Sistemas de equações lineares

MELHOR GESTÃO MELHOR ENSINO
Rafael de Freitas Manço.
Gisele de Oliveira Martins
Conceição.

Conteúdos e temas: sistemas de equações; métodos
de resolução ( adição e substituição); representação
gráfica de uma equação linear com duas variáveis ;
análise das soluções de um sistema linear (algébrica
e gráfica).
Competências e habilidades: Traduzir um problema
para a linguagem algébrica na forma de um sistema;
resolver sistemas de equações por diferentes métodos,
representar uma equação com duas incógnitas no
plano cartesiano, interpretar graficamente a solução
de um sistema.

Objetivos: Que o aluno seja capaz de resolver problemas
envolvendo duas equações do 1º grau,de relacionar as
propriedades geométricas de figuras planas com o sistema
envolvido e interpretar a solução obtida ( algebricamente
e geometricamente).
Recursos materiais e tecnológicos: Utilização do software
Geogebra e do papel quadriculado para representar as
equações do sistema .
Justificativa:O aluno pode se deparar com situações
problemas cuja representação algébrica envolve mais de uma
equação do primeiro grau, a partir disso, é necessário uma
abordagem sobre o tema sistemas de equações lineares para
a resolução do problema em questão.

ATIVIDADE 1:Equações e incógnitas.
Considere o problema seguinte:
A soma das idades de João e Maria é 28 anos. Qual é a idade de
cada um deles?
• Nesse primeiro momento o aluno deverá escrever a expressão
algébrica que traduz o problema,sendo x a idade de João e y a
idade de Maria o problema pode ser escrito assim:
x+y=28
• Em seguida o professor pode sugerir aos alunos que construam
uma tabela com os valores possíveis para a idade de cada um
deles.

João (x) Maria (y)
1 27
2 26
3 25
4 24
5 23
6 22
7 21
8 20
9 19
10 18
11 17
12 16
13 15
14 14
João (x) Maria (y)
15 13
16 12
17 11
18 10
19 9
20 8
21 7
22 6
23 5
24 4
25 3
26 2
27 1
Os resultados possíveis

• Com a atividade anterior o aluno vai perceber que ,
considerando apenas as informações contidas no enunciado,o
problema apresenta mais de uma solução.
Em termos algébricos , uma equação pode ter mais de uma
solução dependendo do domínio, podem haver infinitas
soluções.
•Em seguida o professor pode fornecer mais uma informação
a respeito das idades de João e Maria, pedindo para que os
alunos escrevam a equação correspondente à nova
informação, delimitando assim o número de soluções.

2) Resolva o problema sabendo que João é 4 anos mais velho
que Maria.
O problema agora passa a ser expresso por duas equações , são
elas:
4
28
yx
yx
Observando a tabela, o único par que satisfaz a equação é o par
x= 16 e y=12.
João (x) Maria (y)
16 12
Isto deixa claro ao aluno que o sistema ( que nada mais é que
um conjunto de equações)assim formado possui solução única.

•Outras informações poderiam ser dadas a respeito das idades de
João e Maria, de modo que não exista um par de números inteiros
que satisfazem o sistema , como por exemplo a idade de Maria é o
dobro da idade de João (neste caso o sistema possui soluções não
inteiras).
Para chegar à solução do sistema neste caso, podemos recorrer a um
método de resolução chamado de “método da substituição”.
•O método da substituição consiste em isolar uma variável em uma
das equações e substituir o resultado na outra equação do sistema,
obtendo – se assim uma equação de primeiro grau, resolvido a
equação vamos obter o valor de uma das variáveis, a outra pode ser
encontrada por simples substituição.

ATIVIDADE 2: As balanças e o método da substituição.
Vamos começar propondo o seguinte problema:
Precisamos descobrir o “peso” de dois objetos e temos as
seguintes informações:
Os dois objetos “pesam” conjuntamente 2500 gramas.
Um dos objetos “pesa” 500 gramas a mais do que o outro.
Para resolver este problema, denotamos de x e y(os alunos
podem ficar livres na escolha das variáveis) o “ peso” de cada
objeto.

1º Passo: A primeira informação pode ser traduzida para linguagem
algébrica através da expressão x+y = 2500. Em seguida
representamos o problema como mostra a figura a seguir:
2º Passo: De maneira análoga, traduzimos para a linguagem
algébrica a segunda informação ( x=y+500) e representamos
conforme a figura:

3º Passo:Fazemos a substituição,trocando o objeto x pelo seu
equivalente ,y mais 500 gramas. Em seguida, tiramos 500 gramas de
cada lado mantendo a equivalência.
Em linguagem algébrica, (y+500) +y = 2500 ou y+y-500 = 2500 - 500

4º Passo: Se dois objetos y “pesam” 2000 gramas, um objeto y
“pesará” 1000 gramas.
Em linguagem algébrica, 2y = 2000, ou y = 1000.
Como o objeto x “pesa” o mesmo que o objeto y mais
500 gramas, então seu “peso” é de 1500 gramas.
•Consideremos ser extremamente relevante a representação do
problema por meio de figuras em conjunto com as expressões
algébricas para melhor compreensão dos alunos.

•O professor poderá propor outros problemas para
que os alunos se familiarizem com este método de
resolução.

Destacamos a importância da utilização do software Geogebra na
representação gráfica de sistemas de equações tendo como relevante
contribuição a possibilidade de discussão do número de soluções de um
sistema de equações Lineares sendo que:
•A representação gráfica de sistemas lineares tem como resultado um
conjunto de retas
•Se as retas se interceptam em um único ponto o sistema tem solução
única isto é, é um sistema possível e determinado;
•Se as retas são paralelas, isto é , não há ponto de intersecção entre elas
, o sistema é impossível;
•Se as retas são coincidentes, há infinitas soluções para o sistema.

Abaixo está a representação gráfica do problema 22
discutido em sala:

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