colmap相机坐标系问题

### Colmap 中相机坐标系解决方案 在计算机视觉领域，特别是三维重建工具如Colmap中，理解并处理不同坐标系间的转换至关重要。对于从世界坐标系到图像坐标系的转换过程，通常会经过两个主要步骤：首先是将顶点的世界坐标\(P_w\)转换至相机坐标系下的表示；其次是进一步投影此坐标至最终的图像平面坐标\(P_{uv}\)[^1]。 #### 3.1 世界坐标系 -> 相机坐标系 为了完成这一转变，在已知相机于世界空间内的确切位置与方向前提下，需应用刚体变换矩阵\[T_{cw}= \begin{bmatrix} R & t\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]其中\(R\)代表旋转部分而\(t\)则对应平移向量。给定任意一点的位置矢量\(P_w=[X,Y,Z,1]^T\)，可通过乘以此变换矩阵得到相应的新坐标： ```python import numpy as np def world_to_camera(Pw, Rc, tc): """ Convert point from world coordinates to camera coordinates. Parameters: Pw : array_like Point in world coordinate system [X, Y, Z]. Rc : ndarray Rotation matrix of the camera relative to the world frame. tc : array_like Translation vector of the camera center in world coordinates. Returns: Pc : ndarray Transformed point in camera coordinate system. """ Tcw = np.hstack((Rc, tc.reshape(-1, 1))) Tcw = np.vstack((Tcw, [0, 0, 0, 1])) Pw_homogeneous = np.append(Pw, 1).reshape(4, 1) Pc_homogeneous = Tcw @ Pw_homogeneous return Pc_homogeneous[:3].flatten() ``` 上述函数实现了由世界坐标系到相机坐标系的具体操作。 #### 图像坐标的获取 一旦获得了某点相对于相机的坐标后，下一步便是将其映射成二维图像上的具体像素位置。这一步骤涉及到内参矩阵的应用——即包含了焦距以及主点偏移等因素在内的参数集合K: \[ K=\left[\begin{array}{ccc} f_x & s & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\] 这里\(f_x,f_y\)分别是沿x轴和y轴方向的有效焦距长度，\(s\)为斜率项（理想情况下应接近零），而\(c_x,c_y\)定义了光学中心所在之处。通过下面的方式可以实现这种映射关系： ```python def project_point(K, Pc): """ Project a point from camera coordinates into image plane coordinates. Parameters: K : ndarray Camera intrinsic parameter matrix. Pc : array_like Point in camera coordinate system [X', Y', Z']. Returns: Pu : tuple Pixel location on the image plane (u,v). """ uv_homogeneous = K @ Pc u = uv_homogeneous[0]/uv_homogeneous[2] v = uv_homogeneous[1]/uv_homogeneous[2] return int(u), int(v) ``` 综上所述，整个流程涵盖了从实际物理环境中的物体定位直至数字化影像表达的关键环节，这对于诸如SLAM(Simultaneous Localization And Mapping)或是多视角几何分析等领域来说都是不可或缺的基础技术之一。