Bab 2 Vektor
49 likes54,028 views
Dokumen ini membahas konsep dasar vektor, mencakup besaran skalar dan vektor, vektor posisi, komponen vektor, serta metode penjumlahan dan pengurangan vektor. Penjelasan diberikan tentang bagaimana vektor dapat digambarkan dan dihitung menggunakan berbagai metode, termasuk metode geometris, jajaran genjang, dan analitik. Selain itu, terdapat pembahasan tentang perkalian vektor, baik dengan skalar maupun antar vektor, termasuk produk titik dan produk silang.
Bab 2 Vektor
- 1. BAB 2 VEKTOR Kata vektor berasal dari bahasa Latin yang berarti “pembawa” (carrier), yang ada hubungannya dengan “pergeseran” (displacement). Vektor biasanya digunakan untuk menggambarkan perpindahan suatu partikel atau benda yang bergerak, atau juga untuk menggambarkan suatu gaya. Vektor digambarkan dengan sebuah garis dengan anak panah di salah satu ujungnya, yang menunjukkan arah perpindahan/pergeseran dari partikel tersebut. 2.1 Besaran Skalar & Besaran Vektor Pergeseran suatu partikel adalah perubahan posisi dari partikel tersebut. Jika sebuah partikel berpindah dari posisi A ke posisi B, maka pergeserannya dapat dinyatakan dengan vektor AB yang memiliki anak panah di B yang menunjukkan bahwa pergeseran tersebut mulai dari A ke B (Gambar 1.a). Dengan cara yang sama, perubahan posisi partikel dari posisi B ke posisi C dapat dinyatakan dengan vektor BC (Gambar 1.b). Hasil total kedua pergeseran ini sama dengan pergeseran dari A ke C, sehingga vektor AC disebut sebagai jumlah atau resultan dari pergeseran AB dan BC. Beberapa besaran fisis lain memiliki sifat seperti “pergeseran”, yaitu disamping mempunyai besar juga mempunyai arah. Jadi untuk menyatakan besaran fisis tersebut, disamping menyatakan nilainya, kita juga harus menyatakan arahnya. Besaran fisis seperti ini dikatakan sebagai besaran vektor. Secara umum besaran vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Contohnya : gaya, Gambar 1 Vektor Pergeseran kecepatan, percepatan, momentum, impuls, momen gaya, kuat medan listrik, dan kuat medan magnet. Sedangkan besaran fisis yang tidak mempunyai arah dan dapat dinyatakan secara tepat hanya oleh sebuah bilangan, disebut sebagai besaran skalar. Contohnya : jarak, usaha, energi, daya, massa jenis, luas, volume, tekanan, temperatur, waktu, muatan listrik, potensial listrik, dan kapasitas. Perhitungan dengan skalar dapat dilakukan dengan menggunakan aturan aljabar biasa. 2.2 Vektor Posisi dan Vektor Satuan Jika kita ingin menyatakan letak atau posisi sebuah titik dalam suatu bidang datar, maka kita membutuhkan suatu sistem koordinat (misalnya sumbu x dan sumbu y). Dengan 3
- 2. menggunakan sistem sumbu ini, kita dapat menentukan koordinat titik P dengan titik acuan O (Gambar 2). Jika koordinat P adalah (3,4), maka jarak OP haruslah sama dengan 5 cm dan posisi titik P terhadap titik acuan O dapat dinyatakan sebagai vektor posisi yang v dituliskan sebagai r (P) . Gambar 2. Vektor Posisi Sebuah vektor satuan adalah vektor tak berdimensi yang didefinisikan mempunyai besar 1 dan menunjuk ke suatu arah tertentu. Dalam sistem koordinat biasanya digunakan lambang khusus i, j, dan k untuk menyatakan vektor satuan dalam arah sumbu x, y, dan x positif berturut-turut (Gambar 3). Perhatikan bahwa i, j, dan k tidak harus terletak pada titik asal koordinat. Seperti halnya vektor-vektor lain, vektor satuan dapat ditranslasikan ke mana saja dalam ruang koordinat, asalkan arahnya terhadap sumbu koordinat tidak berubah. . Gambar 3. Vektor-Vektor Satuan Gambar 4. Vektor A dalam bentuk vektor- vektor satuan A. Vektor Axi adalah hasil kali komponen Ax dengan vektor satuan i. Vektor ini adalah vektor sejajar dengan sumbu x (Gambar 4). Sehingga vektor A dapat ditulis sebagai jumlahan tiga vektor yang masing-masing sejajar terhadap sumbu koordinat : A = Axi + Ayj + Azk (1) 4
- 3. 2.3 Komponen Vektor Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut ke garis tadi. Gambar 5 menunjukkan vektor A yang berada pada bidanh xy. Vektor ini mempunyai komponen Ax dan Ay. Secara umum komponen-komponen ini dapat bernilai positif atau negatif. Jika θ adalah sudut antara vektor A dengan sumbu x, maka : Ay Ay Ax tan θ = ; sin θ = ; cos θ = (2) Ax A A Gambar 5. Komonen Vektor A Dimana A adalah besar dari vektor A, sehingga komponen-komponen vektor A dapat diperoleh : Ax = A cos θ Ay = A sin θ (3) Tetapi jika kita telah mengetahui komponen Ax dan Ay, serta sudut θ, maka besar vektor A dapat diperoleh dengan menggunakan teorema Pythagoras : A= Ax2 + Ay 2 (4) CONTOH 1 : Sebuah mobil menempuh 20 km dengan arah 30O ke utara terhadap arah barat. Dengan menganggap sumbu x menunjukkan arah timur dan sumbu y menunjukkan arah utara, carilah komponen x dan y dari vektor perpindahan mobil itu ! 5
- 4. Pembahasan : Jika vektor A merupakan vektor perpindahan mobil sejauh 20 km dengan arah 30O ke utara terhadap arah barat. Kemudian vektor A diproyeksikan terhadap sumbu x dan y seperti gambar disamping, sehingga diperoleh komponen vektor Ax berada pada sumbu x negatif maka komponen vektor Ax bernilai negatif, dan komponen vektor Ay berada pada sumbu y positif maka komponen vektor Ay bernilai positif. Ax = − A cos θ = −20 cos 30 O = −17,32 km Ay = + A sin θ = +20 sin 30 O = +10 km 2.4 Penjumlahan Vektor Penjulahan vektor (vector sum) dari dua buah vektor atau lebih, biasanya dapat dilakukan jika vektor-vektor tersebut memiliki besaran yang sejenis. Berikut ini akan dijelaskan beberapa metoda penjumlahan vektor. 2.4.1 Metode Geometris Penjumlahan vektor dengan metode ini, dilakukan dengan menyatakan vektor-vektor dalam sebuah diagram. Panjang anak panah disesuaikan dengan besar vektor (artinya harus menggunakan skala dalam pengambarannya), dan arah vektor ditunjukkan oleh arah ujungnya (kepalanya). Sebagai contoh, perpindahan sebesar 40 meter dalam arah timur- laut, bila digambarkan dalam skala 1 cm tiap 10 meter, dinyatakan dengan sebuah anak panah yang panjangnya 4 cm dan membentuk sudut 45O dengan garis yang mengarah ke timur dan ujung kepala anak panah terletak pada ujung kanan yang mengarah ke atas. Sekarang jika terdapat dua buah vektor A dan B yang memiliki besar dan arah masing- masing seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 6, maka vektor R merupakan vektor hasil penjumlahan kedua vektor tersebut. Gambar 6 Jumlah Vektor A dan B Aturan yang harus diikuti dalam penjumalahan vektor secara geometris adalah sebagai berikut : Pada diagram yang telah disesuaikan skalanya, mula-mula letakkan vektor A, kemudian gambarakan vektor B dengan pangkalnya terletak pada ujung A dan akhirnya ditarik garis dari panggak A ke ujung B yang menyatakan vektor hasil penjumlahan R. Vektor ini menyatakan pergeseran yang panjang dan arahnya setara dengan pergeseran berturutan A dan B. Cara ini dapat diperluas dalan hal yang lebih umum, untuk memperoleh jumlah beberapa pergeseran berturutan. 6
- 5. Gambar 7 (a) Hukum komutatif (b) Hukum asosiatif Simbol “+” pada Gambar 7 memiliki arti yang sama sekali berbeda dengan arti penjumlahan dalam ilmu hitung atau aljabar skalar biasa. Simbol ini menghendaki sekumpulan operasi yang betul-betul berbeda. Berdasarkan Gambar 7, dapat dibuktikan dua buah sifat penting dalam penjumlahan vektor, yaitu ; Hukum Komutatif : A+B=B+A (5) Hukum Asosiatif : D + (E + F) = (D + E) + F (6) Kedua hukum ini menyatakan bahwa bagaimanapun urutan ataupun pengelompokkan vektor dalam enjumlahan, hasilnya tidak akan berbeda. Dalam hal ini penjumlahan vektor dan penjumlahan skalar memenuhi aturan yang sama. 2.4.2 Metode Jajaran Genjang Penjumlahan dua buah vektor dengan menggunakan metoda jajaran genjang, dilakukan dengan cara menggambarkan kedua vektor tersebut saling berhimpit pangkalnya sebagai dua sisi yang berdekatan dari sebuah jajaran genjang. Maka jumlah vektor adalah vektor diagonal yang pangkalnya sama dengan panngkal kedua vektor penyusunnya (Gambar 8). Nilai penjumlahannya diperoleh sebagai berikut : C= A 2 + B 2 + 2 AB cos θ (7) Dimana : A = besar vektor pertama yang akan dijumlahkan B = besar vektor kedua yang akan dijumlahkan C = besar vektor hasil penjumlahan θ = sudut terkecil antara vektor A dan B Gambar 8. Metode Jajaran Genjang 7
- 6. 2.4.3 Metode Analitik (Dua Dimensi) Penjumlahan dua vektor dalam-dua dimensi, metoda geometris dan metoda jajaran genjang cukup memadai. Tetapi untuk kasus penjumlahan tiga vektor ataupun penjumlahan vektor dalam tiga dimensi seringkali kurang menguntungkan. Cara lain yang dapat digunakan untuk menjumlahkan vektor adalah metoda analitik. Dengan metoda ini, vektor-vektor yang akan dijumlahkan, masing-masing diuraikan dalam komponen-komponen vektor arahnya (lihat kembali “Komponen Vektor”). Jika R merupakan besar vektor resultan, maka besarnya adalah : R = R x2 + R y 2 (8) Dimana : R = besar vektor resultan Rx = jumlah total vektor dalam arah sumbu x Ry = jumlah total vektor dalam arah sumbu y Dengan arah : Ry θ = tan −1 (9) Rx Dimana θ adalah sudut yang dibentuk antara sumbu x dengan vektor resultan. CONTOH 2 : Seorang tukang Pos pedesaan meninggalkan kantor pos dan berkendaraan sejauh 22 km ke arah utara ke kota berikutnya. Ia kemudian meneruskan dengan arah 60O ke selatan dari arah timur sepanjang 47 km ke kota lainnya. Berapakah perindahannya dari kantor pos ? Pembahasan : 8
- 7. Jika P1 adalah vektor perpindahkan pertama dari tukang pos dan P2 adalah vektor perpindahan kedua dari tukang pos, maka komponen-komponen kedua vektor tersebut pada sumbu x dan y adalah : P1x = 0 P1y = 22 km P2x = + P cos θ = + (47 km) (cos 60O) = + 23,5 km P2y = - P sin θ = - (47 km) (sin 60O) = - 40,7 km Perhatikan bahwa P2y negatif karena komponen vektor ini menunjuk sepanjang sumbu y negatif. Vektor resultan P, mempunyai komponen-komponen : Px = P1x + P2x = 0 km + 23,5 km = + 23,5 km Py = P1y + P2y = 22 km + (-40,7 km) = - 18,7 km Maka vektor resultannya : P = Px2 + Py2 = (23,5 km) 2 + (−18,7 km) 2 = 30km Py − 18,7 km tan θ = = = − 0,7957 → θ = − 38,51O Px 23,5 km Tanda negatif berarti θ = 38,51O berada di bawah sumbu x. 2.5 Selisih Vektor Operasi pengurangan vektor dapat dimasukkan ke dalam aljabar dengan mendefinisikan negatif suatu vektor sebagai sebuah vektor lain yang besarnya sama, tetapi arahnya berlawanan, sehingga : A – B = A + (- B) (10) Gambar 9. Selisih Vektor 2.6 Penjumlahan dan Selisih Vektor Tiga Dimensi Jika terdapat dua buah vektor tiga dimensi, yaitu vektor A dan B. Maka keduanya dapat dituliskan dalam komponen dan vektor satuan sebagai berikut : A = Axi + Ayj + Azk , dan B = Bxi + Byj + Bzk 9
- 8. Misalkan R adalah jumlah atau selisih dari dua buah vektor A dan B, maka : R = A+B = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j + (Az + Bz ) k = Rxi + Ryj + Rzk Dan selisih kedua vektor tersebut adalah : R = A-B = (Ax - Bx) i + (Ay - By) j + (Az - Bz ) k = Rxi + Ryj + Rzk CONTOH 3 : Jika diketahui : A = 7i – 6j B = -3i + 12j Berapakah A + B dab A – B ? Pembahasan : Maka, A + B = (7i – 6j) + (-3i + 12j) = (7 + (-3))i + ((-6) + 12)j = 4i + 6j Dan, A - B = (7i – 6j) - (-3i + 12j) = (7 - (-3))i + ((-6) - 12)j = 10i - 18j 2.7 Perkalian Vektor Seperti halnya skalar, vektor dengan macam yang berlainan dapat dikalikan satu dengan yang lainnya, sehingga menghasilkan besaran fisis baru dengan dimensi yang baru. Aturan perkalian vektor tidaklah sama dengan perkalian skalar, karena vektor memiliki besar dan arah. Ada tiga macam operasi perkalian dengan vektor, yaitu : 1. Perkalian Vektor dengan Skalar Perkalian antara vektor dan skalar adalah hasil kali suatu skalar k dengan sebuah vektor A, sehingga dapat dituliskan kA dan didefinisikan sebagai sebuah vektor baru yang besarnya adalah besar k dikalikan dengan besar A. Arah vektor yang baru ini sama dengan arah vektor A jika k positif dan berlawanan arah dengan vektor A jika k negatif. 2. Perkalian Titik (Dot Product) Perkalian titik diantara dua vektor A dan B dapat ditulis A • B. Perkalian skalar dua vektor dapat diandang sebagai perkalian antara besar salah satu vektor dengan komponen vektor lain dalam arah vektor yang pertama tadi. Maka pada perkalian vektor ini ada ketentuan, yaitu : Perkalian komponen vektor yang sejenis (searah) akan menghasilkan nilai 1, seperti : i • i = j • j = k • k = 1 Perkalian komponen vektor yang tidak sejenis (saling tegak liris) akan menghasilkan nilai 0, seperti : i • j = j • k = k • i = 0 10
- 9. 3. Perkalian Silang (Cross Product) Perkalian silang diantara dua vektor A dan B dapat ditulis A X B dan hasilnya adalah sebuah vektor lain C. Arah dari C sebagai hasil perkalian vektor A dan B didefinisikan tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh A dan B. Pada perkalian vektor ini ada ketentuan sebagai berikut : ixi =0 ixj =k j x i = -k jxj =0 jxk =i k x j = -i kxk=0 kxi=j i x k = -i Soal : 1. Dua buah vektor gaya F1 dan F2 bertitik tangkap di O seperti gambar disamping. Berapakah resultas vektor- vektor tersebut ? 2. Pada suatu benda bekerja dua gaya : 100 N pada 1700 dan 100 N pada 500. Tentukan resultannya. 3. Serangga berturut-turut bergerak 8 cm ke arah Timur, 5 cm ke arah Selatan, 3 cm ke arah Barat, dan 4 cm ke arah Utara. (a) Berapa jauhkah dalam arah Utara dan Timur serangga itu telah bergerak dihitung dari titik awal geraknya ? (b) Tentukan vektor perpindahan serangga itu secara grafik dan secara aljabar ! 4. Jika diketahui A = 7i – 6j, B = -3i + 12j, dan C = 4i – 4j Berapakah : (a) A + B + C (b) A – B (c) A – C 5. Dua buah gaya bekerja pada sebuah partikel yang dinyatakan sebagai berikut : F1 = 15i – 16j + 27k Newton dan F2 = 23j – 40k Newton. Berapakah besarnya resultannya ? 6. Tentukanlah besar dan arah resultan dari tiga gaya dalam gambar di samping ! 11
- 10. 7. Dua orang dewasa dan seorang anak hendak mendorong sebuah kotak ke arah yang bertanda X pada gambar di samping. Kedua orang dewasa itu mendorong dengan gaya F1 dan F2, yang besar serta arahnya diperlihatkan oleh gambar. Tentukanlah besar dan arah gaya terkecil yang harus dilakukan oleh anak tadi ! 8. Sebuah mobil dikendarai 125 km ke arah Barat dan kemudian 65 km ke arah Barat Daya. Berapa perpindahan mobil tersebut dari titik asalnya (besar dan arah) ? Gambarkan diagramnya ! 9. V adalah vektor dengan besar 24,3 satuan dan menunjuk ke sudut 54,80 di atas sumbu x. (a) Gambarkan vektor ini (b) Cari Vx dan Vy (c) Gunakan Vx dan Vy untuk mendapatkan besar dan arah resultannya. 10. Sebuah pesawat udara berjalan dengan laju 785 km/jam dengan 38,50 ke Barat dari arah Utara (Lihat gambar disamping) (a) Carilah komponen vektor kecepatan pada arah Utara dan Barat (b) Seberapa jauh jarak ke Utara dan ke Barat ditempuh oleh pesawat tersebut setelah 3 jam ? 11. Carilah besar dan arah vektor-vektor berikut : (a) A = 5i + 3j (b) B = 10i – 7j (c) C = -2i – 3j + 4k 12. Carilah besar dan arah A, B, dan A + B, untuk : (a) A = -4i -7j dan B = 3i – 2j (b) A = 1i – 4j dan B = 2i + 6j 13. Dua buah vektor diberikan sebagai A = 4i – 3j + k dan B = -i + j + 4k. Tentukan : (a) A + B (b) A – B (c) Vektor C agar A – B + C = 0 14. Diberikan tiga buah vektor : A = 3i + 3j – 2k, B = -i -4j + 2k, dan C = 2i +2j +k. Hitunglah : (a) A • (B X C ) (b) A • (B + C) (c) A X (B + C) 15. Sebuah mobil begerak 50 km ke Timur, kemudian 30 km ke Utara dan akhirnya 25 km dalam arah 300ke Timur dari Utara. Gambarlah diagram vektornya dan tentukan pergeseran total monil tersebut diukur dari titik aralnya. 12
- 11. 16. Tiga vektor ditunjukkan gambar di samping. Besarnya diberikan dengan sembarang satuan. Tentukan jumlah ketiga vektor itu. Nyatakan resultan dalam : (a) Komponen (b) Besar dan sudut terhadap sumbu x 17. Dua buah vektor A dan B memiliki komponen, Ax = 3,2 ; Ay = 1,6 ; Bx = 0,5 ; By = 4,5 dalam satuan sembarang. (a) Tentukan sudut antara a dan b (b) Tentukanlah komponen vektor C yang tegak lurus A, terletak dalam bidang XY dan besarnya 5 satuan. 18. Dua gaya masing-masing sebesar 100 N dan 80 N membentuk sudut 600 menarik sebuah objek, hitunglah gaya resultan (baik besar dan arahnya) ! 19. Lima orang anak masing-masing menarik sebuah objek dengan menggunakan seutas tali dengan arah yang berbeda. Jika digambarkan pada suatu bidang XY seperti gambar di samping. Ke manakah objek tersebut akan bergerak dan berapa besar gaya yang menggerakkannya ? 20. Sebuah pesawat terbang ringan dengan kecepatan 600 km/jam bergerak ke arah Barat, sementara angin bergerak ke arah Utara dengan kecepatan 100 km/jam. Kemanakah pesawat akan bergerak karena tiupan angin ini ? 13