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高斯变量互补误差函数

时间: 2025-01-18 08:43:36 浏览: 76

### 高斯变量的互补误差函数 #### 数学定义互补误差函数 $ \text{erfc}(x) $ 定义为： \[ \text{erfc}(x) = 1 - \text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^\infty e^{-t^2} \, dt \] 这里，$ \text{erf}(x) $ 是误差函数，表示正态分布下的累积概率密度的一部分[^3]。 #### 性质互补误差函数具有一些重要的性质： - 对称性：对于任意实数 $ x $，有 $ \text{erfc}(-x) = 2 - \text{erfc}(x) $。 - 极限行为：当 $ x \to \infty $，$ \text{erfc}(x) \to 0 $; 当 $ x \to -\infty $，$ \text{erfc}(x) \to 2 $。这些特性使得该函数在处理涉及高斯噪声或信号检测等问题时非常有用。 #### 应用实例在一个实际应用中，假设有一个通信系统受到加性白高斯噪声 (AWGN) 的影响。接收端接收到的信号可以建模为: \[ y = s + n \] 其中 $ s $ 是发送信号而 $ n \sim N(0,\sigma^2) $ 表示零均值方差为 $ \sigma^2 $ 的高斯随机变量。为了计算误码率 (BER)，需要用到互补误差函数来评估错误发生的概率。具体来说，在二元相移键控(BPSK)调制下，平均比特误码率为： ```python import math def ber_bpsk(eb_n0_db): """ 计算BPSK调制方式下的理论误码率 """ eb_n0_lin = 10 ** (eb_n0_db / 10.0) return 0.5 * math.erfc(math.sqrt(eb_n0_lin)) ``` 这段Python代码展示了如何利用 `math` 模块中的 `erfc()` 函数实现 BPSK 调制系统的 BER 计算[^4]。

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