BAB 2 BARISAN DAN DERET kelas x kurikulum merdeka
- 1. MEDIA MENGAJAR UNTUK SMA/MA KELAS X MATEMATIKA
- 2. BARISAN DAN DERET BAB 2 Sumber gambar: Shutterstock.com
- 3. 2.1 Barisan dan Deret Aritmetika Barisan Aritmetika Secara umum dapat dikatakan bahwa: 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, . . . , 𝑈𝑛 disebut barisan aritmetika jika 𝑈2 − 𝑈1 = 𝑈3 − 𝑈2 = 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1 = kostanta. Konstanta dalam hal ni disebut beda 𝑏 . 𝒃 = 𝑼𝒏 − 𝑼𝒏−𝟏 Contoh Beda untuk barisan pada barisan-barisan berikut ini a) 2, 8, 14, 20, … 9 − 2 = 14 − 8 = … = 6 Jadi, beda barisan ini adalah 6. b) 3, 5, 7, 9, … 5 − 3 = 7 − 5 = … = 2 Jadi, beda barisan ini adalah 2.
- 4. Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan-bilangan di mana beda (selisih) di antara dua suku berurutan merupakan bilangan tetap. Rumus umum suku ke−𝑛 barisan aritmetika adalah 𝑼𝒏 = 𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒃 dengan a adalah suku pertama dan b adalah beda. Contoh 1. Tentkan suku ke-8 dan suku ke-n dari barisan 2, 5 2 , 3, 7 2 , . . . Jawab: 𝑎 = 2, 𝑏 = 5 2 − 2 = 1 2 • 𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 𝑈8 = 2 + (8 − 1) ∙ 1 2 𝑈8 = 2 + 7 2 = 11 2 Jadi, suku ke-8 adalah 11 2 . • 𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 = 2 + (𝑛 − 1) ∙ 1 2 = 2 + 1 2 𝑛 − 1 2 𝑈𝑛 = 1 2 𝑛 + 3 2 Jadi, suku ke-n adaalah 1 2 𝑛 + 3 2 .
- 5. Sisipan (Interpolasi) Jika di antara dua suku yang berurutan dalam suatu barisan aritmetika dimasukkan satu atau lebih suku (bilangan) yang lain sehingga menjadi barisan aritmetika yang baru, proses ini disebut menyisipkan atau interpolasi. Apabila beda barisan aritmetika yang baru dimisalkan 𝑏’, maka barisan aritmetika baru adalah: 𝑏′ = 𝑈1 − 𝑈1 𝑘 + 1 atau 𝑏′ = 𝑏 𝑘 + 1 Contoh Diketahui barisan aritmetika 1, 7, 13, 19. Jika di antara dua suku berurutan disisipkan dua bilangan sehingga terjadi barisan aritmetika baru, tentukan barisan aritmetika baru tersebut. Jawab: Diketahui: n=4, b=7-1=6, dan k=2, maka 𝑏′ = 𝑏 𝑘 + 1 = 6 2 + 1 = 2 Barisan aritmetika yang baru adalah: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19
- 6. Suku Tengah 𝑼𝒕 Apabila banyak suku suatu barisan aritmetika ganjil, maka: 𝑎, … , 𝑈𝑡, … , 𝑈𝑛 ⟹ untuk 𝑛 ganjil 2𝑈𝑡 = 𝑎 + 𝑈𝑛 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑈𝑡 = 1 2 (𝑎 + 𝑈𝑛)
- 7. Deret Aritmetika Definisi: Jika diketahui 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, . . . , 𝑈𝑛 merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 disebut deret aritmetika. Rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah 𝑆𝑛 = 1 2 𝑛 2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 atau 𝑆𝑛 = 1 2 𝑛(𝑎 + 𝑈𝑛) Contoh Tentukan jumlah 100 suku pertama deret 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ⋯ . Jawab: Berdasarkan deret tersebut dapat kita ketahui bahwa: 𝑎 = 1, 𝑏 = 3 − 1 = 2 dan 𝑛 = 100. 𝑆𝑛 = 1 2 𝑛 2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 ⟺ 𝑆100 = 1 2 100 2 ∙ 1 + 100 − 1 ∙ 2 ⟺ 𝑆100 = 500 200 ⇔ 𝑆100 = 10.000 Jadi, jumlah 100 suku pertama deret di atas adalah 10.000.
- 8. 2.2 Barisan dan Deret Geometri Secara umum dapat dikatakan bahwa: 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, . . . , 𝑈𝑛 disebut barisan geometri jika: 𝑈2 𝑈1 = 𝑈3 𝑈2 = 𝑈4 𝑈3 = … = 𝑈𝑛 𝑈𝑛−1 = kostanta. Konstanta dalam hal ni disebut rasio 𝑟 . 𝑈1 = 𝑎 𝑈2 = 𝑎𝑟 𝑈3 = 𝑎𝑟2 ⋮ 𝑼𝒏 = 𝒂𝒓𝒏−𝟏 Contoh Tentukan suku ketujuh dari barisan geometri 9, 3, 1, 1 3 , … Jawab: Diketahui bahwa 𝑎 = 9, 𝑟 = 1 3 , dan 𝑛 = 7, maka: 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1 ⟺ 𝑈7= 9 1 3 7−1 𝑈7 = 9 36 = 1 34 = 1 81
- 9. Sisipan (Interpolasi) Secara umum, jika disisipkan k suku di antara setiap dua suku yang berurutan sehingga membentuk barisan geometri baru, maka rasio barisan geometri baru adalah 𝑟𝑘 = 𝑘+1 𝑟 Dan banyak sukunya adalah 𝑛′ = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑘
- 10. Deret Geometri Definisi: Jika diketahui 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, … 𝑈𝑛 merupakan suku-suku dari suatu barisan geometri, maka 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + … . +𝑈𝑛 disebut deret geometri dengan 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1 . Jika 𝑆𝑛 merupakan jumlah n suku pertama dari deret geometri maka rumus 𝑆𝑛 adalah 𝑆𝑛 = 𝑎(1 − 𝑟𝑛 ) 1 − 𝑟 ; untuk 𝑟 < 1 atau 𝑆𝑛 = 𝑎(𝑟𝑛 − 1) 𝑟 − 1 ; untuk 𝑟 > 1 a adalah suku pertama dan r adalah rasio
- 11. Contoh Tentukan jumlah deret geometri 5 + 1 + 1 5 + … hingga suku kelima. Jawab: 𝑎 = 5, 𝑛 = 5, dan 𝑟 = 1 5 , karena 𝑟 < 1 𝑆𝑛 = 𝑎(1 − 𝑟𝑛 ) 1 − 𝑟 ⇒ 𝑆5 = 5(1 − 1 5 5 ) 1 − 1 5 = 5 1 − 1 3.125 4 5 = 781 125 𝑆5 = 6,248
- 12. Deret Geometri Tak HIngga Apabila n mendekati “tak hingga”, yaitu 𝑛 → ∞ maka 𝑟𝑛 ⟶ 0 sehingga: 𝑆∞ = 𝑎 1 − 𝑟 ; untuk − 1 < 𝑟 < 1 𝑆∞ disebut “jumlah sampai tak hingga suku” Suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah tertentu (konvergen) jika rasio deret tersebut terletak pada interval −𝟏 < 𝒓 < 𝟏 𝐚𝐭𝐚𝐮 𝒓 < 𝟏
- 13. Contoh Tentukan jumlah deret geometri tak hingga 36 − 12 + 4 − 4 3 + … Jawab: 𝑆∞ = 𝑎 1−𝑟 di mana 𝑎 = 36 dan 𝑟 = − 1 3 , maka: 𝑆∞ = 36 1 − − 1 3 = 36 4 3 = 27
- 14. 2.3 Masalah yang Melibatkan Barisan dan deret Pertumbuhan & Peluruhan 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, … 𝑈𝑛 dengan 𝑈1 < 𝑈2 < 𝑈3 < … < 𝑈𝑛 Pertumbuhan: perubahan secara kuantitas sebuah objek pada rentang waktu tertentu dengan perubahan naik, artinya kuantitas objek tersebut bertambah. 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, … 𝑈𝑛 dengan 𝑈1 > 𝑈2 > 𝑈3 > … > 𝑈𝑛 Peluruhan: perubahan secara kuantitas sebuah objek pada rentang waktu tertentu dengan perubahan turun, artinya kuantitas objek tersebut berkurang.
- 15. Contoh 1. Jumlah penduduk sebuah kota mengalami peningkatan sebesar 2% tiap tahun dari tahun sebelumnya. Berdasarkan sensus penduduk tahun 2015, jumlah penduduk di kota tersebut 900.000 jiwa. Tentukan jumlah penduduk di kota tersebut pada tahun 2022. Jawab: Berdasarkan persoalan tersebut merupakan masalah pertumbuhan, gunakan deret geometri sehingga: 𝑈1 = 𝑎 = 900.000 jiwa 𝑖 = 2% = 0,02 𝑟 = 1 + 𝑖 = 1 + 0,02 = 1,02 𝑛 = 2022 − 2015 + 1 = 8 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1 𝑈8 = 900.000 1,028−1 = 900.000 ∙ 1,02 7 = 1.033.817 Jadi, jumlah penduduk di kota tersebut tahun 2022 adalah 1.033.817 jiwa.
- 16. 2. Sebuah pabrik membeli mesin produksi pada tahun 2017 seharga Rp500.000.000,00. Mesin tersebut mengalami penurunan harga sebesar 5% setiap tahun dari tahun sebelumnya. Tentukan harga mesin pada tahun 2022. Jawab: Berdasarkan persoalan tersebut merupakan masalah peluruhan yng dapat diselesaikan dengan deret geometri, sehingga 𝑈1 = 𝑎 = Rp500.000.000,00 𝑖 = 5% = 0,05 𝑟 = 1 − 𝑖 = 1 − 0,05 = 0,95 𝑛 = 2022 − 2017 + 1 = 6 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1 𝑈6 = 500.000.000(0,95)6−1 = 386.890.468,75 Jadi, harga mesin pada tahun 2022 adalah Rp386.890.468,75.
- 17. Bunga Tunggal & Bunga Majemuk Bunga adalah uang yang dibayar oleh perorangan atau organisasi atas penyesuaian sejumlah uang yang disebut uang pokok (modal). Jika modal awal sebesar 𝑀0 mendapat bunga tunggal sebesar b (dalam persentase) per bulan, maka setelah n bulan, besar modalnya (𝑀𝑛) menjadi: 𝑀𝑛 = 𝑀0(1 + 𝑛 ∙ 𝑏) Jika modal sebesar 𝑀 diperbungakan dengan bunga majemuk 𝑖 = 𝑝% per tahun dan besar modal setelah 𝑛 tahun dinyatakan dengan 𝑀𝑛rumus nilai akhirnya adalah 𝑀𝑛 = 𝑀 1 + 𝑖 𝑛
- 18. Contoh 1. Sebuah modal sebesar Rp1.200.000,00 diperbungakan dengan bunga majemuk 4% per tahun. Tentukan besar modal itu setelah 5 tahun. Jawab: 2. Sebuah modal sebesar Rp1.200.000,00 diperbungakan dengan bunga majemuk 4% per tahun. Tentukan besar modal itu setelah 5 tahun. Jawab: Diketahui: 𝑀 = 10.000.000; 𝑛 = 5; dan 𝑏 = 2% = 0,02 Jadi besar modal setelah 5 tahun adalah 𝑀𝑛 = 𝑀0(1 + 𝑛 ∙ 𝑏) 𝑀5 = 10.000.000 1 + 5 ∙ 0,02 = 10.000.000 1,1 = Rp11.000.000,00 Diketahui: 𝑀 = 1.200.000; 𝑛 = 5; dan 𝑏 = 4% = 0,04 Jadi besar modal setelah 5 tahun adalah 𝑀𝑛 = 𝑀 1 + 𝑖 𝑛 𝑀5 = 1.200.000 1 + 0,04 5 = 10.000.000 1,04 5 = Rp1.460.040,00
Editor's Notes
- #2: Teks warna “MTK” diubah sesuai cover dan tingkat kelas