Sistem bilangan cacah dan bulat Teobil
Download as DOC, PDF3 likes20,220 views
Dokumen ini menjelaskan tentang sistem bilangan cacah dan bulat, termasuk definisi, sifat-sifat penjumlahan, perkalian, pengurangan, dan pembagian. Beberapa sifat penting yang disebutkan adalah sifat komutatif, asosiatif, dan distributif dari operasi bilangan. Selain itu, juga dijelaskan tentang hubungan antara bilangan cacah dan bilangan bulat serta cara melakukan operasi pada bilangan negatif.
![Secara singkat definisi 3 dapat ditulis sebagai : jika b – n ( B ), k = n( K ) Dan B ∩
K = Ø, maka b + k = n( B U K ).
Contoh 1 :
Misalnya B = {p , a, r } dan K = {x, y, z, w} maka n(B) = 3 dan n(K) = 4 serta
B ∩ K = Ø
3 + 4 n ( B U K ) = n ({p, q, r, x, y, z, w}) = 7
Sifat 1
( Sifat komutatif penjumlahan )
Apabila b dan k bilangan cacah, maka b + k = k + b
Bukti:
Misalnya B dan K adlah dua himpunan sedemikian sehingga B ∩ K = Ø, b = n( B ) dan
k = n( K ).
B U K = K U B maka n (B U K) = n ( K U B ) = b + k dan n( K U B ) = k + b maka b +
k = k + b.
Sifat 2
(Sifat asosiatif penjumlahan)
Apabila b, k dan m adalah bilangan – bialngan cacah maka ( b + k ) =+ m = b + ( k +
m).
Defenisi 4
Apabila a, b, c, ddan e adalah bilangan – bilangan cacah, maka
1) a + b + c = ( a + b) + c
2) a + b + c + d = {( a + b ) + c } + d
3) a + b + c + d + e = [ { ( a + b ) + c} + d] + e
dan seterusnya.
Contoh 2
( contoh sifat komutatif umum )
2](https://image.slidesharecdn.com/sistembilangancacahdanbulat-150420224311-conversion-gate02/85/Sistem-bilangan-cacah-dan-bulat-Teobil-2-320.jpg)
![Apabila p dan q bilangan – bilangan cacah, maka pxq = q x p
Definisi 5 hanya mendefinisikan perkalian dua bilangan cacah, sehingga perkalian
3 bilangan cacah atau belum mempunyai arti. Untuk itu, berikut ini ddefinisikan
perkalian tiga bilangan cacah atau lebih.
Definisi 6
Apabila p, q, r, s dan t adalah bilangan – bilangan cacah, maka
(i) p x q x r = (p x q) r
(ii) px q x r x s = {( p x q ) x r}x s
(iii) p x q x r x sx t + [{( p x q ) x r} x s ] x t dan seterusnya.
Sifat 4
( Sifat asosiatif perkalian )
Apabila p, q, r bilangan – bilangan cacah, maka ( p x q ) x r = p (q x r ).
Sifat 5
( Sifat ditributif perkalian terhadap penjumlahan )
Apabila p, q dan r bilangan – bilangan cacah, maka p x (q + r) = (p x q) + ( p x r ).
4. Pengurangan dan Pembangian Bilangan – bilangan Cacah
Definisi 7
Jika a, b dan k bilangan cacah, maka a – b = k bila dan hanya a = b + k.
Ungkapan “bila dan hanya bila” dalam definisi 7 sebagai kata pebghubung “a-b =
k bila dan hanya bila a = b + k” berarti “jika a – b = k maka a = b + k dan bila a = b +
k ; maka a – b = k”
Pengurangan dapat pula didefinisikan dengan himpunan sebagai berikut.
4](https://image.slidesharecdn.com/sistembilangancacahdanbulat-150420224311-conversion-gate02/85/Sistem-bilangan-cacah-dan-bulat-Teobil-4-320.jpg)
Sistem bilangan cacah dan bulat Teobil
- 1. SISTEM BILANGAN CACAH 1. Kesamaan antara bilangan - bilangan Definisi 1 Dua bilangan a dan b dikatakan sama ( ditulis “a = b” ) bila dan hanya bila a dan b menyatakan nama – nama untuk suatu bilangan. Relasi “ = “ mempunyai sifat – sifat, yaitu : 1. Untuk setiap a, a = a ; (sifat refleksif) 2. Jika a = b ; maka b = a ; (sifat simetris) 3. Jika a = b ; dan b = c ; maka a = c ; (sifat transitif) Suatu relasi yang memiliki ketiga sifat ini disebut sebangai relasi ekivalensi. Jadi relasi “sama dengan” adalah relasi ekivalensi. 2. Penjumlahan bilangan – bilangan cacah Definisi 2 Suatu operasional biner pada himpunan S dinyatakan * mengawankan secara tunggal (tempat satu) setiap pasangan berurutan (a,b) anggota dari S x S dengan a * b. Definisi 2 ini menyatakan bahwa operasi biner didefinisikan sebagai fungsi dengan domain S x S. Apabila a * b anggota dalam S, untuk setiap a, b anggota – anggota S, maka dikatakan bahwa operasi biner tersebut bersifat tertutup. Selanjutnya kita akan mendefinisikan penjumlahan dua bilangan cacah. Definisi 3 Jika B dan K dua himpunan yang saling lepas (B ∩ K = Ø) sedemikian hingga b = n( B) dan K = n(K) dengan b dan k bilangan – bilangan cacah, maka operasi biner penjumlahan ( + ) mengawankan pasangan berurutan (b , k) dengan b + k yang merupakan bilangan cardinal dari B U K. 1
- 2. Secara singkat definisi 3 dapat ditulis sebagai : jika b – n ( B ), k = n( K ) Dan B ∩ K = Ø, maka b + k = n( B U K ). Contoh 1 : Misalnya B = {p , a, r } dan K = {x, y, z, w} maka n(B) = 3 dan n(K) = 4 serta B ∩ K = Ø 3 + 4 n ( B U K ) = n ({p, q, r, x, y, z, w}) = 7 Sifat 1 ( Sifat komutatif penjumlahan ) Apabila b dan k bilangan cacah, maka b + k = k + b Bukti: Misalnya B dan K adlah dua himpunan sedemikian sehingga B ∩ K = Ø, b = n( B ) dan k = n( K ). B U K = K U B maka n (B U K) = n ( K U B ) = b + k dan n( K U B ) = k + b maka b + k = k + b. Sifat 2 (Sifat asosiatif penjumlahan) Apabila b, k dan m adalah bilangan – bialngan cacah maka ( b + k ) =+ m = b + ( k + m). Defenisi 4 Apabila a, b, c, ddan e adalah bilangan – bilangan cacah, maka 1) a + b + c = ( a + b) + c 2) a + b + c + d = {( a + b ) + c } + d 3) a + b + c + d + e = [ { ( a + b ) + c} + d] + e dan seterusnya. Contoh 2 ( contoh sifat komutatif umum ) 2
- 3. Apabila a, b, c, d dan e adalah bilangan – bilangan cacah, Maka a + b + d + e = d + c + e + b + a Buktikan lah ! Bukti: a + b + c + d + e = sifat asosiatif umum penjumlahan ( a + b ) + ( c + d + e ) = sifat komutatif perjumlahan ( c + d + e ) + ( a + b ) = sifat komutatif penjumlahan ( d + c + e )+ ( b + a ) = sifat asosiatif umum penjumlahan 3. Perkalian Bilangan – Bilangan Cacah Definisi 5 Apabila p dan q bilangan – bilangan cacah sedemikian hingga p = n (P) dan q = n(Q), maka operasi biner dari perkalian p X q adalah n (P x Q). Seperti Dalam Pengantar Teori Himpunan, persilangan (hasil kali Cartesius) dua himpunan P dan Q didefinikan sebagai : P x Q = {( a, b ) | a € P dan b € Q} Pada definisi 5, p xq disebut hasil kali, p dan q masing – masing disebut hasil kali, p dan q masing – masing disebut factor. Apabila P sembarang himpunan dan Ø adalah himpunan kosong, maka P x Ø = Ø. Sehingga p x Ø = Ø, oleh karena itu, untuk setiap bilangan cacah dikalikan nol sama dengan nol. Ambil himpunan – himpunan P dan Q sedemikian n( P ) = p dan n(Q) = 1, maka p x 1 = n (P x Q ) = p. sehingga setiap bilangan cacah p, p x 1 = p dan 1 disebut elemen identitas perkalian. Mengingat bahwa P x Q ekivalen dengan (tidak sama dengan ) Q x P maka n( P x Q ) = n(Q x P). sehingga diturunkan sifat komutatif perkalian sebagai berikut : Sifat 3 ( Sifat komutatif perkalian ) 3
- 4. Apabila p dan q bilangan – bilangan cacah, maka pxq = q x p Definisi 5 hanya mendefinisikan perkalian dua bilangan cacah, sehingga perkalian 3 bilangan cacah atau belum mempunyai arti. Untuk itu, berikut ini ddefinisikan perkalian tiga bilangan cacah atau lebih. Definisi 6 Apabila p, q, r, s dan t adalah bilangan – bilangan cacah, maka (i) p x q x r = (p x q) r (ii) px q x r x s = {( p x q ) x r}x s (iii) p x q x r x sx t + [{( p x q ) x r} x s ] x t dan seterusnya. Sifat 4 ( Sifat asosiatif perkalian ) Apabila p, q, r bilangan – bilangan cacah, maka ( p x q ) x r = p (q x r ). Sifat 5 ( Sifat ditributif perkalian terhadap penjumlahan ) Apabila p, q dan r bilangan – bilangan cacah, maka p x (q + r) = (p x q) + ( p x r ). 4. Pengurangan dan Pembangian Bilangan – bilangan Cacah Definisi 7 Jika a, b dan k bilangan cacah, maka a – b = k bila dan hanya a = b + k. Ungkapan “bila dan hanya bila” dalam definisi 7 sebagai kata pebghubung “a-b = k bila dan hanya bila a = b + k” berarti “jika a – b = k maka a = b + k dan bila a = b + k ; maka a – b = k” Pengurangan dapat pula didefinisikan dengan himpunan sebagai berikut. 4
- 5. Definisi 8 Apabila a, b dan ( a – b ) bilangan – bilangan cacah, buktikanlah bahwa : ( a – b ) + = (a + c ) – b. Bukti : ( a – b ) + c = (a + c ) – b dipandang sebagai pengurangan dan {( a – b ) + c} sebagaihasil pengurangan. Maka kalimat pengurangan itu sama artinya dengan b + {( a – b ) + c } = a + c. kalimat ini yang akan kita buktikan. Ki ( = ruas kiri ) = b + {(a – b) + c } sifat asosiatif penjumlahan = { b + (a – b)} + c definisi pengurangan. = a + c = Ka ( = ruas kanan) Sifat 6 Sifat distributive perkalian terhadap pengurangan. Apabila a, b, k dan ( a – b) bilangan – bilangan cacah, maka k x (a – b) = (k x a ) – (k x b) Bukti : kalimat maka k x (a – b) = (k x a ) – (k x b) dipandang sebagai pengurangan dengan ( k x a ) sebagai terkurang, (k x b ) sebagai pengurang dan { kx (a- b_ } sebagai hasil pengurangan. Sehingga kalimat pengurangan itu sama artinya dengan. ( k x b ) + {k x (a – b )} = k x a. Kalimat inilah yang akan ita buktikan. 5
- 6. Ki = (k x b ) + { k x ( a – b )} sifat distributive perkalian = k x {b + (a – b )} terhadap penjumlahan = k x a definisi pengurangan = Ka. Definisi 8 Jika a, b dan k bilangan – bilangan cacah, dan b ≠ 0, maka a : b = kbila dan hanya bila a = b x k. 5. Urutan Bilangan – Bilangan Cacah Sifat 7 Jika a, b dan c bilangan – bilangan cacah dan a = b maka a + c = b + c. Bukti : Karena a = b, maka b dapat disubstitusikan pada a dlam kalimat a+ c = b + c, sehingga diperoleh b + c = b + c. karena sifat tertutup pada penjumlahan bilangan – bilangan cacah dan jumlah dua bilangan cacah hasilnya ada dan tunggal, maka a + c = a _ c. Sifat 8 Jika a, b dan c bilangan – bilangan cacah dan a = b maka a x c = b x c. Sifat 9 Jika a, b dan c bilangan – bilangan cacah dengan a = b dan c = d maka a + c = b + d. Sifat 10 Jika a, b dan c bilangan – bilangan cacah dan a +c = b + c, maka a = b. Konvers sifat 8, yaitu jika a, b dan c bilangan – bilangan cacahdan a x c b x c maka a = b. konvers ini tidak benar, ambil misalnya a = 5, b = 7 dan c = 0, maka diperoleh 5 x 0 = 7 x 0 maka 5 = 7. tetapi jika ambil c ≠ 0, maka konvers itu akan bernilai benar dan dikenal sebagai sifat kanselasi dari perkalian. 6
- 7. SISTEM BILANGAN BULAT 1. Pengantar Defenisi 1 Jika n bilangan bulat, maka n + (- n) = (- n) + n = 0. (- n) disebut lawan dari (invers penjumlahan dari) n, dan 0 disebut elemen identitas terhadap penjumlahan. Defenisi 2 Sistem bilangan bulat terdiri atas himpunan B = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} dengan operasi biner penjumlahan ( + ) dan perkalian ( × ). Untuk a, b, dan c bilangan- bilangan bulat sembarang, sistem mempunyai sifat-sifat sebagai berikut : 2) Sifat tertutup terhadap penjumlahan Ada dengan tunggal ( a + b ) dalam B 3) Sifat tertutip terhadap perkalian Ada dengan tunggal ( a × b ) dalam B 4) Sifat komutatif penjumlahan a + b = b + a 5) Sifat komutatif perkalian a × b = b × a 6) Sifat asosiatif penjumlahan (a + b) + c = a + (b + c) 7) Sifat asosiatif perkalian a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) 8) Sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) 9) Sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan ( a + b ) × c = ( a × c ) + ( b × c ) 10) Untuk seriap a, ada dengan tunggal elemen 0 dalam B sehingga a + 0 = 0 + a = a, 0 disebut identitas penjumlahan. 11) Untuk setiap a, ada dengan tunggal elemen 1 dalam B sehingga a × 1 = 1 × a = a. 1 disebut elemen identitas perkalian. 7
- 8. 2. Penjumlahan Bilangan-Bilangan Bulat Setelah mempelajari defenisi penjumlahan dua bilangan cacah, maka pengetahuan tentang penjumlahan itu dan defenisi 1 dan 2 diatas mudah untuk menjelaskan jumlah dua bilangan bulat negative. Misalkan a dan b bilangan-bilangan cacah, bagaimanakah penjumlahan (- a) + (- b) ?. Misalkan c adalah bilangan bulat yang menyatakaan (- a) + (- b), yaitu : c = (- a) + (- b) maka c + b = {(- a) + (- b)} + b ; sifat penjumlahan pada kesamaan c + b = (- a) + {(- b) + b} ; sifat asosiatif penjumlahan c + b = (- a) + 0 ; invers penjumlahan (c + b) + a = (- a) + a ; sifat penjumlahan pada kesamaan (c + b) + a = 0 ; invers penjumlahan c + (b + a) = 0 ; sifat asosiatif penjumlahan c + (a + b) = 0 ; sifat komutatif penjumlahan {c + (a + b) } + {- (a + b)} = - (a + b); sifat penjumlahan pada kesamaan c + (a + b) + {- a + b)} = - (a + b) : sifat asosiatif penjumlahan c + 0 = - (a + b) : invers penjumlahan c = - (a + b) karena c = (- a) + (- b) maka (- a) + (- b) = - (a + b) Jadi, jika a dan b bilangan-bilangan bulat positif, maka (- a) + (- b) = - (a + b) 3. Pengurangan Bilangan – Bilangan Bulat Definisi 3 Jika a, b dan k bilangan – bilangan bulat, maka a – b = k bila dan hanya bila a = b + k. Menurut defenisi pengurangan a – b = k bila dan hanya bila a = b + k a + (- b) = (b + k) + - b) ; sifat penjumlahan pada kesamaan = (k + b) + (- b) ; sifat komutatif penjumlahan = k + (b) + (- b) ; msifat asosiatif penjumlahan = k + 0 ; invers penjumlahan a + (- b) = k k = a + (- b), ini menunjukkan bahwa ada bilangan bulat k sedemikian hingga a – b = k 8
- 9. 4. Perkalian dan Pembagian Bilangan – Bilangan Bulat sifat 1 Sifat kanselasi dari penjumlahan jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat dan a + c = b + c maka a = b Bukti : a + c = b + c (a + c) + (- c) = (b + c) + (- c) ; sifat penjumlahan pada kesamaan a + {c + (- c)} = b + {c + (- c)} ; sifat asosiatif penjumlahan a + 0 = b + 0 ; invers penjumlahan a = b berikut akan diperlihatkan bagaimana memberi makna perkalian dua bilangan bulat yang satu negative dan lainnya positif. Misalkan a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, sehingga a bilangan bulat positif dan (- b) bilangan bulat negatif. Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa (a) (- b) = (ab). Langkah 1 a × {b + (- b)} = a × 0 = 0 ; invers penjumlahan dan perkalian bilangan cacah dengan nol. Langkah 2 a × {b + (- b)} = (a × b) + a × (- b) ; sifat distribusi kiri perkalian terhadap penjumlahan Langkah 3 (a × b) + { a × (- b)} = 0 ; sifat transitif dari kesamaan-kesamaan pada langkah-langkah 1 dan 2. Langkah 4 (a × b) + { - (a × b)} = 0 ; sifat invers penjumlahan Langkah 5 (a × b) + {a × (- b) = (a × b) + { - (a × b)} ; sifat transitif dari kesamaan- kesamaan pada langkah-langkah 3 dan 4. Langkah 6 a × (- b) = - (a × b) ; sifat konselasi (penghapusan) dari penjumlahan Mengingat bahwa perkalian bilangan-bilangan bulat bersifat komutatif, a × (- b) = (- b) × a dan a × (- b) = - (a × b) maka (- b) × a = - (a × b) = - (b × a). begitu pula jika a = 0, maka 0 × (- b) = - (0 × b) = - 0 = 0 dan (- b) × 0 = -(0 × b) = -0 = 0. 9
- 10. Selanjutnya akan diperlihatkan bagaimanan memberi makna perkalian dua bilangan bulat negative. Misalkan a dan b bilangan-bilangan cacah, maka (- a) dan (- b) adalah bilangan-bilangan bulat negatif. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa (- a) × (- b) = a × b. Langkah 1. (- a) × {b + (- b)} = a × 0 = 0 ; sifat invers penjumlahan dan sifat perkalian bilangan bulat dengan nol. Langkah 2. (- a) × {b + (- b)} = {(- a × b)} + {(- a) × (- b)} ; sifat distribusi kiri perkalian terhadap penjumlahan. Langkah 3. {(- a) × b)} + {(- a) × (- b) } = 0 ; sifat transitif dari kesamaan pada langkah-langkah 2. Langkah 4. - (a × b) + {(- a) × (- b) } = 0 ; perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif pada langkah 3. Langkah 4. -(a × b) + {(- a) × (- b) } = 0 perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif pada langkah 3. Langkah 5. {- (a × b)} + (a × b) = 0 ; sifat invers penjumlahan Langkah 6. {- (a × b) } + {(- a) × (- b) } = { - (a × b)} + (a × b) ; sifat transitif dari kesamaan-kesamaan pada langkah 4 dan 5. Langkah 7 (- a) × (- b) = a × b ; sifat konselasi dari penjumlahan Contoh : Bukti bahwa (- a) {b + (- c)} = ac – ab Bukti : (- a) {b + (- c)} = (- a) (b) + (- a) (- c) ; sifat distributif perkalian penjumlahan = - (ab) + ac = ac + {- (ab)} = ac – ab 10
- 11. Defenisi 4. Jika a, b dan c bilangan bulat dengan b ≠ 0, maka a : b = c bila dan hanya bila a = bc. 5. Urutan Bilangan – Bilangan Bulat Defenisi 5 Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih kecil dari b (dinyatakan dengan a < b) bila dan hanya bila ada bilangan bulat positif c sedemikian hingga a + c = b. Defenisi 6 Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih besar dari b (dinyatakan dengan a > b) bila dan hanya bila b < a. <------.-------.------.-------.------.-------.------.-------.------.-------.------.-------.------> Sifat 2 Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat, maka a < b bila dan hanya bila a + c < b + c Bukti : Dibuktikan jika a < b maka a + c < b + c a < b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga a + k = b ; defenisi “lebih kecil dari” (a + k) + c = b + c ; sifat penjumlahan pada kesamaan a + (k + c) = b + c ; sifat asosiatif penjumlahan a + (c + k) = b + c : sifat komutatif penjumlahan (a + c) + k = b + c : sifat asosiatif penjumlahan a + c < b + c ; defenisi “lebih kecil dari” Sifat 3 11 -3 -2 -1 0 1 2 3
- 12. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat posited serta a < b maka a × c < b × c. Bukti : a < b, berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga a + k × c = b × c ; defenisi “lebih kecil dari” (a + b) × (k × c) = b × c ; sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan a × c < b × c ; defenisi “lebih kecil dari”, karena (k × c) bilangan positif konvers dari sifat 3 juga bernilai benar, yaitu : Sifat 4 Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a × c < b × c maka a < b Bukti :a × c < b × c (a × c) + {-(b × c)} < (b × c) + { -(b × c)} ; sifat penjumlahan pada ketidaksamaan (a × c) + {(-b × c)} < 0 ; invers penjumlahan {a + (- b)} × c < 0 ; sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan a + (- b) < c : c bilangan bulat positif {{a + -b)} + b < 0 + b ; sifat penjumlahan pada ketidaksamaan a + {(- b) + b} < b ; sifat asosiatif penjumlahan a < b ; invers penjumlahan Sifat 5 Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat negatif serta a < b, maka a × c > b × c. Sifat 6 Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat negatif serta a × c > b × c maka a < b. 12