Trigonometria
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Este documento apresenta conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo o teorema fundamental da trigonometria, relações trigonométricas no triângulo retângulo, gráficos das funções trigonométricas e aplicações da trigonometria.
Trigonometria
- 1. Teorema Fundamental da Trigonometria 1cossen 22 =θ+θ
- 2. Demonstração ... )θ 1 cos sen 1 -1 -1 0 sen θ cos θ θ ·
- 4. Continuação... )θ sen θ cos θ 1 Utilizando o teorema de Pitágoras h2 = c2 + c2 , temos : 1cossen 22 =θ+θ C M P Q D
- 5. Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo )θ Cateto Adjacente CatetoOposto Hipotenusa
- 6. Continuação ... Cotangente de θ Secante de θ Cossecante de θ Tangente de θ Cosseno de θ Seno de θ Relação no Triângulo Retângulo Ente Trigonométrico HI CO sen =θ HI CA cos =θ CO HI sen 1 seccos = θ =θ CA CO tg =θ CA HI cos 1 sec = θ =θ CO CA tg 1 gcot = θ =θ
- 7. Na Circunferência Trigonométrica )θ cos sen 0 sen θ cos θ · tg tg θ
- 8. Continuação ... )θ 0 · cotgcotg θ secante θ cossec θ
- 9. Arcos Notáveis 30°150° 210° 330° 45°135° 225° 315° 60°120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360°
- 10. arco 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° rad 0 6 π 4 π 3 π 2 π π 3 2π π2 seno 0 2 1 2 2 2 3 1 0 - 1 0 cosseno 1 2 3 2 2 2 1 0 - 1 0 1 tangente θ θ cos sen 0 3 3 1 3 - - - 0 - - - 0 Tabela de Entes Trigonométricos
- 11. Vamos pensar . . .
- 12. Que tal fazermos um teste para verificação do que foi apresentado? Observem a figura ao lado 1) Em relação ao ângulo α, podemos dizer que o sen α vale: a) b/c b) a/c c) c/b d) c/a e) a/b c b hip .o.c sen ==α
- 13. 2) Em relação ao ângulo α, podemos dizer que o cos α vale: a) b/c b) a/c c) c/b d) c/a e) a/b c a hip .a.c cos ==α
- 14. 3) Em relação ao ângulo α, podemos dizer que a tg α vale: a) b/a b) b/c c) c/b d) a/b e) a/c a b .a.c .o.c tg ==α
- 15. 4) Em relação ao ângulo α, podemos dizer que a cotg α vale: a) b/a b) b/c c) c/b d) a/b e) a/c b a .o.c .a.c gcot ==α
- 16. 5) Em relação ao ângulo α, podemos dizer que tg α .cotg α vale: a) 1/a b) 1/c c) 1/b d) 0 e) 1 1 .o.c .a.c . .a.c .o.c gcot.tg = αα
- 17. 6) Se a = 3b, podemos dizer então, que sen2 α + cos2 α vale: a) b2 / a2 b) 9c2 / b2 c) 0 d) 1 e) (c2 + b2 ) / 9a2 Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos que: sen2 θ + cos2 θ = 1 portanto,
- 18. 7) Em relação ao ângulo α, podemos dizer que sec2 α - 1 vale: a) tg2 α b) cotg2 α c) - 1 d) 0 e) 1 ( ) α =α⇒ α =α α =α 2 2 2 2 cos 1 sec cos 1 sec olog, cos 1 sec α=−α⇒ α α = α α− ⇒− α ⇒−α 22 2 2 2 2 2 2 tg1sec cos sen cos cos1 1 cos 1 1sec ( ) α α =α⇒ α α =α α α =α 2 2 2 2 2 cos sen tg cos sen tg olog, cos sen tg α−=α =α+α 22 22 cos1sen 1cossen α=−α 22 tg1sec
- 19. 8) Em relação ao ângulo α, podemos dizer que cossec2 α - 1 vale: a) tg2 α b) cotg2 α c) - 1 d) 0 e) 1 ( ) α =α⇒ α =α α =α 2 2 2 2 sen 1 seccos sen 1 seccos olog, sen 1 seccos α=−α⇒ α α = α α− ⇒− α ⇒−α 22 2 2 2 2 2 2 gcot1seccos sen cos sen sen1 1 sen 1 1seccos ( ) α α =α⇒ α α =α α α =α 2 2 2 2 2 sen cos gcot sen cos gcot olog, sen cos gcot α−=α =α+α 22 22 sen1cos 1cossen α=−α 22 gcot1seccos
- 20. 9) Se sen α = b/c, então, calculando o valor de chegaremos a: a) a/c b) b/c c) a/b d) b/a e) 1 α +α α− α α = α +α−α= cos 1cos .)cos1(. sen cos y cos 1 1.)cos1(.gcoty α−=α =α+α 22 22 cos1sen 1cossen α +α−α= cos 1 1.)cos1(.gcoty ( ) )coscos1(cos. sen 1 y 1cos.)cos1(. sen 1 y 2 α−α−+α α = +αα− α = )cos1(. sen 1 y 2 α− α = α α = 2 sen. sen 1 y c b y seny = α=
- 21. Voltando para a parte teórica...
- 22. Lei dos Senos Seja um triângulo ABC qualquer temos : ∧∧∧ == Csen c Bsen b Asen a ) ( ^ A ^ C ^ B A B C a c b
- 23. Lei dos Cossenos Seja um triângulo ABC qualquer temos : ∧ ∧ ∧ −+= −+= −+= Ccosba2bac ouBcosca2cab ouAcoscb2cba 222 222 222 ) ( ^ A ^ C ^ B A B C a c b
- 24. Continuação ... Curiosidade : Quando um dos ângulos do triângulo é reto, por exemplo, Â= 90°, temos : °−+= 90coscb2cba 222 Sabe-se que cos 90° = 0, logo ... 0cb2cba 222 −+= Temos, portanto ... 222 cba += Teorema de Pitágoras
- 25. Gráficos das funções trigonométricas sen x y x • • • • • • • • • •0° 540° 720°450° 630° 360° 270° 180° -180° -90° • 90° 1 -1
- 26. Continuação ... cos x y x• • • • • • • • • • • 0° 540° 720°450° 630°360°270° 180°-180° -90° 90° 1 -1
- 27. Continuação ... tg x y x• • ••• • • • •0° 360° -90° 90° 180° 270° 450° 540° 630°
- 28. Continuação ... y x • • • • • • • • • •0° 540° 720°450° 630° 360° 270° 180° -180° -90° • 90° 1 -1 cossec x
- 29. Continuação ... • • • • • • • • • • • 0° 540° 720°450° 630°360°270° 180°-180° -90° 90° sec x y x 1 -1
- 30. Continuação ... cotg x y x • • ••• • • • •0° 360° 90° 180° 270° 450° 540° 630° 720°
- 31. TRIGONOMETRIA APLICADA • Modelo matemático que indica ao número de horas do dia, com luz solar, de uma determinada cidade norte americana, “t” dias após 1º de janeiro. − π += )80t( 365 2 sen8,212)t(L Fonte : J.Stewart – Cálculo vol. I – Pág. 34
- 32. Continuação ... dt 2 t sen)x(S x 0 2 ∫ π = Fonte : J.Stewart – Cálculo vol. I – Pág. 394 •Função de Fresnel, assim chamada em homenagem ao físico francês Augustin Fresnel (1788-1827), famoso por seus trabalhos em ótica. Esta função foi primeiramente apresentada num trabalho sobre difração de ondas de luz de Fresnel, porém recentemente foi aplicado no planejamento de auto-estradas.
- 33. Continuação ... • Integração por Substituição trigonométrica Caso Radical Substit. Trigonométrica Transformada Trigonometria no Triângulo Retângulo I 222 .uba − θsen. b a u = θθ cos.sen1. 2 aa =− CA CO tg =θ II 222 .uba + θtg b a u .= θθ sec.1. 2 atga =+ HI CA =θcos III 222 . aub − θsec. b a u = θθ tgaa .1sec. 2 =− HI CO =θsen Demonstrando o Caso I ... =−=−=−= −=− )sen1.(sensen.sen. 222222 2 2 22 2 22222 θθθθ aaa b a ba b a bauba ==−= θθ 22 cossen1. aa θcos.a C M P Q D
- 35. Parte Prática O exemplo clássico da Sombra Para que possamos medir (aproximadamente) a altura de um prédio, sem a necessidade de subir ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados, seria necessário somente 2 elementos. São eles: uma distância um ângulo Observe a seguir . . .
- 36. hd.tg d h tg .a.c .o.c tg =α =α⇒=α temos que: portanto: α= tg.dh Conhecendo a distância d que vale 50 metros e o ângulo α que vale 30°, podemos dizer então que: metros8675,28h 95773502691,0.50h 30tg.50h tg.dh = = °= α=
- 37. Exemplo 1 A inclinação de uma rampa
- 38. Uma rampa com inclinação constante, (como a que existe em Brasília) tem 6 metros de altura na sua parte mais elevada. Um engenheiro começou a subir, e nota que após ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será que este engenheiro somente com esses dados e uma calculadora científica conseguiria determinar o comprimento total dessa rampa e sua inclinação em relação ao solo?
- 39. Como poderíamos resolver essa situação? Como sugestão, faremos um “desenho” do que representa essa situação. Observemos: 6 metros 16,4 metros 2 metros θ Comprimento total da rampa solo
- 40. 6 metros 16,4 metros 2 metros θ Observemos o triângulo retângulo em destaque . . . θ 2 metros 16,4 metros hip c.o. c.a. Temos em relação ao ângulo θ: hip = 16,4 metros c.o. = 2 metros
- 41. θ 2 metros 16,4 metros hip c.o. c.a. Como: hip = 16,4 metros c.o. = 2 metros 121219512195,0 4,16 2 hip .o.c sen ===θ Obs.: quando dizemos que arcsen α = 1/2 , podemos transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco, cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que α = 30°.
- 42. Em nosso exercício, chegamos a conclusão que: sen θ = 0,121951219512, logo podemos encontrar o ângulo θ, com o auxílio da calculadora que normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1 , então, devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de sua calculadora. Se o processo foi realizado corretamente, deverá ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos considerar como aproximadamente 7°. Encontramos assim, a inclinação da rampa!
- 43. 2,49 121219512195,0 6 7sen 6 sen o.c hip sen o.c hip.o.chip.sen hip .o.c sen == ° = θ = θ =⇒=θ⇒=θ 6 metros θ = 7° θ 2 metros 16,4 metros hip c.o. c.a. Notamos que os triângulos abaixo são semelhantes, portanto, podemos dizer que θ é válido para ambos Como: Chegamos a conclusão que o comprimento total da rampa é 49,2 metros
- 44. Exemplo 2 Mecânica Geral ou Trigonometria?
- 45. Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência no estudo da Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros assuntos. Observemos os exemplos a seguir: Em relação ao sistema de forças representado na figura, onde F1 = 20N, F2 = 100N, F3 = 40N e F4 = 10N, você seria capaz de determinar a intensidade da resultante do sistema e o ângulo que essa resultante forma com o eixo das abscissas (x)?
- 46. Em primeiro lugar, teremos que fazer as projeções de 2F → nos eixos das abscissas e das ordenadas, obtendo assim, respectivamente os componentes )x(2F → e )y(2F → . Analogamente, encontraremos as projeções de 3F → , encontrando os componentes )x(3F → e )y(3F → .
- 47. A resultante relativa ao eixo das abscissas → )x(R é obtida da seguinte maneira: )x(31)x(2)x( FFFR →→→→ −+= °=⇔=°==°⇒=α °=⇔=°==°⇒=α 60cos.FFFF.60cos F F 60cos. hip a.c cos 45cos.FFFF.45cos F F 45cos. hip a.c cos Como 3)x(3)x(33 3 )x(3 2)x(2)x(22 2 )x(2 =⇒=°= =⇒=°= N20F5,0.4060cos.FF N70F70,0.10045cos.FF totanPor )x(33)x(3 )x(22)x(2 )x(31)x(2)x( FFFR →→→→ −+= N70R 202070R )x( )x( = −+= → →
- 48. A resultante relativa ao eixo das abscissas → )y(R é obtida da seguinte maneira: )y(34)y(2)y( FFFR →→→→ −−= °=⇔=°==°⇒=α °=⇔=°==°⇒=α 60sen.FFFF.60sen F F 60sen. hip o.c sen 45sen.FFFF.45sen F F 45sen. hip o.c sen Como 3)y(3)y(33 3 )y(3 2)y(2)y(22 2 )y(2 =⇒=°= =⇒=°= N4,34F86,0.4060sen.FF N70F70,0.10045sen.FF totanPor )y(23)y(3 )y(22)y(2 )y(34)y(2)y( FFFR →→→→ −−= N6,25R 4,341070R )y( )y( = −−= → →
- 49. Colocando )x(R → e )y(R → , nos eixos das abscissas e das ordenadas, respectivamente, Percebemos que a figura formada pelas forças é um triângulo retângulo, em que sua hipotenusa é a Força Resultante → R , )x(R → é o cateto adjacente a αe )y(R → o cateto oposto a α, então, vale o teorema de Pitágoras para calcularmos o valor de → R .
- 50. ( ) ( ) N53,74R 36,5555R 36,5555R 36,6554900R 6,2570R RRR cch 2 2 22 2 2 )y( 2 )x( 2 222 = = = += += + = += → → → → → →→→
- 51. Para o cálculo do ângulo α, temos: 3657,0 70 6,25 R R .a.c .o.c tg )x( )y( ====α → → 3657,0tg =α Esse é o valor da tangente do ângulo α. Para calcularmos o valor do ângulo α, temos que encontrar o arctg α, então: °≅α =α=α 20 3657,0arctgarctg Concluímos então que a Resultante N53,74R= → e forma um ângulo °≅α 20 com o eixo x.
- 52. Desafio !
- 53. Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a largura do tronco) Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )7,13 =
- 54. Solução: Resumidamente, temos o triângulo ao lado que representa nosso desafio. )II(y.3h y.60tghhy.60tg y h .a.c .o.c 60tg )I()y20(. 3 3 h )y20(.30tghh)y20(.30tg )y20( h .a.c .o.c 30tg = °=⇒=°⇒==° += +°=⇒=+°⇒ + ==°
- 55. metros10y y220yy320y.3)y20( y.3.3)y20(.3y.3)y20(. 3 3 y.3h)II()y20(. 3 3 h)I( =⇒ =⇒−=⇒=+⇒ =+⇒=+ =+= Igualando o h das equações ( I ) e (II) Como metros17h 10.7,1h y.3h = = =
- 56. 30 metros 17 metros para subir a árvore 17 metros para descer da árvore Agora com o valor das medidas temos condição de determinar quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe: De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros segundos20eutosmin5touutosmin333,5t 60 segundos320 tsegundos320 2,0 64 t V s tst.V t s V =∆=∆ ⇒=∆⇒==∆ ∆ =∆⇒∆=∆⇒ ∆ ∆ = v = 0,2 m/s