![7. Bibliografías
Lay, David. C. University of Maryland – College Park (2007). Álgebra lineal y sus aplicaciones TERCERA
EDICIÓN ACTUALIZADA. Recuperado de:https://nickpgill.github.io/files/2014/07/Algebra-Lineal-y-sus-
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Hernández Daniel.S., Sánchez Darío.G. Universidad de Salamanca Departamento de Matemáticas. Algebra
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Lay, C. (2007). Álgebra lineal y sus aplicaciones. Pearson Educación de México.
Serrano G. (2012). Algebra lineal y Geometría I. Universidad de Salamanca. [Archivo PDF].
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Aplicaciones y subespacios y subespacios vectoriales en la
- 1. Aplicaciones y subespacios y subespacios vectoriales en la carrera de electrónica y automatización ÁLGEBRA LINEAL PARCIAL II TALLER Nro. 2 Integrantes:Darío Asimbaya, Emilio Peñaherrera, Jordán Chamba
- 2. 1. Introducción • En este trabajo nos enfocamos en la enseñanza del Álgebra Lineal en carreras de ingeniería. Los conceptos vinculados a esta rama de las matemáticas se estudian en los cursos básicos de los primeros años de los planes de estudio en esas carreras. Se estudian conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, transformaciones lineales, valores y. vectores propios, y diagonalización de matrices. Estos conceptos, tienen conexión y utilidad para la resolución de diversos problemas en muchas áreas dentro de la matemática y también en otras ciencias e ingeniería el álgebra lineal se encuentra involucrada en los circuitos eléctricos, específicamente en la teoría de circuitos, en la cual se utiliza la resolución de ecuaciones de “n” variables y “n” incógnitas al utilizar el método de nodos o de mallas. • En matemática, el wronskiano es un determinante introducido en 1812 por el matemático polaco Josef Hoene-Wroński (1776-1853) y nombrado en 1882 por el matemático escocés Thomas Muir (1844 – 1934). Se utiliza en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias, donde a veces puede ser utilizado para mostrar que un conjunto de soluciones es linealmente independiente. • Dado un conjunto de {displaystyle n} n funciones que son ( n-1 {displaystyle n-1}) veces derivables, f1{displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{n}}, f2,………,fn el wronskiano W(f1{displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{n}}, f2,………,fn){displaystyle W(f_{1},f_{2},...,f_{n})}está dado por:
- 3. 2. Objetivos - Comprender sobre la aplicación y uso de los espacios y subespacios vectoriales en la carrera de la electrónica y control. - Aplicar los conocimientos algebraicos sobre cálculo de matrices para el desarrollo sobre el teorema de wronskiano
- 4. 3. Fundamentación Teórica Espacio y Subespacios Vectoriales La siguiente investigación respecto a las aplicaciones de los espacios y subespacios vectoriales, busca comprender la importancia de que tiene un espacio vectorial y sus subtemas en la carrera de electrónica y control. Aunque primero debemos definir algunos conceptos referentes al tema planteado. 1. Espacios vectoriales 1.1 Definicion Para definir un espacio vectorial podemos partir de la definición de Lay (2007) afirma que: Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que están definidas dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por escalares (números reales), sujetas a los diez axiomas (o reglas) que se enlistan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores u, v y w en V y todos los escalares c y d. (p. 217) Podemos resaltar que un espacio vectorial es un conjunto de vectores que para determinar en sí, se realizan operaciones elementales que nos permite saber si un conjunto de vectores es un espacio vectorial. Podemos estructurar a un espacio vectorial de la siguiente forma: 𝑉 = 𝑉, 𝐾 , + ,∗ Donde los elementos del espacio vectorial V se llaman vectores y los del cuerpo base K escalares
- 5. 1.2 Propiedades de los espacios vectoriales. Para determinar a un espacio vectorial Lay (2007) nos menciona que debemos cumplir las siguientes propiedades o axiomas: i. 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑢 𝑦 𝑣, 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑢 + 𝑣, 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑉 ii. 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 iii. 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 iv. 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑜 𝑒𝑛 𝑉 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑢 + 0 = 𝑢 v. 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢 𝑒𝑛 𝑉, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 − 𝑢 𝑛𝑒 𝑉 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑢 + −𝑢 = 0 vi. 𝐸𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑢 𝑝𝑜𝑟 𝑐, 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑢, 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑉 vii. 𝑐 𝑢 + 𝑣 = 𝑐𝑢 + 𝑐𝑣 viii. 𝑐 + 𝑑 𝑢 = 𝑐𝑢 + 𝑑𝑢 ix. 𝑐 𝑑𝑢 = 𝑐𝑑 𝑢 x. 1 ∗ 𝑢 = 𝑢 (p. 217).
- 6. 2. Subespacios vectoriales 2.1 Definicion Se define como un subconjunto adecuado de vectores que pertenece a un espacio vectorial, que a diferencia de este solo debe cumplir con 3 de las 10 propiedades mencionadas con anterioridad, ya que, el resto de axiomas quedaran comprobados automáticamente. 2.2 Propiedades de un subconjunto de vectores En el caso de subespacios vectoriales Lay (2007) menciona lo siguiente de un espacio vectorial subespacio vectorial: Un subespacio de un espacio vectorial V es un subconjunto H de V que tiene tres propiedades: a. 𝐸𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑽 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑯 b. 𝐻 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠. 𝐸𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢 𝑦 𝑣 𝑒𝑛 𝐻, 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝒖 + 𝒗 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑯. c. H es cerrado bajo la multiplicación por escalares.Esto es,para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H (p. 220) Cuando el conjunto de vectores ya verifiqué estas 3 propiedades podemos decir que dicho conjunto es un subespacio vectorial, es decir que un conjunto de vectores que pertenece igual al espacio vectorial 𝑺 ⊂ 𝑽
- 7. 3. Dependencia e independencia lineal Para Gloria Serrano Sea E un k-espacio vectorial. Los vectores 𝑒1, … , 𝑒𝑛 de E son linealmente dependientes si alguno de ellos es combinación lineal de los otros, esto es, si 𝑒𝑖 = 𝛼1𝑒1 + ⋯ + 𝑒𝑖 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑒𝑛 αnen para ciertos 𝛼1, … , 𝛼𝑛 ∈ 𝐾. Los vectores 𝑒1, … , 𝑒𝑛 de E son linealmente independientes si ninguno de ellos es combinación lineal de los restantes o, lo que es equivalente, si existe una combinación lineal de ellos igual al vector cero, necesariamente los escalares de la combinación lineal son cero, si λ1e1 + ··· + λnen = 0 ⇒ 𝜆1 = ⋯ = 𝜆1 = 0 La dependencia o independencia lineal de un subconjunto de vectores perteneciente a un espacio vectorial se sujeta en el valor de sus escalares, porque al no ser todos los escalares iguales a cero el subconjunto en linealmente dependiente. Pero si todos sus escalares son iguales a cero el subconjunto será linealmente independiente.
- 8. 4. Aplicaciones El mundo de los espacios y subespacios vectoriales tiene un sinnúmero de utilidades, pero la investigación se enfocará en aplicaciones de espacios vectoriales en ecuaciones diferenciales 4.1 Aplicaciones en Ecuaciones Diferenciales • En las últimas décadas la tecnología de las computadoras ha tenido un desarrollo exponencial en donde las mayorías de problemáticas de ingeniería se resuelven solo con datos digitales. Por ello, las ecuaciones diferenciales son la mejor herramienta para analizar este tipo de datos. • El mundo de los espacios y subespacios vectoriales tiene un sinnúmero de utilidades, pero la investigación se enfocará en aplicaciones de espacios vectoriales en ecuaciones diferenciales • En la carrera de Electrónica y Automatización la resolución de ecuaciones diferenciales utilizando espacios y subespacios vectoriales tenemos las siguientes aplicaciones.
- 9. 5. Aplicaciones en Ecuaciones Diferenciales. • El mundo de los espacios y subespacios vectoriales tiene un sinnúmero de utilidades, pero la investigación se enfocará en aplicaciones de espacios vectoriales en ecuaciones diferenciales • En las últimas décadas la tecnología de las computadoras ha tenido un desarrollo exponencial en donde las mayorías de problemáticas de ingeniería se resuelven solo con datos digitales. Por ello, las ecuaciones diferenciales son la mejor herramienta para analizar este tipo de datos. • En la carrera de Electrónica y Automatización la resolución de ecuaciones diferenciales utilizando espacios y subespacios vectoriales tenemos las siguientes aplicaciones.
- 10. 5.1 Señales Digitales. • Las señales digitales son datos de información que se representa en un espacio vectorial 𝕊 que mide en tiempos discretos (o digitales). Donde la señal puede ser eléctrica, mecánica, óptica, etc. Ana aplicación tangible son los transbordadores espaciales. • De una manera más algebraica Lay (2007) define a una señal como: “una señal en 𝕊 es una función definida sólo en los enteros y puede visualizarse como una sucesión de números”. (p 278) • Para tener una idea más clara observaremos un ejemplo de un tipo de señal denominado {yk}, en donde, se refleja tres tipos de señales. • Es indiscutible que las señales digitales son un área de estudio de las carreras de electrónica y control, en el cual los programadores de las señales discretas deben tener un elevado conocimiento de espacios vectoriales para su correcto funcionamiento.
- 11. 5.2 Independencia lineal se señales. Aunque esta aplicación es mas conocida en la materia de electrotecnia cuando se resuelven circuitos complejos usando las leyes de Kirchhoff podemos aplicarlo en un conjunto de señales don Lay (2007) considera: “un conjunto de sólo tres señales en S, por ejemplo {𝑢𝑘}, {𝑣𝑘} 𝑦 {𝑤𝑘}. Éstas son linealmente independientes precisamente cuando: 𝑐1𝑢𝑘 + 𝑐2𝑣𝑘 + 𝑐3𝑤𝑘 = 0 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝐾 La ecuación al cumplir los tres valores consecutivos de K tenemos: 𝑐1𝑢𝑘+1 + 𝑐2𝑣𝑘+1 + 𝑐3𝑤𝑘+1 = 0 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝐾 𝑐1𝑢𝑘+2 + 𝑐2𝑣𝑘+2 + 𝑐3𝑤𝑘+2 = 0 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝐾 Para satisfacer las constantes 𝑐1, 𝑐2 , 𝑐3 tenemos la siguiente operación de matrices: 𝑢𝑘 𝑣𝑘 𝑤𝑘 𝑢𝑘+1 𝑣𝑘+1 𝑤𝑘+1 𝑢𝑘+2 𝑣𝑘+2 𝑤𝑘+2 𝑐1 𝑐2 𝑐3 = 0 0 0 En la resolución de la matriz Casorati primero debemos realizarla para determinar si las 3 señales pertenecen a la solución y comprobar si la matriz es invertible, luego podremos determinar si las tres señales son linealmente independientes. En caso que no sean parte de la solución las señales son linealmente dependientes.
- 12. 4. Desarrollo • Aplicando el Teorema del Wronskiano determinaremos si los siguientes vectores son linealmente dependientes o independientes. 1. 𝑀 = 3ℎ2 + 5ℎ + 2 ; −5ℎ2 − ℎ − 1 ; 2ℎ2 + 2ℎ − 3 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒉 𝝐 ℝ 𝑀 = 3ℎ2 + 5ℎ + 2 −5ℎ2 − ℎ − 1 2ℎ2 + 2ℎ − 3 6ℎ + 5 −10ℎ − 1 4ℎ + 2 6 −10 4 𝑀 = 3ℎ2 + 5ℎ + 2 −5ℎ2 − ℎ − 1 2ℎ2 + 2ℎ − 3 6ℎ + 5 −10ℎ − 1 4ℎ + 2 6 −10 4 𝑴 = 4 −10ℎ − 1 3ℎ2 + 5ℎ + 2 + −10 6ℎ + 5 2ℎ2 + 2ℎ − 3 + 6 4ℎ + 2 −5ℎ2 − ℎ − 1 − 6 −10ℎ − 1 2ℎ2 + 2ℎ − 3 + −10 4ℎ + 2 3ℎ2 + 5ℎ + 2 + 4(6ℎ + 5)( −5ℎ2 − ℎ − 1) 𝑴 = 3ℎ2 + 5ℎ + 2 −40ℎ − 4 + 40ℎ + 20 + 2ℎ2 + 2ℎ − 3 −60ℎ − 50 + 60ℎ + 6 + (−5ℎ2 − ℎ − 1)(24ℎ + 12 − 24ℎ − 20) 𝑴 = 3ℎ2 + 5ℎ + 2 16 + 2ℎ2 + 2ℎ − 3 −44 + (−5ℎ2 − ℎ − 1)(8) 𝑴 = 48ℎ2 + 80ℎ + 32 − 88ℎ2 − 88ℎ + 132 − 40ℎ2 − 8ℎ − 8 𝑴 = −80ℎ2 − 16ℎ + 156
- 13. Igualamos el determinante 𝑴 = 𝟎 para determinar el valor de ℎ para que el vector sea linealmente dependiente. −80ℎ2 − 16ℎ + 156 = 0 20ℎ2 + 4ℎ − 39 = 0 ℎ = 13 10 ℎ = − 2 3 El vector 𝑀 es linealmente dependiente solo si: ℎ = 13 10 ℎ = − 2 3
- 14. Igualamos el determinante 𝑴 ≠ 𝟎 para determinar el valor de para que el vector sea linealmente independiente. −80ℎ2 − 16ℎ + 156 ≠ 0 20ℎ2 + 4ℎ − 39 ≠ 0 ℎ ≠ 13 10 ℎ ≠ − 2 3 El vector 𝑀 es linealmente independiente solo si: ℎ ≠ 13 10 ℎ ≠ − 2 3
- 15. • Aplicando el Teorema del Wronskiano determinaremos si los siguientes vectores son linealmente dependientes o independientes. 𝑉 = {𝑒2𝑥 tan 3𝑥 ; 𝑒2𝑥 cot 3𝑥 } 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒙 𝝐 ℝ 𝑉 = 𝑒2𝑥 tan 3𝑥 𝑒2𝑥 cot 3𝑥 2𝑒2𝑥 tan 3𝑥 + 3𝑒2𝑥 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 2𝑒2𝑥 cot 3𝑥 − 3𝑒2𝑥 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥 𝑉 = 𝑒2𝑥 tan 3𝑥 𝑒2𝑥 cot 3𝑥 2𝑒2𝑥 tan 3𝑥 + 3𝑒2𝑥 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 2𝑒2𝑥 cot 3𝑥 − 3𝑒2𝑥 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥 𝑉 = 𝑒2𝑥 tan 3𝑥 2𝑒2𝑥 cot 3𝑥 − 3𝑒2𝑥 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥 − 𝑒2𝑥 cot 3𝑥 2𝑒2𝑥 tan 3𝑥 + 3𝑒2𝑥 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 𝑉 = 𝑒2𝑥 tan 3𝑥 2𝑒2𝑥 cot 3𝑥 − 3𝑒2𝑥 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥 − cot 3𝑥 2𝑒2𝑥 tan 3𝑥 + 3𝑒2𝑥 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 𝑉 = 𝑒2𝑥 2 cot 3𝑥 cot 3𝑥 − 3 𝑐𝑠𝑐2 3𝑥 cot 3𝑥 − 2 tan 3𝑥 tan 3𝑥 − 3 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 tan(3𝑥) 𝑉 = −𝑒2𝑥 −2 + 3 sen 3𝑥 cos 3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 3𝑥 + 2 + 3 cos 3𝑥 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) ∗ 𝑐𝑜𝑠2 3𝑥 𝑉 = −𝑒2𝑥 3 cos 3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 3 sen 3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥
- 16. 𝑉 = −3𝑒2𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 6𝑥 + 2 𝑠𝑒𝑛 6𝑥 𝑉 = −3𝑒2𝑥 4 𝑠𝑒𝑛 6𝑥 𝑉 = −12𝑒2𝑥 ∗ csc 4𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 2 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 cos(2𝑥)
- 17. • Igualamos el determinante 𝑽 = 𝟎 y 𝑽 ≠ 𝟎 para determinar el valor de 𝑣 para que el vector sea linealmente dependiente o independiente. −12𝑒2𝑥 ∗ csc 6𝑥 = 0 𝑆𝑖 𝑎 ∗ 𝑏 = 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 = 0 𝑦 𝑏 = 0 • Resolvemos la primera parte: −12𝑒2𝑥= 0 𝑒2𝑥≠ 0 -𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒: 𝑐𝑠𝑐 4𝑥 = 0 csc 𝑥 ≤ −1 ∧ csc(𝑥) ≥ 1 𝑃𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒: 𝑐𝑠𝑐( ) 6𝑥 ≠ 0 Podemos concluir que −12𝑒2𝑥 ∗ csc 6𝑥 ≠ 0 , por ende, el vector 𝑉es linealmente independiente.
- 18. 5. Conclusiones - En base a lo consultado hemos podido comprender los diferentes conceptos delas aplicaciones que los espacios y subespacios vectoriales en la ingenieria el cual nos permite localizar un punto especifico. - El estudio de los vectores lleva consigo un amplio lugar de trabajo ya que tiene influencia en areas de trabajo muy importantes en la actualidad. - El Wronskiano puede usarse para determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo dado. - Si el Wroonskiano es distinto de cero las funciones asociadas son linealmente independiente y si son linelamente dependiente esto implica que el Wronskiano corresponde a cero. - El estudio conciso de la investigacio nos permitio que nuestro conocimiento acerca de los vectores y otros teoremas sobre el espacio vectorial se amplieen de tal manera que podamos usarlos correctamente.
- 19. 7. Bibliografías Lay, David. C. University of Maryland – College Park (2007). Álgebra lineal y sus aplicaciones TERCERA EDICIÓN ACTUALIZADA. Recuperado de:https://nickpgill.github.io/files/2014/07/Algebra-Lineal-y-sus- Aplicaciones-3ra-Edici%C3%B3n-David-C.-Lay.pdf (Lay, 200). Facultad de ingeniería Universidad de la Plata. (2018). Algebra Lineal con Aplicaciones Parte I. Recuperado de: https://libros.unlp.edu.ar/index.php/unlp/catalog/download/875/866/2882-1 (V. Costa, 2018) Hernández Daniel.S., Sánchez Darío.G. Universidad de Salamanca Departamento de Matemáticas. Algebra lineal y Geometría I. Recuperado de: http://galois.azc.uam.mx/mate/LIBROS/algebralineal0.pdf (Daniel Hernandez .S) Lay, C. (2007). Álgebra lineal y sus aplicaciones. Pearson Educación de México. Serrano G. (2012). Algebra lineal y Geometría I. Universidad de Salamanca. [Archivo PDF]. http://galois.azc.uam.mx/mate/LIBROS/algebralineal0.pdf