Retas paralelas cortadas por uma transversal.pdf
- 2. Ângulos Agudos: São os ângulos simpáticos, que medem menos de 90º. Imagine que é como uma porta entreaberta - você pode ver um pouco do que está do outro lado, mas não completamente. Todos os ângulos que são menores que 90º são considerados ângulos agudos. Ângulos Retos: Eles são os "certinhos", sempre perfeitos, medindo exatamente 90º, nem mais, nem menos. Eles formam uma perfeita forma de "L", como um canto de uma sala ou um quadrado.
- 3. Ângulos Obtusos: Estes são os ângulos maiores do que 90º, porém menores que 180º. Ângulos rasos: O ângulo raso é como o ângulo que está esticando os braços bem abertos para dar o maior abraço possível! Ele mede exatamente 180º, nem mais, nem menos. Visualize a linha do horizonte, ou pense em uma reta: esses são exemplos de ângulos rasos.
- 4. ÂNGULOS COMPLEMENTARES Se a soma entre os ângulos α e β é igual a 90°, dizemos que α e β são complementares. Por exemplo: Os ângulos acima são complementares porque, ao somá-los, o resultado obtido é 90°. Sabendo que dois ângulos são complementares, é possível encontrar a medida de um deles a partir da medida do outro. ÂNGULOS SUPLEMENTARES Se a soma entre os ângulos γ e θ é igual a 180°, dizemos que γ e θ são suplementares. Por exemplo: Os ângulos da imagem acima são suplementares porque a soma de suas medidas é igual a 180°.Sabendo que dois ângulos são suplementares, é possível encontrar a medida de um deles a partir da medida do outro.
- 5. ÂNGULOS ADJACENTES: Esses são dois ângulos que têm um lado e um vértice em comum, mas nada além disso. Eles podem ser complementares (somam 90º) ou suplementares (somam 180º). ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE (OPV): Ângulos opostos pelo vértice são formados pelo encontro de duas retas e são congruentes.
- 6. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS 1. Dois ângulos são adjacentes complementares. Sabendo que a medida do maior ângulo é de 47°, qual é a medida do menor ângulo? 2) Sobre a classificação dos ângulos, marque a alternativa correta: A) Um ângulo é classificado como reto quando ele possui medida menor ou igual a 90º. B) Dois ângulos são complementares quando a soma deles é igual a 180º. C) Um ângulo é classificado como agudo quando a sua medida é menor do que 90º. D) Dois ângulos cuja soma é igual a 90º graus são conhecidos como ângulos obtusos.
- 7. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Sabendo que o ângulo EÂG é reto, o valor do ângulo x é: A) 12º B) 30º C) 42º D) 45º E) 60º
- 8. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Sabendo que os ângulos são suplementares, e analisando a imagem a seguir, o valor de x é igual a: A) 10º B) 11º C) 12º D) 13º E) 14º
- 9. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Analisando a imagem, podemos afirmar que a medida do menor ângulo é: A) 95º B) 89º C) 77º D) 64º E) 25º
- 10. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Analisando a imagem, podemos afirmar que a medida do menor ângulo é: A) 95º B) 89º C) 77º D) 64º E) 25º Analisando a imagem, note que a soma dos três ângulos forma um ângulo inteiro, então temos que: 7x – 5 + 5x – 24 + 3x + 14 = 360 15x = 360 + 5 + 24 – 14 15x = 375 x = 375 / 15 x = 25 Então, o menor ângulo é: 3x + 14 3 · 25 + 14 75 + 14 89º
- 11. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS O ângulo α é complementar ao ângulo ꞵ e suplementar a um ângulo de 125º, então, a medida do ângulo ꞵ é: A) 55º B) 45º C) 35º D) 30º E) 25º
- 12. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS O ângulo α é complementar ao ângulo ꞵ e suplementar a um ângulo de 125º, então, a medida do ângulo ꞵ é: A) 55º B) 45º C) 35º D) 30º E) 25º Se α é suplementar a um ângulo de 125º, então, temos que: α + 125º = 180º α = 180º – 125º α = 55º Como α e ꞵ são complementares, então temos que: α + ꞵ = 90º 55º + ꞵ = 90º ꞵ = 90º – 55º ꞵ = 35º
- 13. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Analisando a imagem seguinte, podemos afirmar que o valor de x + y é A) 15º B) 11º C) 10º D) 21º E) 24º
- 14. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Analisando a imagem seguinte, podemos afirmar que o valor de x + y é A) 15º B) 11º C) 10º D) 21º E) 24º Na imagem os ângulos em rosa são opostos pelo vértice, logo, o ângulo GÊF é congruente ao ângulo HÊI. Então, temos que: 3x – 5 = 2x + 5 3x – 2x = 5 + 5 x = 10 Sendo x = 10, vamos encontrar o valor de y nos ângulos FÊI e GÊH, que são congruentes. 15y – x = 18x – 25 15y – 10 = 18 · 10 – 25 15y = 180 – 25 + 10 15y = 165 y = 11 x + y = 10 + 11 = 21
- 15. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Sabendo que o seguimento AD é bissetriz do ângulo BÂC, então, o valor desse ângulo BÂC é: A) 25º B) 35º C) 50º D) 70º E) 75º
- 16. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Paulo é um estudante curioso e observador. Ele estava analisando o movimento dos ponteiros de um relógio analógico e ficou intrigado com os ângulos formados entre eles em diferentes horários. Paulo percebeu que ao longo do dia, os ponteiros do relógio se movem e formam ângulos distintos, indicando diferentes horas. Ele decidiu investigar esses ângulos para aprimorar seus conhecimentos matemáticos. Qual é o ângulo formado pelos ponteiros do relógio quando ele marca 6 h e 30 min?
- 17. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Paulo é um estudante curioso e observador. Ele estava analisando o movimento dos ponteiros de um relógio analógico e ficou intrigado com os ângulos formados entre eles em diferentes horários. Paulo percebeu que ao longo do dia, os ponteiros do relógio se movem e formam ângulos distintos, indicando diferentes horas. Ele decidiu investigar esses ângulos para aprimorar seus conhecimentos matemáticos. Qual é o ângulo formado pelos ponteiros do relógio quando ele marca 6 h e 30 min? Um relógio de ponteiros possui marcações a cada 5 min, dividindo uma circunferência em 12 partes iguais. Como uma circunferência possui 360°, cada parte de 5 min possui: 360° / 12 = 30° Às 6 h e 30 min, o ponteiro dos minutos está exatamente no meio da circunferência. Enquanto este ponteiro percorreu a metade da circunferência a partir das 6 h, o ponteiro das horas também se moveu. Em meia hora, ou trinta minutos, o ponteiro das horas percorreu a metade do caminho entre 6h e 7h. Como a passagem entre às 6h e 7h possui 30° e, o ponteiro das horas está na metade deste percurso, o ângulo entre eles é de 15°.
- 18. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º, em um quadrilátero em específico, a medida dos seus ângulos internos é proporcional aos números 3, 5, 6, 10. O valor do menor ângulo é: A) 15º B) 25º C) 45º D) 60º E) 75º
- 19. GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS Sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º, em um quadrilátero em específico, a medida dos seus ângulos internos é proporcional aos números 3, 5, 6, 10. O valor do menor ângulo é: A) 15º B) 25º C) 45º D) 60º E) 75º Seja a, b, c e d as medidas de cada um dos ângulos, então temos que: a/3 = k → a = 3k b/5 = k → b = 5k c/6 = k → c = 6k d/10 = k → d = 10k Sabemos que a soma é igual 360º, então temos que: 3k + 5k + 6k + 10k = 360º 24k = 360º k = 360º / 24 k = 15 Queremos o menor ângulo, que, no caso, é o ângulo a, pois: a = 3k a = 3 · 15 = 45
- 20. GEOMETRIA PLANA RETAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DE TRIÂNGULOS TRIÂNGULOS NOTÁVEIS PROF º MARCOS
- 21. Retas paralelas são aquelas que não se interceptam em nenhum ponto. Uma reta é transversal à outra se ambas apresentam apenas um ponto em comum. Ao traçarmos duas retas r e s, tal que r // s (“r é paralela a s”), e também uma reta transversal t que intercepte r e s, haverá a formação de oito ângulos. Na imagem a seguir, identificamos esses ângulos por a, b, c, d, e, f, g, h.
- 22. Podemos classificar os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal de acordo com a posição desses ângulos. Se eles estiverem entre as retas paralelas, dizemos que esses ângulos são internos; caso contrário, dizemos que eles são externos. Na figura a seguir, os ângulos externos estão na faixa azul, enquanto os ângulos internos estão na faixa amarela. Ao analisarmos dois ângulos, eles podem estar do mesmo lado ou em lados alternados em relação à reta transversal. Se dois ângulos estão à direita ou ambos estão à esquerda da reta t, dizemos que esses ângulos são colaterais; mas se estão em lados alternados, um à direita, e o outro à esquerda, dizemos que esses ângulos são alternos.
- 23. Alternos Internos: Alternos Externos: Colaterais internos: Colaterais externos:
- 24. EM RESUMO: • Ângulos correspondentes são congruentes. (OPV) • Ângulos colaterais são suplementares. • Ângulos alternos internos ou alternos externos também são congruentes.
- 25. EXERCÍCIOS (UFES) Uma transversal intercepta duas paralelas formando ângulos alternos internos expressos em graus por (5x + 8) e (7x – 12). A soma das medidas desses ângulos é: a) 40° b) 58° c) 80° d) 116° e) 150°
- 26. EXERCÍCIOS (UFES) Uma transversal intercepta duas paralelas formando ângulos alternos internos expressos em graus por (5x + 8) e (7x – 12). A soma das medidas desses ângulos é: a) 40° b) 58° c) 80° d) 116° e) 150° Se os ângulos (5x + 8) e (7x – 12) são alternos internos, podemos afirmar que suas medidas são iguais. Sendo assim: 7x – 12 = 5x + 8 7x – 5x = 8 + 12 2x = 20 x = 20 2 x = 10 As medidas dos ângulos são: 5x + 8 = 5.10 + 8 = 50 + 8 = 58 7x – 12 = 7.10 – 12 = 70 – 12 = 58 A soma desses ângulos é 58 + 58 = 116, portanto, a alternativa correta é a letra d.
- 27. EXERCÍCIOS (FCC) Na figura abaixo tem-se r//s; t e u são transversais. O valor de x + y é: a) 100° b) 120° c) 130° d) 140° e) 150°
- 28. EXERCÍCIOS a) 100° b) 120° c) 130° d) 140° e) 150° (FCC) Na figura abaixo tem-se r//s; t e u são transversais. O valor de x + y é: Observe que o ângulo de 20° e o ângulo y, destacados em vermelho, podem ser classificados como alternos externos, pois estão em lados “alternados” à reta u e são “externos” às retas r e s, portanto, podemos afirmar que esses ângulos possuem a mesma medida, isto é, y = 20°. Podemos ainda afirmar que o ângulo x', destacado em verde, é correspondente ao ângulo x, sendo então de mesma medida (x = x'). Temos ainda também que os ângulos x' e 70° são suplementares, logo: x' + 70° = 180° x' = 180° – 70° x' = 110° x = 110° A soma x + y resulta em 130°, e a alternativa correta é a letra c.
- 29. EXERCÍCIOS
- 30. EXERCÍCIOS Primeiramente, podemos traçar uma reta paralela à reta r e a reta s e que corte o ângulo a ser calculado. Desse modo, vamos dividir esse ângulo em duas partes. Agora, com esses dois novos ângulos formados, podemos utilizar a propriedade dos ângulos alternos internos. Desse modo, o ângulo de cima é igual ao ângulo 1 e o ângulo de baixo é igual ao ângulo 2. Então, para determinar o ângulo 3, precisamos apenas somá- los: A3 = 45º + 55º = 100º Portanto, o ângulo 3 possui 100º.
- 31. CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO Para que possamos construir um triângulo com lados medindo a, b e c, é necessário que a medida de cada lado seja menor do que a soma das medidas dos outros dois lados. Com isso, temos que: Sempre que comparamos as medidas dos lados de um triângulo com as medidas de seus ângulos, observamos que: • lados de mesmas medidas estão opostos a ângulos de mesma medida; • o lado de maior medida de um triângulo está oposto ao ângulo de maior medida; • o lado de menor medida de um triângulo está oposto ao ângulo de menor medida.
- 32. TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO DE UM TRIÂNGULO Em todo triângulo, a medida do ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.
- 33. EXEMPLO Exemplo 1 Verifique se três segmentos com 4 cm, 7 cm e 12 cm podem formar um triângulo. Exemplo 2 Verifique se é possível formar um triângulo com segmentos de 5 cm, 9 cm e 10 cm.
- 34. EXEMPLO Exemplo 1 Verifique se três segmentos com 4 cm, 7 cm e 12 cm podem formar um triângulo. 4 < 7 + 12 (verdadeiro) 7 < 4 + 12 (verdadeiro) 12 < 4 + 7 (falso), pois 4 + 7 = 11 e 12 não é menor que 11. Exemplo 2 Verifique se é possível formar um triângulo com segmentos de 5 cm, 9 cm e 10 cm. •5 < 9 + 10 (veídadeiío) •9 < 5 + 10 (veídadeiío) •10 < 5 + 9 (veídadeiío) Desta foíma, é possível foímaí um tíiângulo com os segmentos 5 cm, 9 cm e 10 cm.
- 35. EXERCÍCIOS Dada a figura abaixo, encontre o valor do ângulo assinalado, sabendo que as retas r e s são paralelas.
- 36. EXERCÍCIOS Dada a figura abaixo, encontre o valor do ângulo assinalado, sabendo que as retas r e s são paralelas. x + 30 = 85 x = 55º
- 37. PRATICANDO
- 38. PRATICANDO