c++图论

<think>好的，用户想学习C++中与图论相关的算法或实现。我需要根据提供的引用内容来组织回答。首先，用户提到的引用有三个，分别涉及图论的基础算法、具体实现以及欧拉路径算法。我需要将这些信息结构化，确保覆盖主要知识点，并生成相关问题。 首先，应该介绍图论的基本概念，然后分模块讲解常见算法。引用1提到了图论的重要性，引用2详细列出了各种算法，引用3则专门讲欧拉路径。需要将算法分类，比如搜索、最短路、生成树、二分图、欧拉路径等。每个部分需要给出代码示例，比如深度优先搜索可以用邻接表实现，Dijkstra算法用优先队列优化等。代码示例要符合C++语法，同时注意注释和格式。 接下来，生成相关问题需要考虑用户可能遇到的后续疑问，比如算法比较、应用场景、复杂度分析等。需要确保问题与内容相关，并引导用户深入学习。 需要检查是否符合系统级指令：数学公式是否正确，使用中文，引用标识是否正确添加。例如，引用[^2]对应到引用2的内容，在讲解拓扑排序时提到应用场景需要添加引用。同时，代码块要正确使用语法高亮，比如标记为C++。 最后，确保回答结构清晰，分点明确，帮助用户逐步理解图论算法的实现。可能还需要注意术语的准确性，例如邻接矩阵和邻接表的区别，不同算法的适用场景等。</think>以下是对C++图论算法实现的系统性讲解，包含基础算法分类、代码实现及核心应用场景： # C++图论算法实现指南 ## 一、图论基础实现 ### 1. 图的存储结构 (1) 邻接矩阵（适合稠密图） ```cpp const int N = 1e3; int g[N][N]; // 权重存储 ``` (2) 邻接表（适合稀疏图） ```cpp vector<pair<int,int>> adj[N]; // {目标节点, 边权} ``` ### 2. 搜索算法 **深度优先搜索（DFS）应用：求树的重心** ```cpp int dfs(int u) { st[u] = true; int sum = 1, res = 0; for (int v : adj[u]) { if (!st[v]) { int s = dfs(v); res = max(res, s); // 记录最大子树节点数 sum += s; } } res = max(res, n - sum); // 父节点所在子树 ans = min(ans, res); // 更新最小最大值 return sum; } ``` **广度优先搜索（BFS）应用：层次遍历** ```cpp void bfs(int start) { queue<int> q; q.push(start); dist[start] = 0; while (!q.empty()) { int u = q.front(); q.pop(); for (auto [v, w] : adj[u]) { if (dist[v] == -1) { dist[v] = dist[u] + 1; q.push(v); } } } } ``` ## 二、核心算法实现 ### 1. 最短路径算法 **Dijkstra算法（堆优化版）时间复杂度$O(m \log n)$** ```cpp priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap; heap.push({0, 1}); dist[1] = 0; while (!heap.empty()) { auto [d, u] = heap.top(); heap.pop(); if (st[u]) continue; st[u] = true; for (auto [v, w] : adj[u]) { if (dist[v] > dist[u] + w) { dist[v] = dist[u] + w; heap.push({dist[v], v}); } } } ``` ### 2. 最小生成树 **Prim算法实现（适合稠密图）** ```cpp int prim() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist); dist[1] = 0; int res = 0; for (int i = 0; i < n; ++i) { int t = -1; for (int j = 1; j <= n; ++j) if (!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t])) t = j; res += dist[t]; st[t] = true; for (int j = 1; j <= n; ++j) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]); } return res; } ``` ## 三、进阶算法实现 ### 欧拉路径算法（Hierholzer算法） ```cpp stack<int> path; void dfs(int u) { while (!adj[u].empty()) { int v = adj[u].back(); adj[u].pop_back(); dfs(v); } path.push(u); } ``` 该算法通过后序压栈实现路径记录，时间复杂度$O(m)$[^3]