Olimpíada de Matemática 1ª Fase Nível 1
- 1. -238125-49530<br />Professor: Leandro Brandão<br />XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA<br />Primeira Fase – Nível 1<br />6o ou 7o anos (antigas 5ª e 6ª séries)<br />Prova realizada em 2008<br />01) Com segmentos de 1 cm de comprimento podemos formar triângulos. Por exemplo, com nove desses segmentos podemos formar um triângulo eqüilátero de lado 3 cm. Com qual número de segmentos a seguir é impossível formar um triângulo?<br />A) 4B) 5C) 6D) 7E) 8<br />(A) Com 4 segmentos é impossível formar um triângulo, pois teríamos lados de medida 1, 1 e 2, o que impossibilita tal formação.<br />02) Esmeralda compra cinco latas de azeite a quatro reais e setenta centavos a lata, cinco latas de leite em pó a três reais e doze centavos cada e três caixas de iogurte com seis iogurtes cada caixa ao preço de oitenta centavos por iogurte. Paga com uma nota de cinqüenta reais e quer saber quanto irá receber de troco. Qual das expressões aritméticas a seguir representa a solução para este problema?<br />A) B) <br />C) D) <br />E) <br />(C) Ela compra 5 latas de azeite a R$ 4,70 a lata, 5 latas de leite a R$ 3,12 cada e 3 caixas de iogurte com 6 iogurtes em cada caixa a R$ 0,80 por iogurte. O total gasto com esses itens é . Como ela paga com uma nota de R$ 50,00, ela irá receber de troco .<br />03) Uma pesquisa foi feita entre pessoas de ambos os sexos, em igual número, com a seguinte pergunta: Entre as cores azul, vermelho e amarelo, qual é a cor que você prefere? <br />Cada pessoa apresentou a sua preferência por uma, e só uma, dessas cores. E o resultado da pesquisa aparece nos gráficos abaixo:<br />Podemos concluir que, em relação ao total de pessoas pesquisadas, a ordem de preferência das cores é:<br />A) I, II, IIIB) I, III, IIC) II, I, IIID) II, III, IE) III, II, I<br />(B) ou (D) ambas devem ser consideradas como resposta correta. <br />Seja 2n o número de pessoas entrevistadas. A quantidade de pessoas cuja preferência é pela cor I é de 19% das mulheres e 50% dos homens, ou seja, ; pela cor II é de e pela cor III é . Nesse caso, a ordem de preferência das cores é II, III, I. Observação: nessas situações, quando se fala em ordem, é usual colocarmos em ordem crescente. Porém, serão consideradas corretas as duas maneiras: crescente ou decrescente.<br />04) O quociente e o resto na divisão de 26097 por 25 são, respectivamente:<br />A) 1043 e 22B) 1044 e 3C) 143 e 22D) 1044 e 22E) 144 e 3<br />05) Numa reunião da comunidade do bairro, cada uma das 125 pessoas presentes recebeu um número diferente, a partir do número 1 até o 125. Em dado momento, foi feita uma lista das pessoas com número par e das pessoas com número múltiplo de 3, que deveriam participar de um projeto. Algumas pessoas reclamaram, dizendo que o seu nome aparecia duas vezes na lista. Quantas pessoas apareceram duas vezes na lista?<br />A) 2B) 6C) 20D) 41E) 62<br />C) Apareceram duas vezes na lista o nome das pessoas que tinham um número par e múltiplo de 3, que no intervalo dado é o conjunto . Como , há 20 números nesse conjunto.<br />06) Sobre uma mesa retangular de uma sala foram colocados quatro sólidos, mostrados no desenho. Uma câmera no teto da sala, bem acima da mesa, fotografou o conjunto. Qual dos esboços a seguir representa melhor essa fotografia?(E) Olhando de cima, o cubo maior está em frente ao cubo menor. O esboço que representa melhor essa fotografia é o apresentado na alternativa E.<br />07) Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as férias, 60% de todos os alunos dessa classe foram prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse trabalho?<br />A) 1B) 2C) 4D) 6E) 8<br />(B) De todos os alunos dessa classe, foram prestar trabalho comunitário. O número mínimo de alunas que participaram desse trabalho é obtido quando número de alunos que participaram é máximo, ou seja, quando 22 alunos se envolveram, restando assim o mínimo de vagas para as meninas.<br />08) Uma urna contém 2008 cartões. Cada cartão recebeu um número diferente, a partir do número 1 até o 2008. Retiram-se dois cartões ao acaso e somam-se os números dos cartões. Quantos números ímpares diferentes podem ser obtidos dessa maneira? <br />A) 1004B) 1005C) 2007D) 2008E) 4016<br />(C) A soma de dois inteiros é ímpar quando um é par e o outro é ímpar (caso contrário, a soma é par). O menor resultado que satisfaz as condições dadas é e o maior, , e pode-se obter qualquer ímpar entre 3 e 4015 com os números disponíveis nos cartões, ou seja, os números ímpares que podem ser obtidos estão no conjunto . <br />No conjunto há 4016 números, dentre os quais não nos interessa os pares e o número 1. Logo a quantidade de números ímpares diferentes que pode ser obtida dessa maneira é .<br />09) Juntando quatro trapézios iguais de bases 30 cm e 50 cm, como o da figura ao lado, podemos formar um quadrado de área 2500 cm2, com um “buraco” quadrado no meio. Qual é a área de cada trapézio, em cm2?<br />A) 200 B) 250C) 300D) 350 E) 400<br /> (E) Juntando os quatro trapézios, formamos um quadrado de área 2500 cm2. Como o “buraco” <br />quadrado no meio tem área cm2, a área de cada um dos 4 trapézios, em cm2, é .<br />10) Quantos números pares de três algarismos têm dois algarismos ímpares? <br />A) 20B) 48C) 100D) 125E) 225<br />(D) Seja ABC um número par de três algarismos. Nesse caso, há exatamente 5 possibilidades <br /> para o algarismo C : 0, 2, 4, 6 ou 8. Como esse número deve ter dois algarismos ímpares, os <br /> algarismos A e B deverão preenchidos com 1, 3, 5, 7 ou 9, ou seja, há 5 possibilidades para cada um. Logo números pares de três algarismos têm dois algarismos ímpares.<br />11) Sabe-se que do conteúdo de uma garrafa enchem de um copo. Para encher 15 copos iguais a esse, quantas garrafas deverão ser usadas?<br />A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6<br />(C) Serão necessárias garrafas.<br />12) Quantos quadrados têm como vértices os pontos do reticulado ao lado?A) 6 B) 7C) 8D) 9E) 10(E) Podem ser construídos quadrados com vértices nos pontos do reticulado, conforme mostra a seqüência de desenhos a seguir.<br />13) A primeira fase da OBM se realiza no dia 14 de junho, um sábado do ano bissexto 2008. Daqui a quantos anos o dia 14 de junho será novamente no sábado?<br />A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8<br />(C) É verdade que 14 de junho de 2008 é um sábado. Logo 14 de junho de 2009 será um domingo, de 2010 será uma segunda-feira, de 2011 será uma terça-feira, de 2012 (que é bissexto) será uma quinta-feira, de 2013 será uma sexta-feira e, finalmente, de 2014 será um sábado. Portanto a próxima vez que o dia 14 de junho será num sábado acontecerá daqui a 6 anos.<br />14) No desenho temos AE = BE = CE = CD. Além disso, e são medidas de ângulos. Qual é o valor da razão ?A) B) C) 1D) E) <br />(D) Como , . Logo e, como , . Além disso, e, como , . Portanto o valor da razão é .<br />15) Na multiplicação ao lado, alguns algarismos, não necessariamente iguais, foram substituídos pelo sinal *. Qual é a soma dos valores desses algarismos?A) 17B) 27C) 37 D) 47 E) 57<br />(C) Vemos a multiplicação de um número de três algarismos por um outro de dois algarismos terminado em 7, que pode ser, portanto, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87 ou 97. Desses 9 números, o único divisor de 6157 é 47, o que nos dá . Assim, a multiplicação é:<br />E a soma dos números substituídos pelo sinal * é .<br />16) Três amigos moram na mesma rua: um médico, um engenheiro e um professor. Seus nomes são: Arnaldo (A), Bernaldo (B) e Cernaldo (C). O médico é filho único e o mais novo dos três amigos. Cernaldo é mais velho que o engenheiro e é casado com a irmã de Arnaldo. Os nomes do médico, do engenheiro e do professor, nessa ordem, são:<br />A) A, B, CB) C, A, BC) B, A, CD) B, C, AE) A, C, B<br />(C) Como Cernaldo é casado com a irmã de Arnaldo e não é o mais novo, e o médico é filho único, Bernaldo é o médico. O médico é o mais novo dos três amigos e como Cernaldo é mais velho que o engenheiro, Arnaldo é o engenheiro e Cernaldo é o professor.<br />17) Dois cartões iguais têm a forma de um triângulo retângulo de lados 5 cm, 12 cm e 13 cm. Esmeralda juntou os dois cartões sobre uma folha de papel e, contornando as beiradas com um lápis, obteve uma figura como a ao lado, que está fora de escala. Qual é o perímetro dessa figura? <br />A) 28 cmB) 35 cmC) 42 cmD) 43 cmE) 60 cm<br />(C) Os triângulos retângulos utilizados têm catetos 5 cm e 12 cm e hipotenusa 13 cm. Desse modo, temos:<br />Como os ângulos e são iguais, pois os lados de 12 cm são paralelos, o triângulo ABC é isósceles e, portanto, e . Conseqüentemente, e, assim, . Finalmente, o perímetro procurado é .<br />18) Qual é o maior número de algarismos que devem ser apagados do número de 1000 algarismos 20082008…2008, de modo que a soma dos algarismos restantes seja 2008?<br />A) 130 B) 260C) 510D) 746E) 1020<br />. (D) A estratégia para apagar o maior número de algarismos é eliminar a maior quantidade possível de algarismos de menor valor. Vamos começar pelos zeros que aparecem no número. Restam agora 250 algarismos 2 e 250 algarismos 8, cuja soma é . Apagamos agora a maior quantidade de algarismos 2 e como , podemos atingir nossa meta apagando algarismos 2. Portanto o maior número de algarismos que devem ser apagados é .<br />19) Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo desenho em uma das faces. Ela vai usar cinco cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das cinco partes do desenho, cada parte com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser girado para se obter o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir?<br />A) 16B) 25C) 30 D) 60 E) 120<br />C) ou (D) ambas devem ser consideradas como resposta correta. <br />(C) Escolhendo uma cor para o quadrado do centro (como o azul do exemplo), sobram 4 cores diferentes para pintar cada uma das quatro partes restantes do desenho, cada parte com uma cor diferente, e isso pode ser feito de maneiras de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Pode-se verificar que há 4 maneiras iguais de se pintar os cartões, pois girando-se cada uma delas, obtém-se as outras três. Como há 5 maneiras de escolher uma cor para o quadrado do centro, Soninha conseguirá produzir cartões diferentes. <br />(D) Se considerarmos que a diagonal com quadradinhos pretos é distinta da outra, então só precisamos dividir por 2. Logo Soninha conseguirá 60 cartões diferentes.<br />20) Três carros com velocidades constantes cada um, na mesma estrada, passam no mesmo momento por Brasilópolis. Ao viajar 100 quilômetros, o carro A passa por Americanópolis, 20 quilômetros à frente do carro B e 50 quilômetros à frente do carro C. Quando o carro B passar por Americanópolis, quantos quilômetros estará à frente do carro C? <br />A) 20 B) 25,5C) 30D) 35E) 37,5<br /> (E) No trajeto de 100 km, como o carro A passa por Americanópolis 20 quilômetros à frente do carro B, o carro B já percorreu km do trajeto e, de forma análoga, o carro C já percorreu km do mesmo trajeto. Perceba que, enquanto o carro B percorre 80 km, o carro C percorre 50 km, ou seja, enquanto o carro C percorre 1 km, o carro B percorre km. Assim, quando o carro B passar por Americanópolis, tendo percorrido os 20 km que lhe faltam, o carro C terá percorrido km e estará km atrás do carro B.<br />