北邮概率论与随机过程期末试题及答案解析

"北邮2015-2016年 概率论与随机过程试题" 本试题涉及概率论与随机过程的核心概念，涵盖了多个关键知识点，包括随机过程的性质、统计分布、随机变量的关系、马尔可夫链、泊松过程、维纳过程、平稳过程以及相关函数和功率谱密度的计算。以下是对这些知识点的详细阐述： 1. 互不相关与相互独立：随机过程的互不相关意味着它们的任意线性组合的均值乘积等于各自均值的乘积，而相互独立则进一步要求它们的联合概率密度等于各自概率密度的乘积。 2. 分布函数与标准正态分布：题目中的分布函数F涉及复合分布，即通过已知的分布函数得到新随机变量的分布。 3. 指数分布：指数分布是描述随机事件发生间隔时间的经典分布，其均值和方差是参数的倒数。 4. 随机变量的联合概率密度与协方差：联合概率密度函数用于计算两个随机变量的联合概率，而COV(X, Z)表示随机变量X和Z的协方差。 5. 特征函数：特征函数是随机变量的概率分布的傅立叶变换，可以用来推导分布的一些性质。 6. 随机过程的分布密度函数：对于特定形式的随机过程，其分布密度函数可以通过基本的概率理论公式计算得出。 7. 均方可积随机过程：如果随机过程的平方可积，那么其平方的期望存在，相关函数与自相关函数有关。 8. 泊松过程：泊松过程是一种离散时间随机过程，其中事件的发生服从泊松分布，且事件之间是独立的。 9. 功率谱密度与自相关函数：平稳过程的功率谱密度与自相关函数之间存在傅立叶变换关系，自相关函数描述了随机过程在不同时间点的关联程度。 10. 维纳过程：维纳过程是布朗运动的一种形式，其具有连续路径、零均值、无记忆和增量的高斯分布等特性。 11. 齐次马尔可夫链：马尔可夫链的一步转移概率矩阵定义了状态之间的转移概率，当时间增加时，其绝对分布保持不变。 12. 连续时间马尔可夫链：Q矩阵表示状态间跳跃的速率，平稳分布是指长期状态下系统稳定占据的状态比例。 13. 均值函数：随机过程的均值函数给出了过程在每个时间点的期望值。 试题还涉及了协方差矩阵的计算、二维概率密度函数的求解、泊松过程的分布律、马尔可夫链的空间分解和平稳分布、平稳过程的判断及其功率谱密度的计算，以及有限马尔可夫链的性质等实际应用问题。解决这些问题需要深入理解概率论与随机过程的基本原理和计算方法。同时，考试注意事项强调了学术诚信和考试纪律的重要性。