificuldade, podemos concluir para esses materiais que o uso da lei de
Hooke para valores de tensão ligeiramente maiores que o limite proporcional real
não resultará em um erro significativo.
Algumas das propriedades físicas dos metais estruturais, como resistência,
ductilidade e resistência à corrosão, podem ser muito afetadas pela inclusão de
elementos de liga, tratamento térmico e processos de fabricação utilizados. Por
exemplo, observamos com base nos diagramas tensão-deformação do ferro puro
e de três diferentes tipos de aço (Fig. 2.11) que existem grandes va
riações na resis-
tência ao escoamento, limite de resistência e deformação específica final (ductili-
dade) entre esses quatro metais. No entanto, todos eles possuem o mesmo módulo
de elasticidade; em outras palavras, a “rigidez”, ou capacidade em resistir a defor-
mações dentro da região linear é a mesma. Portanto, se for usado um aço de alta
resistência em lugar de um aço de baixa resistência em determinada estrutura, e se
todas as dimensões forem mantidas com os mesmos valores, a estrutura terá uma
capacidade de carga maior, mas sua rigidez permanecerá inalterada.
Para cada um dos materiais considerados até agora, a relação entre tensão
normal e deformação específica normal, s  EP, é independente da direção de
carregamento. Isso porque as propriedades mecânicas de cada material, incluin-
do seu módulo de elasticidade E, são independentes da direção conside
rada.
Dizemos que esses materiais são isotrópicos. Materiais cujas propriedades de-
pendem da direção considerada são chamados de anisotrópicos.
Materiais compósitos reforçados com fibras. Uma classe importante de ma-
teriais anisotrópicos consiste em materiais compósitos reforçados com fibras.
Esses materiais compósitos são obtidos incorporando-se fibras de um material
resistente e rígido em um material mais fraco e menos rígido, chamado de ma-
triz. Materiais típicos utilizados como fibras são carbono, vidro e polímeros,
enquanto vários tipos de resinas são utilizados como matriz. A Fig. 2.12 mos-
tra uma camada, ou lâmina, de um material compósito que consiste em uma
grande quantidade de fibras paralelas embutidas em uma matriz. Uma força
axial aplicada à lamina ao longo do eixo x, ou seja, em uma direção paralela
às fibras, provocará uma tensão normal sx na lâmina e uma deformação espe-
cífica normal Px corres
pondente. A lei de Hooke estará satisfeita à medida que
a carga aumenta, desde que não seja ultrapassado o limite elástico do material
da lâmina. Analogamente, se forças axiais forem aplicadas ao longo dos eixos
y e z, ou seja, em direções perpendiculares às fibras, tensões normais sy e sz,
res
pectivamente, serão criadas como, também, as respectivas deformações es-
pecíficas normais Py e Pz sempre satisfazendo à lei de Hooke. No entanto, os
módulos de elasticidade Ex, Ey e Ez correspondentes, respectivamente, a cada
um dos carregamentos acima, serão diferentes. Em virtude de as fibras serem
paralelas ao eixo x, a lâmina oferecerá uma resistência à deformação muito
maior a uma força direcionada ao longo do eixo x que a uma força direcionada
ao longo dos eixos y ou z. Portanto, Ex será muito maior que Ey ou Ez.
Um plano laminado é obtido superpondo-se uma quantidade de placas ou
lâminas. Se o laminado for submetido somente a uma força axial provocando
tração, as fibras em todas as camadas deverão ter a mesma orientação da força
para se obter a maior resistência possível. Contudo, se o laminado estiver
em compressão, o material da matriz pode não ser suficientemente forte para
evitar a dobra ou a flambagem das fibras. A estabilidade lateral do laminado
pode ser então aumentada posicionando-se algumas das camadas de maneira
Fig. 2.12 Camada de material compósito
reforçado com fibras.
Camada
de material
Fibras
y
z
x
Fig. 2.11 Diagramas tensão-deformação para o
ferro e diferentes tipos de aço.
Liga de aço temperada
recosida (A709)
Aço de baixa liga de
alta resistência (A992)
Aço carbono (A36)
Ferro puro
s
e

que suas fibras fiquem perpendiculares à força. Posicionando algumas cama-
das de modo que suas fibras fiquem orientadas a 30, 45 ou 60 em relação à
força, pode-se também aumentar a resistência do laminado ao cisalhamento
no plano. Os materiais compósitos reforçados com fibras serão discutidos em
mais detalhes na Seção 2.9, na qual será considerado seu comportamento sob
carregamentos multiaxiais.
2.1.5
Comportamento elástico e comportamento
plástico de um material
Se as deformações específicas provocadas em um corpo de prova pela apli-
cação de determinada força desaparecem quando a força é removida, dizemos
que o material se comporta elasticamente. O maior valor da tensão para o qual
o material comporta-se elasticamente é chamado de limite elástico do material.
Se o material tem um ponto de escoamento bem definido, como na Fig.
2.6a, o limite elástico, o limite de proporcionalidade e o ponto de escoamento
são essencialmente iguais. Em outras palavras, o material comporta-se elás-
tica e linearmente desde que a tensão seja mantida abaixo do ponto de escoa-
mento. No entanto, se for atingido o ponto de escoamento, ele deve ocorrer
conforme descrito na Seção 2.1.2, e quando a força é removida, a tensão e a
deformação específica diminuem de forma linear, ao longo de uma linha CD
paralela à parte reta AB da curva de carregamento (Fig. 2.13). O fato de P
não retornar a zero depois de a força ter sido removida indica que ocorreram
deformações permanentes ou plásticas. Para muitos materiais, a deformação
plástica não depende somente do valor máximo atingido pela tensão, mas
também do tempo decorrido até que o carregamento seja removido. A parte
da deformação plástica que depende da tensão é conhecida como escorre-
gamento, e a parte que depende do tempo, que também é influenciada pela
temperatura, é conhecida como fluência.
Quando um material não possui um ponto de escoamento bem definido, o
limite elástico não pode ser determinado com precisão. No entanto, supor o limi
te
elástico igual à resistência ao escoamento conforme definido pelo método do des-
vio (Seção 2.1.2) resulta apenas em um pequeno erro. Sem dúvida, examinando
a Fig. 2.8, notamos que a parte reta utilizada para determinar o ponto E também
representa a curva de descarregamento depois de ter alcançado a máxima tensão
sE. Embora o material não se comporte de forma verdadeiramente elástica, a de-
formação plástica resultante é tão pequena quanto o desvio selecionado.
Se o corpo de prova for carregado e descarregado (Fig. 2.14) e carregado
novamente, a nova curva de carregamento seguirá bem próxima à curva de
descarregamento até quase chegar ao ponto C; então ela virará para a direita e
se conectará com a porção curvada do diagrama tensão-deformação original.
Observe que a parte reta da nova curva de carregamento é mais longa do que
a parte corres
pondente da curva inicial. Assim, o limite de proporcionalidade
e o limite elástico aumentaram em consequência do encruamento que ocorreu
durante o carregamento anterior do corpo de prova. No entanto, como o ponto
de ruptura R se manteve inalterado, a ductilidade do corpo de prova, que agora
deve ser medida a partir do ponto D, diminuiu.
Em nossa discussão, consideramos que o corpo de prova foi carregado duas
vezes na mesma direção, isto é, que ambas as forças eram forças de tração.
Vamos agora considerar o caso em que é aplicada uma segunda carga em uma
direção oposta àquela da primeira carga.
Suponha que o material seja um aço doce, para o qual a resistência ao es-
coamento seja a mesma em tração e em compressão.A força inicial, de tração,
Fig. 2.14 Resposta tensão-deformação de
material dúctil recarregado após escoamento e
descarregamento prévios.
C
A D
Ruptura
B

Fig. 2.13 Resposta tensão-deformação de
material dúctil carregado depois de escoamento
e descarregado.
C
A D
Ruptura
B
s
e

60
é aplicada até ser alcançado o ponto C no diagrama tensão-deformação (Fig.
2.15). Após o descarregamento (ponto D), é aplicada uma força de compres-
são fazendo o material alcançar o ponto H, onde a tensão é igual a 2sE. No-
tamos que a parte DH do diagrama tensão-deformação é curva e não mostra
nenhum ponto de escoamento claramente definido. Isso é chamado de efeito
Bauschinger. À medida que a força de compressão é mantida, o material es-
coa ao longo da linha HJ.
Se a carga é removida após alcançar o ponto J, a tensão retorna a zero
ao longo da linha JK, e notamos que a inclinação de JK é igual ao módulo
de elasticidade E. A deformação permanente resultante AK pode ser positiva,
negativa, ou zero, dependendo dos comprimentos dos segmentos BC e HJ.
Se uma força de tração for aplicada novamente ao corpo de prova, a parte do
diagrama tensão-deformação começando em K (linha tracejada) curvará para
cima e para a direita até alcançar a tensão de escoamento sE.
Se o carregamento inicial for grande o suficiente para provocar encrua-
mento do material (ponto C ¿), o descarregamento ocorrerá ao longo da linha
C ¿D ¿. À medida que é aplicada a força reversa, a tensão se torna de com-
pressão, alcan
çando seu valor máximo em H ¿ e mantendo-a à medida que o
material escoa ao longo da linha H ¿J ¿. Notamos que enquanto o valor máximo
da tensão de compressão é menor que sE, a variação total na tensão entre C ¿
e H ¿ ainda é igual a 2sE.
Se o ponto K ou K ¿ coincide com a origem A do diagrama, a deformação
permanente é igual a zero, e pode parecer que o corpo de prova retornou à sua
condição original. No entanto, terão ocorrido alterações internas e, embora a mes-
ma sequência de carregamento possa ser repetida, o corpo de prova romperá sem
qualquer aviso após algumas poucas repetições. Isso indica que as deformações
plásticas excessivas às quais o corpo de prova estava submetido pro
vocaram uma
alteração radical nas características do material. Portanto, forças reversas na re-
gião plástica raramente são permitidas e só podem ocorrer sob con
dições rigo-
rosamente controladas. Essas situações ocorrem no endireitamento de material
danificado e no alinhamento final de uma estrutura ou máquina.
2.1.6 Carregamentos repetidos e fadiga
Você pode concluir que determinada carga pode ser repetida muitas vezes,
desde que a tensão permaneça na região elástica. Essa conclusão é correta para
cargas repetidas algumas dezenas ou mesmo centenas de vezes. No entanto, con-
Fig. 2.15 Resposta tensão-deformação para um aço doce sujeito
a dois casos de carregamento reverso.
K A D K' D'
2
C'
H'
J'
J H
B C
s
s
e
sE
s
– E
E

forme veremos, isso não é correto quando a carga é repetida milhares ou milhões
de vezes. Nesses casos, ocorrerá a ruptura a uma tensão muito menor do que a
resistência à ruptura estática; esse fenômeno é conhecido como fadiga. Uma falha
por fadiga é de natureza frágil, mesmo para materiais normalmente dúcteis.
A fadiga deve ser levada em conta no projeto de todos os componentes
estruturais e de máquinas submetidos a cargas repetidas ou flutuantes. O nú-
mero de ciclos de carregamento que se pode esperar durante a vida útil de
um componente varia grandemente. Por exemplo, uma viga que suporta um
guindaste industrial pode ser carregada até dois milhões de vezes em 25 anos
(cerca de 300 carregamentos por dia de trabalho); um virabrequim do motor
de um carro será carregado aproximadamente meio bilhão de vezes se o carro
rodar 300 000 km, e uma pá de turbina pode ser carregada várias centenas de
bi
lhões de vezes durante sua vida útil.
Alguns carregamentos têm natureza flutuante. Por exemplo, o tráfego de
veículos sobre uma ponte provocará níveis de tensão que flutuarão sobre o
nível de tensão em razão do próprio peso da ponte. Uma condição mais severa
ocorre quando há uma inversão completa da carga durante o ciclo de carrega-
mento. Por exemplo, as tensões no eixo de um vagão de trem são completa-
mente invertidas a cada meia volta da roda.
O número de ciclos de carregamento necessário para provocar a falha de
um corpo de prova por meio da aplicação de cargas cíclicas pode ser determina-
do experimentalmente para determinado nível de tensão máxima. Se for execu-
tada uma série de ensaios usando diferentes níveis de tensão máxima, os dados
resultantes podem ser colocados em um gráfico como uma curva s-n. Para cada
ensaio, deve-se construir uma curva da tensão máxima s, como ordenada, e o
número de ciclos n como abcissa. Por causa do grande número de ciclos neces-
sários para a ruptura, o número n de ciclos é apresentado em escala logarítmica.
A Fig. 2.16 mostra uma curva típica s-n para o aço. Notamos que, se a
tensão máxima aplicada for alta, serão necessários relativamente poucos ci-
clos para causar a ruptura. À medida que a intensidade da tensão máxima é re-
duzida, o número de ciclos necessário para provocar a ruptura aumenta até ser
alcançada uma tensão conhecida como limite de resistência à fadiga, que é a
tensão para a qual não ocorre falha, mesmo para um número indefinidamente
grande de ciclos de carregamento. Para um aço de baixo teor de carbono como
o aço estrutural, o limite de resistência à fadiga é aproximadamente metade do
limite de resistência do aço.
Para metais ferrosos como o alumínio e o cobre, uma curva s-n típica
(Fig. 2.16) mostra que a tensão de falha continua a diminuir à medida que
aumenta o número de ciclos de carregamento. Para esses metais, define-se o
limite de resistência à fadiga como a tensão correspondente à falha após um
número especificado de ciclos de carregamento.
O exame de corpos de prova obtidos de eixos, molas ou de outros compo-
nentes que falha
ram em fadiga mostra que a falha foi iniciada em uma trinca
microscópica ou em alguma imperfeição similar. A cada carregamento, a trin-
ca se propagava um pouco. Durante sucessivos ciclos de carregamento, a trin-
ca se propagou pelo material até que a quantidade de material não danificado
fosse insuficiente para suportar a carga máxima, ocorrendo falha abrupta por
fragilidade. Por exemplo, a Foto 2.6 mostra uma trinca progressiva em uma
viga de ponte rodoviária que se iniciou por causa da irregularidade associada
à solda de uma chapa de cobrejunta e que então se propagou pelo flange e pela
alma do perfil. Devido ao fato de que a falha por fadiga pode ser iniciada em
qualquer trinca ou imperfeição, as condições da superfície de um corpo de
Fig. 2.16 Curvas s-n típicas.
Número de ciclos de carregamento
Alumínio (2024)
Aço (1020HR)
103
70
140
210
280
350
Tensão
(MPa)
104
105
106
107
108
109
Foto 2.6 Trinca por fadiga em uma viga de aço
em Yellow Mill Pond Bridge, Connecticut, antes
dos reparos.

62
prova têm um efeito importante no valor do limite de resistência à fadiga ob-
tida no ensaio. O limite de resistência à fadiga para corpos de prova usinados
e polidos é mais alto do que para os componentes laminados ou forjados, ou
para componentes corroídos. Em aplicações no mar ou próximo do mar, ou
em outras aplicações em que se espera que haja corrosão, pode-se prever uma
redução de 50% no limi
te de resistência à fadiga.
2.1.7 Deformações de elementos sob carregamento axial
Considere a barra homogênea BC de comprimento L e seção transversal
uniforme de área A submetida a uma força axial centrada P (Fig. 2.17). Se a
tensão axial resultante s  P/A não ultrapassar o limite de proporcionalidade
do material, podemos aplicar a lei de Hooke e escrever
s E (2.6)
da qual segue que
s
E
P
AE
(2.7)
Lembrando que a deformação específica P foi definida na Seção 2.1.1 como
P  dL, temos
d L (2.8)
e substituindo P da Equação (2.7) na Equação (2.8), temos:
d
PL
AE
(2.9)
A Equação (2.9) só pode ser utilizada se a barra for homogênea (E cons-
tante), se tiver uma seção transversal uniforme de área A e se tiver a força
aplicada em suas extremidades. Se a barra estiver carregada em outros pontos,
ou se ela consistir em diversas partes com várias seções transversais e possi-
velmente de dife
rentes materiais, precisamos dividi-la em partes componen-
tes que satisfaçam individualmente as condições necessárias para a aplicação
da Equação (2.9). De
signando, respectivamente, por Pi, Li, Ai e Ei a força
interna, o comprimento, a área da seção transversal e o módulo de elasticidade
correspondentes à parte i, expressamos a deformação da barra inteira como
d a
i
PiLi
AiEi
(2.10)
Lembramos da Seção 2.1.1 que, no caso de uma barra de seção transver-
sal variável (Fig. 2.18), a deformação específica P depende da posição do pon-
to Q em que ela é calculada e definida como P  dd/dx. Resolvendo dd dessa
equação, e substituindo P pelo seu valor dado na Equação (2.7), expressamos
a deformação de um elemento de comprimento dx como
dd dx
P dx
AE
A deformação total d da barra é obtida integrando-se essa expressão sobre o
comprimento L da barra:
d
L
0
P dx
AE
(2.11)
Fig. 2.17 Barra axialmente carregada deformada
e não deformada.
d
L
C
C
A
B B
P
Fig. 2.18 Deformação de um elemento com
área de seção transversal variável carregado
axialmente.
d d
D
x+ x +
Q
Q
Dx
x
D
P

A Equação (2.11) deverá ser utilizada em lugar da (2.9) não só quando a área
A da seção transversal for uma função de x, mas também quando a força in-
terna P depender de x, como é o caso de uma barra suspensa suportando seu
próprio peso.
Determine a deformação da barra de aço mostrada na Fig. 2.19a submetida
às forças dadas (E 5 200 GPa).
Dividimos a barra em três partes componentes mostradas na Fig. 2.19b e
escrevemos
A1 A2 580 mm2
A3 200 mm2
L1 L2 300 mm L3 400 mm
Para encontrarmos as forças internas P1, P2 e P3, devemos cortar cada
uma das partes componentes, desenhando para cada corte o diagrama de cor-
po livre da parte da barra localizada à direita da seção (Fig. 2.19c). Impondo
a condição de que cada um dos corpos livres está em equilíbrio, obtemos
sucessivamente
P3 150 kN 150 103
N
P2 50 kN 50 103
N
P1 300 kN 300 103
N
Utilizando a Equação (2.10)
d
429,31
200
2,15 mm.
1
200
c
1300 3002
580
1 50213002
580
150 400
200
d
d a
i
PiLi
AiEi
1
E
a
P1L1
A1
P2L2
A2
P3L3
A3
b
A barra BC da Fig. 2.17, utilizada para deduzir a Equação (2.9), e a barra
AD da Fig. 2.19, tinham ambas uma extremidade presa a um suporte fixo.
Em cada caso, portanto, a deformação d da barra era igual ao deslocamento
de sua extremidade livre. Porém, quando ambas as extremidades da barra se
movem, a deformação da barra é medida pelo deslocamento relativo de uma
extremidade da barra em relação à outra. Considere, por exemplo, o conjunto
mostrado na Fig. 2.20a, que consiste em três ba
rras elásticas de comprimento
L conectadas por um pino rígido em A. Se uma força P é aplicada em B (Fig.
2.20b), as três barras se deformarão. Como as barras AC e AC ¿ estão presas a
suportes fixados em C e C ¿, a deformação de ambas as barras é medida pelo
deslocamento dA do ponto A. Entretanto, como ambas as extremidades da
barra AB se movem, a deformação de AB é medida pela diferença entre os
deslocamentos dA e dB dos pontos A e B, isto é, pelo deslocamento relativo
de B em relação a A. Designando esse deslocamento relativo por dB/A, temos
dB A dB dA
PL
AE
(2.12)
em que A é a área da seção transversal de AB e E é seu módulo de elasticidade.
Fig. 2.20 Exemplo de deslocamento final relativo,
conforme apresentado pela barra do meio. (a)
Descarregado. (b) Carregado, com deformação.
A
d
B
d
A
A
B
B
P
C' C
C
L
C'
(a) (b)
C
D
150 kN
300 mm 300 mm
400 mm
350 kN 200 kN
A
A = 580 mm2 A = 200 mm2
B
(a)
(b)
(c)
C
D
C
D
150 kN
150 kN
150 kN
150 kN
350 kN 200 kN
200 kN
A
P3
P2
P1
B
C
D
B
350 kN 200 kN
3
2
1
Fig. 2.19 (a) Barra carregada axialmente. (b)
Barra dividida em três partes. (c) Diagramas de
corpo livre das três partes, com forças internas
resultantes P1, P2 e P3.

64
A barra rígida BDE é suspensa por duas barras AB e CD. A barra AB é de
alumínio (E  70 GPa) e tem uma seção transversal com área de 500 mm2;
a barra CD é de aço (E  200 GPa) e tem uma seção transversal com área de
600 mm2. Para a força de 30 kN mostrada na figura, determine os deslocamen-
tos dos pontos (a) B, (b) D e (c) E.
ESTRATÉGIA: Considere o diagrama de corpo livre de barra rígida para deter-
minar o esforço interno em cada elemento de ligação. Conhecendo as forças e as
propriedades dessas ligações, suas deformações podem ser calculadas. Você pode
então usar a geometria simples para determinar a deflexão do ponto E.
MODELAGEM: Desenhe o diagrama de corpo livre da barra rígida (Fig. 1) e dos
dois elementos de ligação (Figuras 2 e 3)
ANÁLISE:
Corpo livre: barra BDE (Fig. 1)
FAB 60 kN FAB 60 kN compressão
130 kN210,4 m2 FAB10,2 m2 0
g MD 0:
FCD 90 kN FCD 90 kN tração
130 kN210,6 m2 FCD10,2 m2 0
g MB 0:
a. Deslocamento do ponto B. Como a força interna na barra AB é de compres-
são (Fig. 2), temos P  260 kN e
dB
PL
AE
1 60 103
N210,3 m2
1500 10 6
m2
2170 109
Pa2
514 10 6
m
O sinal negativo indica uma contração do elemento AB e, portanto, um deslo-
camento da extremidade B para cima:
dB 0,514 mm c 
b. Deslocamento do ponto D. Como a força interna na barra CD (Fig. 3) é
P = 90 kN, temos
dD 0,300 mm T
300 10 6
m
dD
PL
AE
190 103
N210,4 m2
1600 10 6
m2
21200 109
Pa2
30 kN
0,2 m
0,4 m
B D
FAB FCD
E
Fig. 1 Diagrama de corpo livre da barra
rígida BDE.
0,3 m
A
B
F'AB 5 60 kN
FAB 5 60 kN
A 5 500 mm2
E 5 70 GPa
simples componente AB.
30 kN
30 kN
0,4 m
0,3 m
0,3 m
0,2 m
0,4 m
0,2 m
0,4 m
C
A
B
A
B
D
B D
E
FAB
F'AB 5 60 kN
FAB 5 60 kN
A 5 500 mm2
E 5 70 GPa
FCD
E
0,4 m
C
D
FCD 5 90 kN
FCD 5 90 kN
A 5 600 mm2
E 5 200 GPa
400 mm
(200 mm – x)
D 5 0,300 mm
200 mm
B'
E'
D'
B
H D E
dE
B 5 0,514 mm
d
d
x
0,4 m
C
D
FCD 5 90 kN
FCD 5 90 kN
A 5 600 mm2
E 5 200 GPa
simples componente CD.

400 mm
(200 mm – x)
D 5 0,300 mm
200 mm
B'
E'
D'
B
H D E
dE
B 5 0,514 mm
d
d
x
Fig. 4 Os deslocamentos em B e D na
barra rígida são utilizados para encontrar dE.
c. Deslocamento do ponto E. Referindo-nos à Fig. 4, designamos por B ¿ e D ¿
as posições deslocadas dos pontos B e D. Como a barra BDE é rígida, os pontos
B ¿, D ¿ e E ¿ estão em uma linha reta, e temos
dE 1,928 mm T
EE¿
DD¿
HE
HD
dE
0,300 mm
1400 mm2 173,7 mm2
73,7 mm
BB¿
DD¿
BH
HD
0,514 mm
0,300 mm
1200 mm2 x
x
x 73,7 mm
Refletir Pensar: Comparando a intensidade relativa e a direção dos deslo-
camentos resultantes, você pode observar que as respostas obtidas são consisten-
tes com o carregamento e com o diagrama dos deslocamentos na Fig. 4.
As peças fundidas rígidas A e B estão conectadas por dois parafusos de aço
CD e GH de 19 mm de diâmetro e estão em contato com as extremidades de uma
barra de alumínio EF com diâmetro de 38 mm. Cada parafuso tem rosca simples
com um passo de 2,5 mm e, depois de serem ajustadas, as porcas em D e H são
apertadas em 1
4 de volta cada uma. Sabendo que E é 200 GPa para o aço e 70 GPa
para o alumínio, determine a tensão normal na barra.
ESTRATÉGIA: O aperto das porcas causa o deslocamento das extremidades dos
parafusos em relação a peça rígida que é igual a diferença entre os deslocamentos
dos parafusos e a haste. Isso fornece uma relação entre os esforços internos nos
parafusos e na haste que, quando combinados com a análise do corpo livre da
peça rígida, permitirá a você obter essas forças e determinar as correspondentes
tensões normais na haste.
MODELAGEM: Desenhe o diagrama de corpo livre dos parafusos e da haste (Fig.
1) e da peça rígida (Fig. 2).
ANÁLISE:
Deformações
Parafusos CD e GH. O aperto das porcas provoca tração nos parafusos (Fig. 1).
Em razão da simetria, ambos estão sujeitos à mesma força interna Pp e sofrem a
mesma deformação dp. Temos
(1)
db
PpLp
ApEp
Pp10,450 m2
1
4 p10,019 m22
1200 109
Pa2
7,936 10 9
Pp
C
G
D
H
450 mm
E
A B
F
300 mm
C
E F
G
D
P'p
P'b
Pb
P'p
Pp
Pp
H
parafuso, do cilindro e da barra.

66
Barra EF. A barra está em compressão (Fig. 1). Designando por Pb a intensida-
de da força na barra e por db a deformação na barra, temos
(2)
db
PbLb
AbEb
Pb10,300 m2
1
4p10,038 m22
170 109
Pa2
3,779 10 9
Pb
Deslocamento de D em relação a B. O aperto de 1
4 de volta nas porcas faz as
extremidades D e H dos parafusos sofrerem um deslocamento de 1
4 (2,5 mm) em
relação à peça fundida B. Considerando a extremidade D, temos
(3)
dD B
1
410,0025 m2 6,25 10 4
m
No entanto, dD/B  dD 2 dB, em que dD e dB representam os deslocamentos
de D e B, respectivamente. Considerando que a peça A é mantida em uma posição
fixa enquanto as porcas em D e H são apertadas, esses deslocamentos são iguais
às deformações dos parafusos e da barra, respectivamente. Temos, então,
(4)
dD B dp db
Substituindo as Equações (1), (2) e (3) em (4), obtemos
(5)
6,25 10 4
7,936 10 9
Pp 3,779 10 9
Pb
Corpo livre: peça B (Fig. 2)
(6)
Pb 2Pp 0 Pb 2Pp
S F 0:
Pp
Pp
B
Pb
livre da peça fundida rígida.
Forças nos parafusos e na barra. Substituindo o valor de Pb de (6) em
(5), temos
Pb 2Pp 2140339 N2 80678 N
Pp 40339 N
6,25 10 4
7,936 10 9
Pp 3,779 10 9
12Pp2
Tensão na barra

sb 71 MPa
sb
Pb
Ab
180678 N
1
4 p10,038 m22
Refletir Pensar: Este é um exemplo de problema estaticamente inde-
terminado, no qual as forças nos elementos não são determinadas apenas pelo
equilíbrio. Pela consideração dos deslocamentos relativos característicos dos ele-
mentos, você pode obter equações adicionais necessárias à solução desse tipo
de problema. Situações como essa serão tratadas com mais detalhes nas seções
seguintes.

PROBLEMAS
2.1 Um fio de nylon está submetido à força de tração de 8,5 N. Sabendo que
E = 3,3 GPa e que o comprimento do fio é incrementado em 1,1%, determi-
ne (a) o diâmetro do fio, (b) a tensão no fio.
2.2 Um cabo de aço de 4,8 ft de comprimento e 1/4 in. de diâmetro é submetido
a uma ação de tração de 750 lb. Sabendo que E = 29  106 psi, determine
(a) o alongamento do arame, (b) a correspondente tensão normal.
2.3 Um cabo de aço de 18 m de comprimento e 5 mm de diâmetro será usado
na fabricação de uma viga de concreto protendido. Observa-se que o cabo
sofre um estiramento de 45 mm quando a força P é aplicada. Sabendo que
E = 200 GPa, determine (a) a intensidade da força P, (b) a correspondente
tensão normal no cabo de aço.
2.4 Duas marcas de referência são colocadas a exatamente 250 mm uma da
outra, em uma barra de alumínio haste com E = 73 GPa e resistência última de
140 MPa com diâmetro de 12 mm. Sabendo que a distância entre as marcas
de referência é de 250,28 mm depois que uma força é aplicada, determine
(a) a tensão na haste, (b) o fator de segurança.
2.5 Um tubo de alumínio não deve sofrer um estiramento maior que 0,05 in.
quando submetido a tensão de tração. Sabendo que E = 10,1  106 psi e que a
tensão normal máxima admissível é de 14 ksi, determine (a) o máximo com-
primento admissível do tubo, (b) a área da seção necessária para que a força
de tração seja de 127,5 kips.
2.6 Uma barra de controle feita de latão não deve se alongar mais de 3,0 mm
quando a tração no fio for 4 kN. Sabendo que E  105 GPa e que a máxima
tensão normal admissível é 180 MPa, determine (a) o menor diâmetro que
pode ser selecionado para a barra e (b) o comprimento máximo correspon-
dente da barra.
2.7 Uma haste de controle de aço com 5,5 ft de comprimento não pode sofrer
estiramento maior que 0,04 in. quando uma ação de tração de 2 kip lhe é
aplicada. Sabendo que E = 29  106 psi, determine (a) o menor diâmetro
possível que poderá ser usado, (b) a tensão normal correspondente causada
pela ação aplicada.
2.8 Um tubo de ferro fundido é utilizado para suportar uma força de compressão.
Sabendo que E  10  106 psi e que a máxima variação admissível no com-
primento é 0,025%, determine (a) a tensão normal máxima no tubo e (b) a
espessura mínima da parede para uma carga de 1600 lb se o diâmetro externo
do tubo for de 2.0 in.
2.9 Uma haste de aço com 4 m de comprimento não pode ser estirada em mais
de 3 mm, e a tensão normal não deve exceder 150 MPa quando a haste é
submetida a uma força axial de 10 kN. Sabendo que E = 200 GPa, determine
o diâmetro necessário dessa haste.

68
2.10 Um fio de nylon está submetido a uma tração de 10 N. Sabendo que
E = 3,2 GPa, que a máxima tensão de tração admissível é de 40 MPa e
que o comprimento do fio não pode ser incrementado em mais do que 1%,
determine o diâmetro necessário do fio.
2.11 Um bloco de 10 in. de comprimento e seção transversal de 1.8  1.6-in deve
suportar uma força de compressão centrada P. O material a ser utilizado é
um bronze para o qual E  14  106 psi. Determine a maior força que pode
ser aplicada, sabendo que a tensão normal não deve exceder 18 ksi e que a
diminuição no comprimento do bloco deverá ser no máximo de 0,12% de
seu comprimento original.
2.12 Uma barra de latão amarelo quadrada não deve se alongar mais de 1,4 mm
quando submetida a uma força de tração. Sabendo que E  70 GPa e que
a resistência à tração admissível é 120 MPa, determine (a) o comprimento
máximo admissível para a barra e (b) as dimensões necessárias para a seção
transversal se a força de tração for de 28 kN.
2.13 A barra BD feita de aço (E  200 GPa) é utilizada para contenção lateral
da haste comprimida ABC. O máximo esforço que se desenvolve em BD é
igual a 0,02P. Se a tensão não deve exceder 124,1 MPa e a máxima mudan-
ça de comprimento da barra BD não pode exceder 0,001 vez o comprimento
de ABC, determine o menor diâmetro possível de ser utilizado para o mem-
bro BD.
2.14 O cabo BC de 4 mm de diâmetro é feito de um aço com E  200 GPa.
Sabendo que a máxima tensão no cabo não pode exceder 190 MPa e que a
deformação do cabo não deve exceder 6 mm, determine a máxima força P
que pode ser aplicada conforme mostra a figura.
2.15 Uma ação axial de intensidade P = 15 kips é aplicada à extremidade C da
haste ABC. Sabendo que E = 29  106 psi, determine o diâmetro d da por-
ção BC para que a deflexão do ponto C seja de 0,05 in.
2.16 Um tubo de alumínio com 250 mm de comprimento (E 5 70 GPa),
36 mm de diâmetro externo e 28 mm de diâmetro interno pode ser fecha-
do em ambas as extremidades por meio de tampas com rosca simples de
1,5 mm de passo. Com uma das tampas aparafusada e apertada, uma barra
sólida de latão (E  105 GPa) de 25 mm de diâmetro é colocada dentro
do tubo e uma segunda tampa é aparafusada. Como a barra é ligeiramente
mais longa que o tubo, observa-se que a tampa precisa ser forçada contra
a barra girando-a 1
4 de volta para que o tubo fique bem fechado. Determine
(a) a tensão normal média no tubo e na barra e (b) as deformações do tubo
e da barra.
Fig. P2.13
1829 mm
1372 mm
1829 mm
B
A
C
D
P 5 578,24 kN
Fig. P2.15
P
1.25-in. diameter
4 ft
3 ft
d
A
B
C
Fig. P2.14
3,5 m
4,0 m
2,5 m
B
A C
P
Fig. P2.16
36 mm 28 mm
25 mm
250 mm

2.17 O sólido mostrado foi cortado de uma chapa de vinil com 1/4 in de espes-
sura (E = 0,45  106 psi) e é submetido a uma tração de 350 lb. Determine
(a) a deformação total do sólido, (b) a deformação de sua proção central
BC.
Fig. P2.17
P 5 350 lb
A B C D
1 in. 1 in.
1,6 in. 2 in.
0,4 in.
1,6 in.
P 5 350 lb
2.18 O tubo de latão AB (E = 105 GPa) tem área de seção transversal de 144
mm2 e é ajustado com um plugue em A. O tubo está conectado em B a uma
placa rígida que, por sua vez, está conectada em C ao fundo de um cilindro
de alumínio (E = 72 GPa) com seção transversal de 250 mm2. O cilindro é
então suspenso por um suporte em D. Para fechar o cilindro, o plugue deve
se mover para baixo em 1 mm. Determine a força P que deve ser aplicada
ao cilindro.
2.19 Ambas as partes da barra ABC são feitas de um alumínio para o qual
E  70 GPa. Sabendo que a intensidade de P é 4 kN, determine (a) o valor
de Q de modo que o deslocamento em A seja zero e (b) o deslocamento
correspondente de B.
Fig. P2.19 e P2.20
0,4 m
0,5 m
P
Q
Diâmetro de 20 mm
Diâmetro de 60 mm
A
B
C
2.20 A barra ABC é feita de um alumínio para o qual E  70 GPa. Sabendo que
P  6 kN e Q  42 kN, determine o deslocamento de (a) ponto A e (b)
ponto B.
2.21 Para a treliça de aço (E  200 GPa) e o carregamento mostrado, determine
as deformações dos componentes AB e AD, sabendo que suas áreas de seção
transversal são, respectivamente, 2 400 mm2 e 1 800 mm2.
Fig. P2.18
375 mm
1 mm
C
D A
B
P
Fig. P2.21
4,0 m 4,0 m
2,5 m
D C
A
B
228 kN

70
2.22 Para a treliça de aço (E  200 GPa) e os carregamentos mostrados, deter-
mine as deformações dos componentes BD e DE, sabendo que suas áreas de
seção transversal são, respectivamente, 1290 mm2 e 1935 mm2.
Fig. P2.22
4572 mm
2438 mm
2438 mm
2438 mm
D
C
F
E
G
A
B
133,4 kN
133,4 kN
133,4 kN
2.23 Os elementos AB e BC são feitos de aço (E = 29  106 psi) e têm seção trans-
versal com área de 0,80 in2 e 0,64 in2, respectivamente. Para o carregamento
mostrado, determine o alongamento do (a) elemento AB, (b) elemento BC.
Fig. P2.23
6 ft 6 ft
5 ft
C
D E
A
B
28 kips 54 kips
2.24 O pórtico de aço (E = 200 GPa) mostrado tem a escora diagonal BD com
área de 1920 mm2. Determine a máxima carga P admissível se a mudança
de comprimento do elemento BD não excede 1,6 mm.
Fig. P2.24
6 m
5 m
C
D
A
B
P
2.25 A barra de conexão BD é feita de latão (E = 105 GPa) e tem área de seção
transversal de 240 mm2. A barra de conexão CE é feita de alumínio (E =
72 GPa) e tem área de seção transversal de 300 mm2. Sabendo que elas
suportam o elemento rígido ABC, determine a força máxima P que pode ser
aplicada verticalmente no ponto A se a deflexão de A não excede 0,35 mm.
Fig. P2.25
P
125 mm
225 mm
225 mm
150 mm
E
D
A B
C

Fig. P2.26
260 mm
18 kN 18 kN
240 mm
180 mm
C
D
E
F
A
B
2.26 Os elementos ABC e DEF são unidos por barras de conexão de aço (E = 200
GPa). Cada uma dessas barras é feita de um par de placas de 25  35 mm.
Determine a mudança de comprimento do (a) elemento BE, (b) elemento CF.
2.27 Cada uma das barras AB e CD é feita de alumínio (E  10,9  106 psi) e
tem uma seção transversal com área de 0,2 in2. Sabendo que elas suportam
a barra rígida BC, determine o deslocamento do ponto E.
Fig. P2.27
P = 1 kip
10 in.
22 in.
18 in.
A
E
D
B C
2.28 O comprimento do fio de aço CD de 3
32-in diâmetro foi ajustado de modo
que, sem nenhuma força aplicada, existe um espaço de 1
16 in entre a extre-
midade B da barra rígida ACB e um ponto de contato E. Sabendo que E 
29  106 psi, determine onde deve ser colocado o bloco de 20-lb na barra
rígida para provocar o contato entre B e E.
2.29 Um cabo homogêneo de comprimento L e seção transversal uniforme é sus-
penso por uma das extremidades. (a) Designando por r a densidade (massa
por unidade de volume) do cabo e por E seu módulo de elasticidade, deter-
mine a deformação do cabo em razão de seu próprio peso. (b) Mostre que a
mesma deformação seria obtida se o cabo estivesse na horizontal e se uma
força igual à metade de seu peso fosse aplicada a cada extremidade.
2.30 Uma carga vertical P é aplicada no centro A da face superior de um tronco
de cone circular de altura h e com raio mínimo igual a a e raio máximo igual
a b. Denotando por E o módulo de elasticidade do material e desprezando o
efeito do peso próprio, determine a deflexão do ponto A.
Fig. P2.30
h
A a
b
P
2.31 Designando por P a “deformação específica de engenharia” em um corpo
de prova em tração, mostre que a deformação específica verdadeira é Pv 
ln(1 1 P).
2.32 O volume de um corpo de prova em tração é essencialmente constante enquanto
ocorre a deformação plástica. Se o diâmetro inicial do corpo de prova for d1,
mostre que, quando o diâmetro for d, a deformação específica verdadeira será
Pv  2 ln(d1/d).
Fig. P2.28
12.5 in.
D
C
A
x
B
50 lb
16 in.
4 in.
E 1
16
in.

72
2.2 Problemas estaticamente indeterminados
Nos problemas considerados na seção anterior, sempre podíamos usar
diagramas de corpo livre e equações de equilíbrio para determinar as forças
internas que ocorrem nas várias partes de um componente sob determina-
das condições de carregamento. No entanto, há muitos problemas nos quais
as forças internas não podem ser determinadas apenas por meio da estática.
Na verdade, na maioria desses proble
mas as próprias reações, que são forças
externas, não podem ser determinadas simplesmente desenhando-se o dia-
grama de corpo livre do componente e escrevendo as equações de equilíbrio
correspondentes. As equações de equilíbrio devem ser complementadas por
relações que envolvem deformações obtidas considerando-se a geometria do
problema. Como as equações da estática são incapazes de determinar as rea-
ções ou as forças internas, dizemos que os problemas desse tipo são estatica-
mente indeterminados. Os exemplos a seguir mostrarão como lidar com esse
tipo de problema.
Uma barra de comprimento L, seção transversal de área A1 e módulo de
elasticidade E1 foi colocada dentro de um tubo do mesmo comprimento L, mas
de seção transversal de área A2 e módulo de elasticidade E2 (Fig. 2.21a). Qual é
a deformação da barra e do tubo quando uma força P é aplicada em uma placa
lateral rígida como mostra a figura?
Indicando por P1 e P2, respectivamente, as forças axiais na barra e no tubo,
desenhamos os diagramas de corpo livre dos três elementos (Fig. 2.21b, c, d).
Somente a Fig. 2.21d fornece alguma informação significativa, ou seja
P1 P2 P (1)
Está claro que uma única equação não é suficiente para determinar as
duas forças internas desconhecidas P1 e P2. O pro
blema é estaticamente in-
determinado.
No entanto, a geometria do problema mostra que as deformações d1 e d2 da
barra e do tubo devem ser iguais. Usando a Equação (2.9), escrevemos
d1
P1L
A1E1
d2
P2L
A2E2
(2)
Igualando as deformações d1 e d2, obtemos

P1
A1E1
P2
A2E2

(3)
As Equações (1) e (3) podem ser resolvidas simultaneamente para P1 e P2
P1
A1E1P
A1E1 A2E2
P2
A2E2P
A1E1 A2E2
Qualquer uma das Equações (2) pode então ser utilizada para determinar a
deformação comum da barra e do tubo.
Fig. 2.21 (a) Barra e tubo concêntricos
submetidos a carga P. (b) Diagrama de corpo
livre da barra. (c) Diagrama de corpo livre do
tubo. (d) Diagrama de corpo livre da placa de
extremidade.
P
P
P1 P'1
P2
P1
P2
P'2
Tubo (A2, E2)
Barra (A1, E1)
Placa de
extremidade
(a)
(b)
(c)
(d)
L

Uma barra AB de comprimento L e seção transversal uniforme está ligada
a suportes rígidos em A e B antes de a ela ser aplicada uma força. Quais são as
tensões nas partes AC e BC em razão da aplicação de uma força P no ponto C
(Fig. 2.22a)?
Desenhando o diagrama de corpo livre da barra (Fig. 2.22b), obtemos a
equação de equilíbrio
RA RB P (1)
Como essa equação não é suficiente para determinar as duas reações desco-
nhecidas RA e RB, o problema é estaticamente indeterminado.
No entanto, as reações podem ser determinadas se observarmos da geome-
tria que a deformação total d da barra deve ser zero. Designando por d1 e d2,
respectivamente, as deformações das partes AC e BC, temos
d d1 d2 0
Utilizando a Equação (2.9), ou expressando d1 e d2 em termos das forças inter-
nas correspondentes P1 e P2
d
P1L1
AE
P2L2
AE
0 (2)
No entanto, notamos pelos diagramas de corpo livre mostrados, respec
tivamente, nas partes b e c da Fig. 2.22c que P1  RA e P2  2RB. Substituindo
esses dois valores na Equação (2), escrevemos
RAL1 RBL2 0 (3)
As Equações (1) e (3) podem ser resolvidas simultaneamente para RA e RB;
obtemos RA  PL2/L e RB  PL1/L. As tensões desejadas s1 em AC e s2 em BC
são obtidas dividindo-se, respectivamente, P1  RA e P2  2RB pela área da
seção transversal da barra
s1
PL2
AL
s2
PL1
AL
P P
L1
L2
RA
RB
(a) (b)
L
A
B
A
B
C C
Fig. 2.22 (a) Barra carregada axialmente
impedida de se deformar. (b) Diagrama de
corpo livre da barra. (c) Diagrama de corpo
livre das seções sobre o ponto C e abaixo
dele utilizadas para determinar as forças
internas P1 e P2.
P
RA RA
RB RB
(a)
(b)
(c)
A
B
C P1
P2
(c)
Método da superposição. Observamos que uma estrutura é estaticamen-
te indeterminada sempre que é vinculada por mais suportes do que aqueles
necessários para manter seu equilíbrio. Isso resulta em mais reações desco
nhecidas do que equações de equilíbrio disponíveis. Muitas vezes é con-
veniente designar uma das reações como redundante e eliminar o suporte
correspondente. Como as condições estabelecidas no problema não podem
ser alteradas arbitrariamente, a reação redundante deve ser mantida na solu-
ção. Contudo, ela será tratada como uma força desconhecida que, juntamente
com outras forças, deve produzir deformações compatíveis com as restrições
originais. A solução real do problema é obtida considerando-se separadamen-
te as deformações provocadas pelas forças e pela reação redundante e soman-
do ou superpondo os resultados obtidos. As condições gerais sob as quais o
efeito combinado de várias forças pode ser obtido dessa maneira serão discu-
tidas na Seção 2.5.

74
Seja a barra de aço, presa em ambas as extremidades por apoios fixos, mos-
trada na Fig. 2.23a, submetida ao carregamento indicado. Determine o valor
das reações nesses apoios.
Consideramos a reação em B como redundante e libe
ramos a barra daquele
apoio. A reação RB é agora consi
derada uma força desconhecida e será determi-
nada por meio da condição de que a deformação d da barra deve ser igual a zero.
A solução é obtida considerando-se se
paradamente a deformação dL cau-
sada pelas forças dadas (Fig. 2.23b) e a deformação dR em razão da reação RB
redundante (Fig. 2.23b).
A deformação dL foi obtida pela Equação (2.10) depois que a barra foi
dividida em quatro partes, como mostra a Fig. 2.23c.
Seguindo o mesmo procedimento da Aplicação de conceito 2.1, escreve-
mos
L1 L2 L3 L4 0,150 m
A1 A2 400 10 6
m2
A3 A4 250 10 6
m2
P1 0 P2 P3 600 103
N P4 900 103
N
Substituindo esses valores na Equação (2.10), obtemos
(1)
dL
1,125 109
E
600 103
N
250 10 6
m2
900 103
N
250 10 6
m2
b
0,150 m
E
dL a
4
i 1
PiLi
AiE
a0
600 103
N
400 10 6
m2
Para a determinação da deformação dR por causa da reação redundante RB,
devemos dividir a barra em duas partes, como mostra a Fig. 2.23d, e escrever
L1 L2 0,300 m
A1 400 10 6
m2
A2 250 10 6
m2
P1 P2 RB
Substituindo esses valores na Equação (2.10), obtemos

dR
P1L1
A1E
P2L2
A2E
11,95 103
2RB
E
(2)
Considerando que a deformação total d da barra deve ser zero, escrevemos
d dL dR 0 (3)
e substituindo dL e dR de (1) e (2) em (3),
d
1,125 109
E
11,95 103
2RB
E
0
C
A
D
K
B
A 5 250 mm2
A 5 400 mm2
300 kN
600 kN 150 mm
150 mm
150 mm
150 mm
(a)
A
300 kN
600 kN
A
300 kN
600 kN
A
L
d
d R
d
(b)
5 0
RB
RB
C
K
D
3
4
2
1
A
B
300 kN
600 kN 150 mm
150 mm
150 mm
150 mm
(c)
C
1
2
A
B
RB
300 mm
300 mm
(d)
Fig. 2.23 (a) Barra carregada axialmente
impedida de se deformar. (b) As reações são
encontradas liberando os apoios no ponto B
e adicionando força compressora no ponto
B para forçar a deformação naquele ponto a
zero. (c) Diagrama de corpo livre da estrutura
livre. (d) Diagrama de corpo livre da força de
reação adicionada ao ponto B para forçar a
deformação no ponto B a zero.

Dessa equação temos o valor de RB
RB 577 103
N 577 kN
A reação RA no apoio superior é obtida do diagrama de corpo livre da barra
(Fig. 2.23e). Escrevemos
RA 900 kN RB 900 kN 577 kN 323 kN
ˇc Fy 0: RA 300 kN 600 kN RB 0
Uma vez determinadas as reações, as tensões e deformações na barra podem
ser obtidas facilmente. Deve-se notar que, embora a deformação total da barra
seja zero, cada uma de suas partes componentes se deforma sob as condições de
carregamento e restrições nos apoios. Fig. 2.23 (cont.) (e) Diagrama de
corpo livre completo de ACB.
C
A
300 kN
600 kN
B
RB
RA
(e)
Determine as reações em A e B para a barra de aço da Aplicação de conceito
2.4. Considere o mesmo carregamento e suponha, agora, que exista uma folga
de 4,5 mm entre a barra e o apoio antes de aplicar o carregamento (Fig. 2.24).
Suponha E  200 GPa.
Considerando a reação em B redundante, calculamos as deformações dL e
dR provocadas, respectivamente, pelas forças e pela reação redundante RB. No
entanto, neste caso a deformação total não é zero, mas d  4,5 mm. Escrevemos
então
d dL dR 4,5 10 3
m (1)
Substituindo dL e dR na (Eq.1) e lembrando de que E  200 GPa  200 
109 Pa, temos
d
1,125 109
200 109
11,95 103
2RB
200 109
4,5 10 3
m
Resolvendo esta equação, determina-se o valor de RB. Assim, temos
RB 115,4 103
N 115,4 kN
A reação em A é obtida do diagrama de corpo livre da barra (Fig. 2.23e)
RA 900 kN RB 900 kN 115,4 kN 785 kN
RA 300 kN 600 kN RB 0
c Fy 0:
Fig. 2.24 Barra de seção escalonada usada
na Aplicação de conceito 2.4 com folga inicial de
4,5 mm no ponto B. O carregamento leva a barra
ao contato com a restrição.
C
C
A
A
B B
300 kN
600 kN
300 mm
4,5 mm
300 mm
A 5 250 mm2
A 5 400 mm2
d

76
2.3 Problemas que envolvem mudanças de
temperatura
Primeiramente vamos considerar uma barra homogênea AB de seção
transversal uniforme, que se apoia livremente em uma superfície horizontal
lisa (Fig. 2.25a). Se a temperatura da barra for aumentada de ¢T, observamos
que a barra se alonga de dT, que é proporcional à variação de temperatura ¢T
e ao comprimento L da barra (Fig. 2.25b). Temos
dT a1¢T2L (2.13)
em que a é uma constante característica do material, chamada de coeficiente de
dilatação térmica. Como d T e L são expressos em unidades de comprimento, a
representa uma quantidade por grau C ou por grau F, dependendo se a mudan-
ça de temperatura é expressa em graus Celsius ou graus Fahrenheit.
Fig. 2.25 Alongamento de uma barra livre
devido ao aumento de temperatura.
A
L
L
B
B
(b)
A
(a)
T
d
Com a deformação dT deve ser associada uma deformação específica
PT  dT /L. Usando a Equação (2.13), concluímos que
T a ¢T (2.14)
A deformação específica PT é conhecida como deformação específica térmica,
pois ela é provocada pela variação de temperatura da barra. No caso que estamos
considerando aqui, não há tensão associada com a deformação específica PT.
Vamos supor agora que a mesma barra AB de comprimento L é colocada
entre dois apoios fixos a uma distância L um do outro (Fig. 2.26a). Novamen-
te, não há tensão nem deformação nesta condição inicial. Se aumentarmos
a temperatura em ¢T, a barra não poderá se alongar em razão das restrições
impostas nas suas extremidades; a deformação dT da barra será então zero.
Como a barra é homogênea e tem seção transversal uniforme, a deformação
específica PT em qualquer ponto será PT  dT /L e, portanto, também será zero.
No entanto, os apoios exercerão forças iguais e opostas P e P ¿ na barra, após
a elevação da tempe
ratura, para impedir sua deformação (Fig. 2.26b). Con-
cluímos então que é criado um estado de tensão (sem a deformação específica
correspondente) na barra.
O problema criado pela variação de temperatura ¢T é estaticamente inde-
terminado. Portanto, devemos primeiro calcular a intensidade P das reações
nos apoios por meio da condição de que a deformação da barra é zero. Usando
o método da superposição descrito na Seção 2.2, separamos a barra de seu
apoio B (Fig. 2.27a) e a deixamos alongar-se livremente com a variação de
Fig. 2.26 A força P se desenvolve quando a
temperatura da barra aumenta enquanto as
extremidades A e B estão impedidas de se
deformar.
L
(b)
A B
A B
P' P
(a)

temperatura ¢T (Fig. 2.27b). De acordo com a Fórmula (2.13), a deformação
correspondente é
dT a1¢T2L
Aplicando-se agora à extremidade B a força P, que representa a reação redundante,
e usando a Fórmula (2.9), obtemos uma segunda deformação (Fig. 2.27c), que é
dP
PL
AE
Considerando que a deformação total d deve ser zero, temos
d dT dP a1¢T2L
PL
AE
0
do qual concluímos que
P AEa1¢T2
e que a tensão na barra em razão da mudança de temperatura ¢T é
s
P
A
Ea1¢T2 (2.15)
Devemos ter em mente que o resultado obtido aqui e nossa observação
anterior referente à ausência de qualquer deformação específica na barra
aplicam-se somente no caso de uma barra homogênea de seção transver-
sal uniforme. Qualquer outro problema envolvendo uma estrutura impedida
de se deformar submetida a uma variação de temperatura deve ser analisado
detalhadamente. No entanto, a mesma abordagem geral pode ser utilizada;
ou seja, podemos considerar separadamente a deformação em decorrência da
variação de temperatura e a deformação em virtude da reação redundante e
superpor as soluções obtidas.
Fig. 2.27 Método de superposição para encontrar a força
no ponto B da barra AB impedida de se deformar submetida
à expansão térmica. (a) Comprimento inicial da barra (b)
comprimento da barra expandida termicamente; (c) a força P
pressiona o ponto B de volta para a deformação zero.
L
(b)
(c)
L
A
A B
B
P
(a)
T
d
A B
P
d

78
Determine os valores da tensão nas partes AC e CB da barra de aço mos-
trada (Fig. 2.28a) quando a temperatura da barra for de245 C, sabendo que
ambos os apoios rígidos estão ajustados quando a temperatura estiver a 120 C.
Use os valores E  200 GPa e a  12  1026/ C para o aço.
Primeiro determinamos as reações nos apoios. Como o problema é estatica-
mente indeterminado, separamos a barra de seu apoio em B e a deixamos mudar
com a temperatura
¢T 1 45°C2 120°C2 65°C
A deformação correspondente (Fig. 2.28c) é
0,468 mm
dT a1¢T2L 112 10 6
/°C21 65°C21600 mm2
Aplicando agora a força desconhecida RB na extremidade B (Fig. 2.28d), usa-
mos a Equação (2.10) para expressar a deformação dR correspondente. Substi-
tuindo
P1 P2 RB E
A1 390 mm2
A2 780 mm2
L1 L2 300 mm
200 GPa
na Equação (2.10), temos
15,769 10 3
mm/kN2RB
RB
200 kN/mm
a
300 mm
390 mm2
300 mm
780 mm2
b
dR
P1L1
A1E
P2L2
A2E
2
Considerando que a deformação total da barra deve ser zero como resultado das
restrições impostas, temos
0,468 mm 15,769 10 3
mm/kN2RB 0
d dT dR 0
do qual obtemos
RB 81,12 kN
A reação em A é igual e oposta.
Notando que as forças nas duas partes da barra são P1  P2  81,12 kN,
obtemos os seguintes valores para a tensão nas partes AC e CB da barra
(b)
(c)
RB
(a)
T
d
R
d
C
A
B
C
L1 L2
A
B
C
1 2
1 2
A
B
C
A
A 390 mm2
A 780 mm2
300 mm
300 mm
B
Fig. 2.28 (a) Barra impedida de se deformar.
(b) Barra a uma temperatura de 20°C. (c) Barra
a uma tempertura mais baixa. (d) Força RB
necessária para forçar a deformação do ponto
B a zero.

s2
P2
A2
81,12 kN
780 mm2
104 MPa
s1
P1
A1
81,12 kN
390 mm2
208 MPa
Não podemos enfatizar demasiadamente o fato de que, embora a defor-
mação total da barra deva ser zero, as deformações das partes componentes
AC e CB não serão nulas. Portanto, uma solução do problema baseada na
hipótese de que essas deformações são iguais a zero seria errada. E nem os va
lores da deformação específica em AC ou CB podem ser considerados iguais
a zero. Para melhor destacarmos esse ponto, vamos determinar a deformação
específica PAC na parte AC da barra. A deformação específica PAC pode ser
dividida em duas partes componentes; uma é a deformação específica térmica
PT produzida na barra livre pela variação de temperatura ¢T (Fig. 2.28c). Da
Equação (2.14) escrevemos
780 10 6
T a ¢T 112 10 6
/°C21 65°C2
A outra componente de PAC está associada com a tensão s1 por causa da força RB
aplicada à barra (Fig. 2.28d). Da lei de Hooke, expressamos essa componente da
deformação como
s1
E
208 MPa
200000 MPa
1040 10 6
Somando as duas componentes da deformação específica em AC, obtemos
260 10 6
AC T
s1
E
780 10 6
1040 10 6
Um cálculo semelhante fornece a deformação específica na parte CB da barra:
260 10 6
CB T
s2
E
780 10 6
520 10 6
As deformações dAC e dCB das duas partes da barra são expressas, respectiva-
mente, como
78 10 6
m
dCB CB1CB2 1 260 10 6
21300 2
78 10 6
m
dAC AC1AC2 1260 10 6
2
10 3
m
1300 2
10 3
m
Verificamos então que, embora a soma d  dAC + dCB das duas deformações seja
zero, nenhuma das deformações é igual a zero.

80
As barras CE de 12 mm de diâmetro e DF de 20 mm de diâmetro estão ligadas
à barra rígida ABCD conforme mostra a figura. Sabendo que as barras são feitas
de alumínio e usando E  70 GPa, determine (a) a força em cada barra provocada
pela força mostrada na figura e (b) o deslocamento correspondente do ponto A.
ESTRATÉGIA: Para resolver este problema estaticamente indeterminado, você
precisa complementar as equações de equilíbrio com a análise das deflexões re-
lativas das duas barras.
MODELAGEM: Desenhe o diagrama de corpo livre da barra (Fig. 1).
ANÁLISE:
Estática. Considerando o diagrama de corpo livre da barra ABCD na Fig. 1,
notamos que a reação em B e as forças aplicadas pelas barras são indeterminadas.
No entanto, usan
do a estática, podemos escrever
3 FCE 5FDF 207
145 kN21460 mm2 FCE1300 mm2 FDF 1500 mm2 0
g MB 0:
(1)
Geometria. Após a aplicação da força de 45 kN, a posição da barra é A ¿BC ¿D ¿
(Fig. 2). Com base nos triângulos semelhantes BAA ¿, BCC ¿ e BDD ¿, temos

dC
300 mm
dD
500 mm
dC 0,60dD
(2)

dA
460 mm
dD
500 mm
dA 0,92dD (3)
Deformações. Usando a Equação (2.9) e os dados da Fig. 3, temos
dC
FCELCE
ACEE
dD
FDFLDF
ADFE
Substituindo os valores de dC e dD em (2), escrevemos
FCE 0,6
LDF
LCE
ACE
ADF
FDF 0,6 a
780 mm
600 mm
bc
1
4 p1 22
1
4 p1 22
d FDF FCE 0,281FDF
dC 0,6dD
FCELCE
ACEE
0,6
FDFLDF
ADFE
12 mm
20 mm
Força em cada barra. Substituindo FCE em (1) e lembrando que todas as for-
ças foram expressas em kN, temos
FCE 9,96 kN
FCE 0,281FDF 0,281135,432
FDF 35,43 kN
310,281 FDF2 5FDF 207
780 mm
600 mm
C

D

C D
E
F
12 mm
20 mm
FCE FDF
460 mm
300 mm
FCE
By
Bx
FDF
45 kN
B
C D
A
460 mm
300 mm
780 mm
600 mm
200
mm
200
mm
200
mm
45 kN
B
E
F
C D
A
460 mm
300 mm
B
C' D'
C D
A
A' A
C

D

780 mm
600 mm
C

D

C D
E
F
12 mm
20 mm
FCE FDF
460 mm
300 mm
FCE
By
Bx
FDF
45 kN
B
C D
A
460 mm
300 mm
780 mm
600 mm
200
mm
200
mm
200
mm
45 kN
B
E
F
C D
A
460 mm
300 mm
B
C' D'
C D
A
A' A
C

D

Fig. 3 Forças e deformações em CE e DF.
780 mm
600 mm
C

D

C D
E
F
12 mm
20 mm
FCE FDF
460 mm
300 mm
FCE
By
Bx
FDF
45 kN
B
C D
A
460 mm
300 mm
780 mm
600 mm
200
mm
200
mm
200
mm
45 kN
B
E
F
C D
A
460 mm
300 mm
B
C' D'
C D
A
A' A
C

D

Fig. 2 Deslocamentos linearmente
proporcionais ao longo da barra rígida ABCD.
780 mm
600 mm
C

D

C D
E
F
12 mm
20 mm
FCE FDF
460 mm
300 mm
FCE
By
Bx
FDF
45 kN
B
C D
A
460 mm
300 mm
780 mm
600 mm
200
mm
200
mm
200
mm
45 kN
B
E
F
C D
A
460 mm
300 mm
B
C' D'
C D
A
A' A
C

D

rígida ABCD.

Deslocamentos. O deslocamento do ponto D é
dD
FDFLDF
ADFE
135,43 kN2˛ 1780 mm2
1
4 p1 22
170 kN/mm 2
dD 1,26 mm
20 mm 2
Usando (3), escrevemos
dA 1,16 mm
dA 0,92dD 0,92 11,26 mm2
ReflETIR PensAR: Você deve notar que enquanto as barras rígidas rotacio-
nam em relação a B, as deflexões em C e D são proporcionais às suas distâncias
ao pivô em B, mas as forças exercidas pelas hastes nesses pontos não o são.
Estaticamente indeterminadas, essas forças dependem das deflexões atribuídas às
hastes assim como do equilíbrio da barra rígida.
A barra rígida CDE está ligada a um pino com apoio em E e apoiada sobre o
cilindro BD de latão, com 30 mm de diâmetro. Uma barra de aço AC com diâme-
tro de 22 mm passa através de um furo na barra e está presa por uma porca que
está ajustada quando a temperatura do conjunto todo é de 20 C. A temperatura do
cilindro de latão é então elevada para 50 C enquanto a barra de aço permanece a
20 C. Supondo que não havia tensões presentes antes da variação de temperatura,
determine a tensão no cilindro.
Barra Ac: Aço Cilindro BD: Latão
a 20,9 10 6
/°C
a 11,7 10 6
/°C
E 105 GPa
E 200 GPa
ESTRATÉGIA: Você pode usar o método da superposição, considerando RB
como redundante. Removido o apoio em B, a temperatura crescente no ci-
lindro faz com que o ponto B mova-se para baixo até dT. A reação RB deve
produzir a deflexão d1, igual a dT de modo que a deflexão final de B seja zero
(Fig. 2).
MODELAGEM: Desenhe o diagrama de corpo livre da montagem completa
(Fig. 1).
C
C
A
A
B
B
0,9 m
0,3 m
0,3 m
0,45 m
0,45 m
0,3 m
D
D
E
E
RA
RB
Ey
Ex
parafuso, do cilindro e da barra.
C
C
A
A
B
B
0,9 m
0,3 m
0,3 m
0,45 m
0,45 m
0,3 m
D
D
E
E
RA
RB
Ey
Ex

82
ANÁLISE:
Estática. Considerando o diagrama de corpo livre do conjunto inteiro, escre-
vemos
RA10,75 m2 RB10,3 m2 0 RA 0,4RB
g ME 0: (1)
Deslocamento DT. Em virtude de um aumento na temperatura de 50 C2 20 C
 30 C, o comprimento do cilindro de latão aumenta em dT. (Fig. 2a)
dT L1¢T2a 10,3 m2˛ 130°C2120,9 10 6
/°C2 188,1 10 6
m T
Deslocamento D1. A partir da Fig. 2b, notamos que dD  0,4 dC e d1 
dD + dB/D.
dB/D
RBL
AE
RB10,3 m2
1
4 p10,03 m22
1105 GPa2
4,04 10 9
RB c
dD 0,40dC 0,4111,84 10 9
RA2 4,74 10 9
RAc
dC
RAL
AE
RA10,9 m2
1
4 p10,022 m22
1200 GPa2
11,84 10 9
RA c
De acordo com a Equação (1), em que RA  0,4RB, escrevemos
RB 31,7 kN
188,1 10 6
m 5,94 10 9
RB
dT d1:
d1 dD dB D 34,7410,4RB2 4,04RB 410 9
5,94
No entanto,
10 9
RB c
Tensão no cilindro: sB 44,8 MPa
sB
RB
A
31,7 kN
1
4 p10,0322
Refletir Pensar: Este exemplo ilustra as elevadas tensões que podem se
desenvolver em sistemas estaticamente indeterminados devido a mudanças mo-
destas de temperatura. Note que se a montagem fosse estaticamente determinada
(i.e., a haste de aço fosse removida), nenhuma tensão se desenvolveria no cilindro
devido à mudança de temperatura.
(a) (b)
5
0,3
0,4 C
0,75
(c)
C
C C
D
D
D
E E
A A
A
B
B B
RB
RA
dT
dC dC
dD 5
d d
C
d1
Fig. 2 Superposição das forças de deformação termal e de restrição. (a) Apoio removido em B. (b)
Reação em B aplicada. (c) Posição final.

PROBLEMAS
2.33 Uma força axial centrada de intensidade P = 450 kN é aplicada ao
bloco composto mostrado através de uma placa rígida de extremidade. Saben-
do que h = 10 mm, determine a tensão normal em (a) o núcleo de latão, (b)
nas placas de alumínio.
Fig. P2.33
40 mm
60 mm
Placas de alumínio
(E = 70 GPa)
300 mm
Núcleo de latão
(E = 105 GPa) Placa rígida de
extremidade
P
h
h
2.34 Para o bloco composto mostrado no Prob. 2.33, determine (a) o valor de h
se a fração da carga suportada pelas placas de alumínio é a metade da fração
da carga suportada pelo núcleo de latão, (b) a carga total se a tensão no latão
é de 80 MPa.
2.35 A coluna de concreto de 1,5 m é reforçada com seis barras de aço, cada
uma com 28 mm de diâmetro. Sabendo que Eaço 5 200 GPa e Econc 5
25 GPa, determine as tensões normais no aço e no concreto quando uma
força P centrada axial de 1550 kN é aplicada à coluna.
2.36 Para a coluna do Problema 2.35, determine a força centrada máxima que pode
ser aplicada se a tensão normal admissível é de 20 ksi no aço e 2,4 ksi no
concreto.
2.37 Uma força axial de 200 kN é aplicada através de placas rígidas colocadas
nas extremidades da montagem mostrada. Determine (a) a tensão normal na
casca de alumínio, (b) a correspondente deformação da montagem.
2.38 O comprimento do conjunto apresentado na figura diminui em 0,40 mm
quando uma força axial é aplicada por meio de placas rígidas nas extremida-
des do conjunto. Determine (a) a intensidade da força aplicada e (b) a tensão
correspondente no núcleo de latão.
2.39 Uma haste de poliestireno consiste em duas partes cilíndricas AB e BC en-
gastadas em ambas as extremidades e suportando duas ações de 6 kip con-
forme mostrado. Sabendo que E = 0,45  106 psi, determine (a) as reações
em A e C, (b) a tensão normal em cada parte da haste.
1,5 m
450 mm
P
Fig. P2.35
300 mm
60 mm
Casca de alumínio
E 5 70 GPa
Núcleo de latão
E 5 105 GPa
25 mm
Fig. P2.37 e P2.38
Fig. P2.39
B
C
15 in.
25 in.
1.25 in.
A
6 kips
6 kips
2 in.

84
2.40 Três barras de aço (E 5 29  106 psi) suportam uma carga P de 8,5-kip. Cada
uma das barras AB e CD tem uma área de seção transversal de 0,32-in2; e a
barra EF tem uma área de seção transversal de 1-in2. Desprezando a deforma-
ção da barra BED, determine (a) a variação do comprimento da barra EF e (b)
a tensão em cada barra.
Fig. P2.40
A
B
C
D
E
F
20 in.
16 in.
P
2.41 Duas barras cilíndricas, uma de aço e outra de latão, são unidas em C e con-
tidas por apoios rígidos em A e E. Para o carregamento indicado na figura e
sabendo que Eaço 5 200 GPa e Elatão 5 105 GPa, determine (a) as reações
em A e E e (b) o deslocamento do ponto C.
Fig. P2.41
180
40 mm de diâmetro 30 mm de diâmetro
120
100
Dimensões em mm
100
A C
D E
60 kN 40 kN
Latão
Aço B
2.42 Resolva o Problema 2.41 supondo que a barra AC é feita de latão e a barra
CE é feita de aço.
2.43 Cada uma das hastes BD e CE é feita de latão (E = 105 GPa) e tem área de
seção transversal de 200 mm2. Determine a deflexão da extremidade A do
elemento rígido ABC provocada pela ação de 2 kN.
Fig. P2.43
A
B
D E
F
C
550 mm
75 mm 100 mm
225 mm
2 kN
2.44 A barra rígida AD é suportada por dois fios de aço (E 5 200 GPa) com 1,6
mm de diâmetro e um apoio em A. Sabendo que os fios foram inicialmente
esticados, determine (a) a tensão adicional em cada um quando lhe for apli-
cada uma carga P de 980 N em D e (b) o deslocamento correspondente do
ponto D.
D
P
B C
E
203,2 mm
254 mm
305 mm 305 mm 305 mm
F
A
Fig. P2.44

2.45 A barra rígida ABC é suspensa por três cabos de mesmo material. A área da
seção transversal do cabo B é igual à metade da área das seções transversais
dos cabos em A e C. Determine a tração em cada um dos cabos causadas
pela carga P mostrada.
2.46 A barra rígida AD é suportada por dois cabos de aço com 1/16 in. de diâme-
tro (E = 29  106 psi) e por um pino e um suporte em D. Sabendo que os
cabos foram inicialmente tensionados, determine (a) a tração adicional em
cada cabo quando uma ação de 120 lb é aplicada em B, (b) a correspondente
deflexão do ponto B.
Fig. P2.46
D
P
B C
E
15 in.
8 in.
8 in.
8 in.
F
A
8 in.
2.47 O tubo de alumínio é completamente unido ao núcleo de latão e a montagem
tem as tensões aliviadas a uma temperatura de 15°C. Considerando apenas
deformações axiais, determine a tensão no alumínio quando a temperatura
alcançar os 195°C.
2.48 Resolva o Problema 2.47, supondo que o núcleo é feito de aço (Es 5 200 GPa,
as 5 11,7 3 1026/ C) em substituição ao latão.
2.49 Um tubo de latão (alatão 5 11,6 3 1026 / F) é totalmente preso ao núcleo
de aço (aaço 5 6,5 3 1026 / F). Determine o maior aumento permitido na
temperatura considerando que a tensão no núcleo de aço não deve exceder
8 ksi.
Núcleo de aço
E 5 200 GPa
Tubo de latão
E 5 103,4 GPa
25,4 mm
25,4 mm
6,35 mm 6,35 mm
6,35 mm
6,35 mm
304,8 mm
Fig. P2.49
Fig. P2.47
Núcleo de latão
E 5 105 GPa
5 20,9 3 10–6
/ 8C
Tubo de alumínio
E 5 70 GPa
5 23,6 3 10–6
/ 8C
25 mm
60 mm
a
a
Fig. P2.45
P
A
D B
L L
C
L
3
4

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