通識報告
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本文探讨计算机运算速度的背景，特别是代数与几何结合的应用。通过最大平均值问题和平方根计算的实例，论证了计算方法的演变与效率。文章中还提到了一些数学家的惊人计算能力及相关算法的发展。
![舉個例子 – 最大平均值問題
找一段長度至少 L，平均價值最高的。
好比一張淋濕的紙，找一段質量最好剪下來
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![一頁思路解決它、加快它
• 平面上一點 (x, y)
x
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• 找斜率最大的一條線
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《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》
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通識報告
- 1. 計算機大小事 - 通識報告 文化脈絡中的數學 資工 3B 楊翔雲
- 2. 為什麼講這個主題 ? • 計算機很快，但是為什麼會快 ? • 身為資工系
- 3. 從這裡下手 作業曾經要我們查查 “Grace Hopper“ 也許又因為 12/09 Google 搜尋頁上的 COBOL 單教授做的網頁
- 4. 數形結合、數形變換 ? • 用一個幾何的方法去解決一個代數問題 • 那令人痛恨的高中數學，又有多少是這種 • 真的有說的那麼簡單嗎 ?
- 6. 舉個例子 – 最大平均值問題 找一段長度至少 L，平均價值最高的。 好比一張淋濕的紙，找一段質量最好剪下來 j x [i ] f ( x [], n ) max( ), 0 k i j i 1 i j n
- 7. 這問題並不難啊 • 任抓一個區間計算不就得了！ C(n, 2) = O(n2) • 但是不夠快
- 8. 一頁思路解決它、加快它 • 平面上一點 (x, y) x y Z i i y x[k ] k 0 • 找斜率最大的一條線 A 《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》 x j x [i ] f ( x [], n ) max( ), 0 k i j i 1 i j n
- 9. 有多快 ? • O(n) • 好比看完題目的時間，答案就算出來了。 • 能這樣考試有多好辦事
- 11. 根號 √ • √n 如何計算其值 ? • 國中數學 - 十分逼近法、二分逼近法 • 直式開平方法 (中國直式開方法)
- 12. 直式開平方法 (一閃而過) 951*951=904401 口->9 + 口->9 ----18口->5 + 口->5 -----190口->1 + 口->1 --------1902 9, 5, 1 ---------|90,44,01 81 -------9,44,01 9,25 ------19,01 19,01 -----0
- 13. 大學時期 牛頓迭代法 xn 1 xn f ( xn ) f ' ( xn )
- 15. 《一個sqrt函數引發的血案》 • 有人提出 1/√n 比 √n 更好算 • 只差一個倒數，倒回來不是更痛苦！ 怎麼可能比較好算。
- 16. 《一個sqrt函數引發的血案》 float InvSqrt(float x) { float xhalf = 0.5f*x; int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0 x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy } return 1/x; • 0x5f375a86 常數打哪來 ? 圖片來源 - 西乔的九卦
- 17. 《一個sqrt函數引發的血案》 • 令數學家也匪夷所思的常數計算 • 找不到程式碼原作者，外星人 ? 圖片來源 - 西乔的九卦
- 18. 外星人程序 • 非常精簡 • 摸不著頭緒的流程 • 莫名其妙，中間夾雜了奇怪的不明物 • extra.外星人计算PI的程序精确到800位
- 19. 更殘酷的事實 • √n 平常根本用不到 • 2 個 n 位數字相乘，算是更和藹可親吧 ?
- 20. 看點最近發生過的事情 • 人腦計算機 (2013/11/04 Google Event) • 印度的數學家 Shakuntala Devi (1929-2013)
- 21. 看點最近發生過的事情 1980年(51 歲)，僅花28秒就正確算出兩 個13位數字相乘的答案 「7 686 369 774 870 X 2 465 099 745 779 =？」
- 22. 兩數相乘－直式乘法 兩個 n 位數字相乘 • 使用 n2 次的乘法。 • O(n2) 1234 x 5678 __________ 9872 8638_ 7404__ 6170___ __________ 7006652
- 23. 兩數相乘 - more 兩個 n 位數字相乘 • D&C (分而治之) • FFT (快速傅立葉) 1234 x 5678 __________ 9872 8638_ 7404__ 6170___ __________ 7006652 O(n1.59) O(n lg n lglgn) • O(n2) 有如 IE 望向 Chrome、FireFox 的感受
- 24. 仔細一看這份 ppt • 很多演算法 (Algorithm) 沒有時間說清楚 • Algorithm 從何時說起 ?
- 26. 補充 – 匹配問題 • n 個男生、n 個女生，互相匹配各有好感度 • 求整體好感度總和最大化。 • 賽局理論 ? • 在 Algorithm 中，還是悄悄地退出場好了。
- 27. 補充 – 電腦亂數問題 • 為什麼樂透 (Lotto) 還是要用滾筒 公布號碼呢 ? • 既然有規律，還要買電腦選號嗎 ? • 為什麼遊戲中裝備總是衝不到 +10 ? 其他人是怎麼辦到的 ?