Bab 7-penyelesaian-persamaan-diferensial
4 likes7,352 views
Bab ini membahas tentang persamaan diferensial biasa dan penyelesaiannya menggunakan MATLAB. Persamaan diferensial biasa digunakan untuk memodelkan proses fisis dan kimia dinamis yang bergantung pada waktu atau jarak. Contoh penerapannya meliputi kinetika reaksi kimia, aliran fluida, dan pertumbuhan mikroorganisme."
![Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 70
)48(
)(
dt
Vd
dalam liter per detik.
Kondisi awal pada waktu t = 0, volume dalam tangki = 0. Berikut penyelesaan
persamaan di atas.
File fluida run digunakan untuk mengeksekusi penyelesaian. List penulisan
program adalah
Grafik yang dihasilkan seperti Gambar 7.1.
Gambar 7.2 Plot waktu terhadap volum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Time (s)
volintank(L)
fluida
function dvdt=fluida(t,v)
dvdt=4
to=0;
tf=100;
tspan=[to tf]; %interval integrasi
v0=0 %kondisi awal
[t,v]=ode45(’fluida’tspan,v0)
plot(t,v(:,1))
Xlabel(‘Time (s)’)
Ylabel (‘vol in tank(L)’)
Title(‘fluida’)](https://image.slidesharecdn.com/bab-7-penyelesaian-persamaan-diferensial-150418042103-conversion-gate01/85/Bab-7-penyelesaian-persamaan-diferensial-6-320.jpg)
![Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 72
Kemudian langkah berikutnya adalah menggunakan fungsi ode23 atau ode45
yang telah disediakan Matlab untuk menentukan konsentrasi A setiap waktu.
[t,Ca] = ode23('furuka',[0 50],0.5)
t =
0
1.2240
6.2240
11.2240
16.2240
21.2240
26.0582
30.4158
34.4216
38.2175
41.8888
45.4822
49.0247
50.0000
Ca =
0.5000
0.4611
0.3240
0.2203
0.1456
0.0941
0.0607
0.0405
0.0277
0.0193
0.0136
0.0096
0.0068
0.0062](https://image.slidesharecdn.com/bab-7-penyelesaian-persamaan-diferensial-150418042103-conversion-gate01/85/Bab-7-penyelesaian-persamaan-diferensial-8-320.jpg)
![Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 73
Apabila harga k bergantung pada temperatur menurut persamaan Arhenius
berikut :
RT
.
ek
00095
8
10
dan reaksi yang terjadi bersifat eksotermik (H = 432 kJ/mol) dan
dilaksanakan pada temperatur 500 K, maka persamaan-persamaan neraca
massa dan energi sistem adalah sbb. :
A
A
RT
A
CK
Ce
dt
dC
000.95
8
10
)(
10
000.95
8
H
CK
Ce
dt
dT
Cp
A
A
RT
Jika dan Cp dianggap sama dengan air (1000 kg/m3 dan 4.3 kJ/kg), maka
fungsi furuka menjadi :
function yprime = furuka(t,y)
% menghitung fungsi ruas kanan dari persamaan neraca massa
reaktor batch
Ca = y(1);
T = y(2);
yprime = zeros(2,1);
yprime(1) = - 1E8*exp(-95000/(8.314*T))*Ca/(1.03 + Ca);
yprime(2) = 1E8*exp(-95000/(8.314*T))*Ca/(1.03 +
Ca)*(432*1000)/(1000*4.3);
Kemudian integrasikan dengan batas yang sama :
[t,Y] = ode23('furuka',[0 50],[0.5 500])](https://image.slidesharecdn.com/bab-7-penyelesaian-persamaan-diferensial-150418042103-conversion-gate01/85/Bab-7-penyelesaian-persamaan-diferensial-9-320.jpg)
![Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 76
p
steamp
MC
TTUaTTWC
dt
dT 1101
Analog untuk tangki 2 :
p
steamp
MC
TTUaTTWC
dt
dT 2212
Untuk tangki 3 :
p
steamp
MC
TTUaTTWC
dt
dT 3323
Sintax penulisan program Matlab
Main program
function runlatihan6_4
clear
clc
global W UA M Cp Tsteam To
%nilai-nilai parameter yang diketahui
W=100; % kg/min
UA=10; % kJ/min.C
M=1000; % kg
Cp=2.0; % kJ/kg
Tsteam=250; % C
To=20; % C
%nilai awal T1, T2, dan T3
Tawal=[20 20 20];%oC
%increment waktu
tmulai=0; % min
takhir=90; % min
tspan=[tmulai:5:takhir];
%fungsi untuk menjalankan fungsi MATLAB
[t,Y]=ode45('latihan6_4',tspan,Tawal);
%plot grafik t vs T
plot(t,Y(:,1),'*-r',t,Y(:,2),'o-b',t,Y(:,3),'*-g')
title('Temperature dalam tangki berpengaduk')
xlabel('waktu (min)')
ylabel('T (C)')
[t Y]](https://image.slidesharecdn.com/bab-7-penyelesaian-persamaan-diferensial-150418042103-conversion-gate01/85/Bab-7-penyelesaian-persamaan-diferensial-12-320.jpg)
Bab 7-penyelesaian-persamaan-diferensial
- 1. Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 65 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA A. PENDAHULUAN Bab ini membahas tentang persamaan diferensial biasa. Setelah menyelesaikan pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan akan mampu menyelesaikan persamaan diferensial biasa dengan MATLAB. Secara khusus mahasiswa diharapkan akan mampu menyusun permasalahan fisis dan kimia dalam Teknik Kimia dalam bentuk persamaan diferensial biasa, menyelesaiakan persamaan diferensial biasa dengan fungsi ode45 dalam MATLAB. Persamaan diferensial biasa banyak ditemukan pada pemodelan-pemodelan teknik reaktor, kinetika reaksi kimia, peristiwa-peristiwa perpindahan dan lain-lain. B. PENYAJIAN MATERI Persamaan diferensial muncul dari kajian proses fisis dan kimia dinamis yang memiliki satu variable bebas. Variabel tersebut dapat berupa variable jarak, x atau variabel waktu, t yang bergantung pada geometri sistem dan kondisi batasnya. Sebagai contoh suatu reaksi kimia dengan bentuk: A + B C + D E (7.1) Berlangsung dalam suatu reaktor, neraca massa dapat diterapkan Input + generation = Output + Aacumulation (7.2) Untuk reaktor batch, aliran masuk dan keluar adalah nol, sehinga neraca massa disederhanakan menjadi Laju akumulasi = pembangkitan (7.3) BAB 7
- 2. Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 66 Asumsi bahwa reaksi (7.1) berlangsung dalam fasa cair dengan perubahan volum diabaikan, Jika persamaan (7.3) ditulis untuk setiap komponen yang bereaksi maka akan memiliki bentuk DCBA A CCkCCk dt dC 21 DCBA B CCkCCk dt dC 21 n D m CDCBA C CCkCCkCCk dt dC 321 (7.4) n D m CDCBA D CCkCCkCCk dt dC 321 n D m C E CCk dt dC 3 dimana CA, CB, CC, CD, and CE, menyatakan konsentrasi lima komponen pada reaksi kimia. Reaksi ini merupakan satu set persamaan diferensial non-linier order satu simultan, yang menggambarkan prilaku dinamis reaksi kimia. Dengan metode yang disusun pada bab ini, persamaan ini dengan satu set kondisi awal, dapat diintegrasikan untuk memperoleh profil waktu semua konsentrasi. Kasus lain, anggap pertumbuhan mikroorgnisme, katakan ragi, dalam fermentor kontinyu dengan tipe yang ditunjukkan Gambar di bawah. Gambar 7.1 Fermentor kontinyu
- 3. Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 67 Volume cairan dalam fermentor adalah V, laju alir nutrien ke dalam fermentor adalah Fin, dan laju air produk keluar fermentor adalah Fo. Neraca massa sel X adalah: Input + Pembangkitan = Output + Akumulasi dt VXd XFVrXF outoutxinin )( Neraca massa untuk subtrat S diberikan dengan persamaan : dt VSd SFVrSF outoutSinin )( Neraca volume total adalah dt dV FF outin Jika kita buat asumsi bahwa fermentor tercampur sempurna, yaitu konsentrasi di setiap titik dalam fermentor sama, maka : outXX outSS Dan persamaan disederhanakan menjadi VrXFXF dt VXd xoutinin )( VrSFSF dt VSd Soutinin )( outin FF dt dV Asumsi berikutnya dibuat bahwa laju alir masuk dan keluar fermentor adalah sama, dan laju pembentukan sel dan penggunaan subtrat diberikan oleh : SK SX rx max dan 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10
- 4. Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 68 SK SX Y rS max1 Set persamaan menjadi: SK SX XX V F dt dX in out max SK SX Y SS V F dt dS in out max1 Ini adalah satu set persamaan diferensial biasa simultan, yang menggambarkan dinamik fermentasi kultur kontinyu. Berdasarkan ordenya persamaan diferensial biasa terdiri atas tiga jenis (paling umum ditemukan dalam permasalahan teknik kimia). Orde 1 dy y kx dx Orde 2 2 2 d y dy y kx dx dx Orde 3 23 2 3 2 d y d y dy a b kx dx dx dx Berdasarkan ordenya persamaan diferensial biasa terdiri atas dua jenis. 1. Linier Persamaan umum persamaan diferensial biasa linier dirumuskan sbb: 1 1 11 ... n n o n nn n d y d y dy b x b x b x b x y R x dx dx dx 2. Taklinier Persamaan diferensial biasa yang tidak memenuhi persamaan umum persamaan diferensial biasa linier di muka dikelompokan ke dalam persamaan diferensial biasa tak linier. Salah satu kegunaan MATLAB dalam teknik adalah aplikasinya untuk menyelesaikan persamaan secara numeris persamaan diferensial biasa. MATLAB 7.11 7.12 7.13
- 5. Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 69 memiliki penyelesaian ode yang berbeda yang memungkinkan ode menyelesaikan secara akurat dan efisien tergantung pada tingkat kesulitan (stiffness) ode. Stiffness adalah perubahan relative pada penyelesaian satu persamaan diferensial. Terdapat cara berbeda untuk menyusun dan mengeksekusi penyelesaian ode, namun untuk kali ini suatu sistem yang menggunkanan m-files banyak untuk setiap penyelesaian ode akan diberikan. Dua m-files utama yang diperlukan adalah file eksekusi (run) dan file fungsi. Untuk penyelesaian sutu ode dlam MATLAB semua ode harus didefinisikan dalam suatu fungsi m-file. Ketika memasukkan kedalam file fungsi, persamaan diferensial harus memiliki order satu berbentuk dy/dx = f(y,x). File fungsi harus berisi: 1. Definisi fungsi seperti function dmdt = nama_file(t,m), dimana t adalah variable bebas dan m adalah variable tak bebas order satu. 2. Jika variabel global digunakan, perintah global harus disisipkan setelah definisi fungsi 3. Persamaan diferensial harus dalam bentuk deskripsi di atas, misal: dmdt = f(m,t) Nama file, variable (m dan t), dan dmdt dapat berubah-ubah. Contoh 7.1 Aliran Fluida Suatu fluida dengan densitas tetap mengalir ke dalam tangki besar yang kosong dan tak tentu pada 8 L/s. Sebuah kran dipasang untuk mengatur aliran keluar pada laju tetap 4 L/s. Turunkan dan selesaikan persamaan diferensial yang menggambarkan proses ini, di atas interval 100 detik. Penyelesaian : Neraca massa: Laju Akumulasi = input – Output )48( )( dt Vd Karena densitas konstan, sehingga
- 6. Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 70 )48( )( dt Vd dalam liter per detik. Kondisi awal pada waktu t = 0, volume dalam tangki = 0. Berikut penyelesaan persamaan di atas. File fluida run digunakan untuk mengeksekusi penyelesaian. List penulisan program adalah Grafik yang dihasilkan seperti Gambar 7.1. Gambar 7.2 Plot waktu terhadap volum 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Time (s) volintank(L) fluida function dvdt=fluida(t,v) dvdt=4 to=0; tf=100; tspan=[to tf]; %interval integrasi v0=0 %kondisi awal [t,v]=ode45(’fluida’tspan,v0) plot(t,v(:,1)) Xlabel(‘Time (s)’) Ylabel (‘vol in tank(L)’) Title(‘fluida’)
- 7. Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 71 Contoh 7.2 Simulasi Reaktor Batch Reaktor batch adalah reaktor yang digunakan secara sekali tempuh. Artinya umpan dimasukkan satu kali di awal reaksi dan produk dikeluarkan pada akhir reaksi. Selama reaksi tidak ada umpan yang masuk ataupun produk yang keluar. Kecepatan proses biasanya diukur dari kecepatan pengurangan umpan : A A r dt dC Apabila kecepatan reaksi dapat didefinisikan sebagai : A A A CK kC r maka persamaan diferensial di atas menjadi : A AA CK kC dt dC Jika harga k = 0.01, K = 1.03 dan CA pada t = 0 (awal reaksi) adalah 0.5 mol/liter, maka konsentrasi A setiap waktu dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan diferensial di atas. Catatan : persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan secara analitik karena bersifat tak linier, sehingga harus diselesaikan secara numerik. Langkah pertama, buatlah fungsi yang dapat mengevaluasi fungsi ruas kanan persamaan diferensial tersebut. function yprime = furuka(t,Ca) % menghitung fungsi ruas kanan dari persamaan neraca massa reaktor batch yprime = 0.1*Ca/(1.03 + Ca);
- 8. Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 72 Kemudian langkah berikutnya adalah menggunakan fungsi ode23 atau ode45 yang telah disediakan Matlab untuk menentukan konsentrasi A setiap waktu. [t,Ca] = ode23('furuka',[0 50],0.5) t = 0 1.2240 6.2240 11.2240 16.2240 21.2240 26.0582 30.4158 34.4216 38.2175 41.8888 45.4822 49.0247 50.0000 Ca = 0.5000 0.4611 0.3240 0.2203 0.1456 0.0941 0.0607 0.0405 0.0277 0.0193 0.0136 0.0096 0.0068 0.0062
- 9. Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 73 Apabila harga k bergantung pada temperatur menurut persamaan Arhenius berikut : RT . ek 00095 8 10 dan reaksi yang terjadi bersifat eksotermik (H = 432 kJ/mol) dan dilaksanakan pada temperatur 500 K, maka persamaan-persamaan neraca massa dan energi sistem adalah sbb. : A A RT A CK Ce dt dC 000.95 8 10 )( 10 000.95 8 H CK Ce dt dT Cp A A RT Jika dan Cp dianggap sama dengan air (1000 kg/m3 dan 4.3 kJ/kg), maka fungsi furuka menjadi : function yprime = furuka(t,y) % menghitung fungsi ruas kanan dari persamaan neraca massa reaktor batch Ca = y(1); T = y(2); yprime = zeros(2,1); yprime(1) = - 1E8*exp(-95000/(8.314*T))*Ca/(1.03 + Ca); yprime(2) = 1E8*exp(-95000/(8.314*T))*Ca/(1.03 + Ca)*(432*1000)/(1000*4.3); Kemudian integrasikan dengan batas yang sama : [t,Y] = ode23('furuka',[0 50],[0.5 500])
- 10. Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 74 t = 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Y = 0.5000 500.0000 0.4799 502.0147 0.4585 504.1645 0.4357 506.4621 0.4112 508.9204 0.3850 511.5520 0.3570 514.3673 0.3271 517.3723 0.2953 520.5644 0.2618 523.9267 0.2271 527.4201 Contoh 7.3 Proses Dinamis Pemanasan Fluid Tiga buah tangki yang disusun seri digunakan untuk memanaskan minyak mentah sebelum diumpankan ke fraksinator untuk pemisahan lanjut. Gambar 7.3 Sistem pemanasan minyak
- 11. Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 75 Pada saat awal, masing-masing tangki diisi dengan 1000 kg minyak pada suhu 20 oC. Steam jenuh pada suhu 250 oC dikondensasikan di dalam koil yang tercelup pada masing-masing tangki. Minyak diumpankan ke tangki pertama dengan laju 100 kg/menit dan dialirkan ke tangki kedua maupun tangki dengan laju yang sama. Suhu minyak umpan adalah 20 oC. Tangki dilengkapi pengaduk sehingga pencampuran di dalam tangki dapat dianggap sempurna, dan suhu di dalam tangki seragam. Demikian juga dengan suhu aliran keluar tangki sama dengan suhu di dalam tangki. Kapasitas panas minyak, Cp = 2.0 kJ/kg. Laju perpindahan panas dari steam ke minyak tiap tangki dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut : TTUaQ steam Dimana Ua = 10 kJ/mnt.oC yaitu perkalian antara koefisien transfer panas dan luas area perpindahan panas koil untuk masing-masing tangki. Tentukan suhu steady state di tiap tangki, dan berapa interval waktu yang dibutuhkan agar T3 mencapai 99 % kondisi steady state-nya pada saat start-up ? Petunjuk Penyelesaian : Asumsi : i. Laju alir minyak menuju masing – masing tangki dianggap sama (W0 = W1 = W2 = W3 = W). ii. Densitas minyak konstan, sehingga jumlah (massa dan volum) minyak di dalam masing – masing tangki sama dan konstan (M1 = M2 = M3 = M). Susun neraca panas unsteady state masing – masing tangki. Untuk tangki 1 : Panas Akumulasi = Panas masuk – Panas keluar 110 1 TWCTTUaTWC dt dT MC psteampp Persamaan di atas dapat disusun kembali sebagai berikut :
- 12. Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 76 p steamp MC TTUaTTWC dt dT 1101 Analog untuk tangki 2 : p steamp MC TTUaTTWC dt dT 2212 Untuk tangki 3 : p steamp MC TTUaTTWC dt dT 3323 Sintax penulisan program Matlab Main program function runlatihan6_4 clear clc global W UA M Cp Tsteam To %nilai-nilai parameter yang diketahui W=100; % kg/min UA=10; % kJ/min.C M=1000; % kg Cp=2.0; % kJ/kg Tsteam=250; % C To=20; % C %nilai awal T1, T2, dan T3 Tawal=[20 20 20];%oC %increment waktu tmulai=0; % min takhir=90; % min tspan=[tmulai:5:takhir]; %fungsi untuk menjalankan fungsi MATLAB [t,Y]=ode45('latihan6_4',tspan,Tawal); %plot grafik t vs T plot(t,Y(:,1),'*-r',t,Y(:,2),'o-b',t,Y(:,3),'*-g') title('Temperature dalam tangki berpengaduk') xlabel('waktu (min)') ylabel('T (C)') [t Y]
- 13. Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 77 Sub program function dTdt=latihan6_4(t,Y) global W UA M Cp Tsteam To T1=Y(1); T2=Y(2); T3=Y(3); %persamaan-persamaan diferensial yang terlibat dTdt(1)=((W*Cp*(To-T1))+UA*(Tsteam-T1))/(M*Cp); dTdt(2)=((W*Cp*(T1-T2))+UA*(Tsteam-T2))/(M*Cp); dTdt(3)=((W*Cp*(T2-T3))+UA*(Tsteam-T3))/(M*Cp); dTdt=dTdt'; Gambar 7.4 Proses Dinamis sistem Pemanasan Minyak C. RANGKUMAN a. Persamaan Diferensial Biasa (PDB) persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal b. Dalam bidang Teknik Kimia Persamaan diferensial muncul dari kajian proses fisis dan kimia dinamis yang memiliki satu variable bebas. Variabel tersebut 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 20 25 30 35 40 45 50 55 Temperature dalam tangki berpengaduk waktu (min) T(C)
- 14. Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 78 dapat berupa variable jarak, x atau variabel waktu, t yang bergantung pada geometri sistem dan kondisi batasnya. c. Penyelesaian persamaan diferensial biasa dapat diselesaikan dengan MATLAB menggunakan fungsi ode yang akan diperoleh nilai variabel terikat untuk setiap variabel bebas yang diberikan. D.LATIHAN Latihan 7.1 Simulasi Reaktor Plug Flow Non Isotermal Reaksi perengkahan aston fasa uap, dinyatakn dngan reksi endotermik sebagai berikut: CH3COCH3 CH2CO + CH4 Berlangsung pada reaktor tubular berjaket. Aseton murni masuk reaktor pada suhu To = 1035 K dan tekanan Po = 162 kPa, dan suhu gas eksternal heat exchanger adalah konstan pada T, = 1150 K. Ingin dicari profil suhu sepanjang reaktor dengan tekanan dianggap konstan. Data lain diberikan sebagai berikut: Laju Alir volumetrik vo = 0,002 m3/s Volume reaktor VR = 1 m3 Koef. transfer panas overall U = 110 W/m2 K Luas permukan transfer paas a = 150 2/m3 reaktor Konstanta Laju rekasi k = 3,58 ݁ݔቂ34.222 ቀ ଵ ଵଷହ − ଵ ் ቁቃݏିଵ Panas reaksi : ∆ܪோ = 80770 + 6,8(ܶ − 298) − 5,75 ݔ10ିଷ(ܶଶ − 298ଶ) − 1,27 ݔ10ି(ܶଷ − 298ଷ) ܬ/݉ ݈ Kapasitas panas aseton CpA =26,63 + 0,1830 T - 45,86 x 10-6T2 J/mol.K Kapasitas panas keten CpA =20,04 + 0,0945 T - 30,95 x 10-6T2 J/mol.K Kapasitas panas metana CpA =13,39 + 0,0770 T - 18,71 x 10-6T2 J/mol.K Neraca mol ௗ ௗ = ିಲ ிಲ Neraca energi ௗ் ௗ = ೌ(்ೌି்)ାಲ∆ுೃ ிಲ൫ಲା∆൯ Laju reaksi −ݎ = ݇ܥை ቀ ଵି ଵା ቁ ் ் FAO =CAO.vo ∆CP = CpB + CPC - CPA
- 15. Heri Rustamaji Teknik Kimia Unila 79 E. RUJUKAN 1) Constantinidis dan Mustoufi,1999, Numerical Methodes for Chemical Engineers with MATLAB Application, hal 262-264. Prentice-Hall: Englewood Cfiffs, NJ. 2) Finlayson, B.A., 2006, Introduction to Chemical Engineering Computing, hal 115- 123. John Wiley & Sons Inc., New Jersey 3) Dan Hanselman dan Bruce Littlefield, 1997. MATLAB: Bahasa Komputasi dan Teknis. hal 15 dan 154-165. Andi. Yokyakarta.