Contoh Soal Persamaan Schrodinger dan penyelesaiannya
Download as PPTX, PDF7 likes36,844 views
Dokumen ini membahas solusi persamaan Schrödinger untuk partikel bebas dalam interval tertentu, serta menunjukkan bahwa fungsi gelombang yang diberikan adalah penyelesaian yang memenuhi kondisi tertentu. Selain itu, analisis dilakukan untuk menunjukkan bahwa partikel dalam kotak potensial satu dimensi memiliki keadaan stasioner dengan energi total yang pasti. Akhirnya, dibuktikan bahwa persamaan Schrödinger menjamin hukum kekekalan energi dalam sistem konservatif.
Contoh Soal Persamaan Schrodinger dan penyelesaiannya
- 1. Soal dan Pembahasan (Persamaan Schrödinger)
- 2. Tunjukkan fungsi gelombang berikut 1. 휳 풙, 풕 = ퟐ 풂 퐬퐢퐧 풏흅풙 풂 퐞−퐢푬풏풕 ℏ ; 풙 ≤ 풂 ퟐ 0 ; 풙 ≥ 풂 ퟐ dengan n = 1, 2, 3, ..., merupakan penyelesaian Persamaan ScrhÖdinger bagi partikel bermassam yang hanya bebas bergerak dalam interval - 풂 ퟐ ≤x ≤ 풂 ퟐ . Tentukan pula batasan nilai 푬풏 yang diijinkan !
- 3. Analisis Pernyataan bahwa “partikel hanya dapat bergerak bebas dalam interval -푎 2 ≤x ≤ 푎 2” memiliki arti bahwa partikel tidak mungkin berada di luar interval itu. Dengan kata lain, peluang mendapatkan partikel di luar interval itu sebesar nol. Hal ini hanya dipenuhi jika fungsi gelombang di luar interval - 푎 2 ≤x ≤ 푎 2 bernilai nol. Partikel bebas bergerak dalam interval - 푎 2 ≤x ≤ 푎 2 menunjukkan bahwa partikel tidak mengalami gaya apapun dalam interval itu.
- 4. Jadi, energi potensialnya konstan. Kita lambangi potensial konstan ini dengan 푉0. Dengan demikian, persamaan ScrhÖdinger dalam interval -푎 ∕ 2 ≤x ≤ 푎 2 berbentuk − ℏ2 2푚 휕2Ψ 푥,푡 휕푥2 + 푉0Ψ 푥, 푡 = i ℏ 휕Ψ 푥,푡 휕푡 Untuk menguji apakah benar fungsi gelombang yang diketahui tadi merupakan penyelesaian persamaan ScrhÖdinger, kita substitusikan fungsi gelombang itu ke dalam persamaan terakhir di atas.
- 5. Substitusi ke ruas kiri menghasilkan − ℏ2 2푚 휕2훹 푥,푡 휕푥2 + 푉0훹 푥, 푡 = 푛2휋2ℏ2 2푚푎2 + 푉0 2 푎 푠푖푛 푛휋푥 푎 푒−푖퐸푛푡 ℏ = 푛2휋2ℏ2 2푚푎2 + 푉0 훹 푥, 푡 Substitusi ke ruas kiri menghasilkan 휕훹 푥,푡 푖 ℏ 휕푡 = 푖 ℏ −푖퐸푛 ∕ ℏ 2 푎 푠푖푛 푛휋푥 푎 푒−푖퐸푛푡 ℏ = 퐸푛 2 푎 푠푖푛 푛휋푥 푎 푒−푖퐸푛푡 ℏ = 퐸푛훹 푥, 푡
- 6. Dengan demikian kita dat hubungan 푛2휋2ℏ2 2푚푎2 + 푉0 Ψ 푥, 푡 = 퐸푛Ψ 푥, 푡 . Persamaan terakhir ini menunjukkan bahwa fungsi gelombang tadi dijamin sebagai penyelesaian persamaan ScrhÖdinger bagi partikel yang bebas bergerak dalam interval -푎 2 ≤ x ≤ 푎 2 asalkan tetapan 퐸푛dalam fungsi gelombang itu memenuhi hubungan 퐸푛 = 푛2휋2ℏ2 2푚푎2 + 푉0 Ungkapan ini sekaligus memberikan batasan nilai yang harus dipenuhi oleh 퐸푛.
- 8. − ℏ2 2푚 휕2Ψ 푥,푡 휕푥2 + 푉0Ψ 푥, 푡 = i ℏ 휕Ψ 푥,푡 휕푡 ... persamaan (i) Menentukan nilai 훛ퟐ횿 퐱,퐭 훛퐱ퟐ 휕2Ψ 푥,푡 휕푥2 = 휕 휕푥 휕 휕푥 2 푎 sin 푛휋푥 푎 푒−푖 퐸푛푡 ℏ = 휕 휕푥 푛휋푥 푎 2 푎 cos 푛휋푥 푎 푒−푖 퐸푛푡 ℏ = − 푛휋 푎 푛휋 푎 2 푎 sin 푛휋푥 푎 푒−푖 퐸푛푡 ℏ = − 푛2휋2 푎2 2 푎 sin 푛휋푥 푎 푒−푖 퐸푛푡 ℏ = − 푛2휋2 푎2 Ψ 푥, 푡 ...persamaan (ii)
- 9. Menentukan nilai 흏휳 풙,풕 흏풕 휕Ψ 푥,푡 휕푡 = 휕 휕푡 2 푎 sin 푛휋푥 푎 푒−푖 퐸푛푡 ℏ = −푖 퐸푛 ℏ 2 푎 sin 푛휋푥 푎 푒−푖 퐸푛푡 ℏ = −푖 퐸푛 ℏ Ψ 푥, 푡 ... persamaan (iii) Mensubstitusikan persamaan (ii) dan (iii) ke dalam persamaan (i) − ℏ2 2푚 휕2Ψ 푥,푡 휕푥2 + 푉0Ψ 푥, 푡 = i ℏ 휕Ψ 푥,푡 휕푡 - ℏ2 2푚 푛2휋2 푎2 Ψ 푥, 푡 + 푉0Ψ 푥, 푡 = i ℏ −푖 퐸푛 ℏ Ψ 푥, 푡
- 10. 푛2휋2ℏ2 2푚푎2 훹 푥, 푡 + 푉0훹 푥, 푡 = 퐸푛훹 푥, 푡 푛2휋2ℏ2 2푚푎2 + 푉0 훹 푥, 푡 = 퐸푛훹 푥, 푡 퐸푛 = 푛2휋2ℏ2 2푚푎2 + 푉0 Karena partikel berada pada daerah bebas potensial, maka nilai 푉0 = 0,sehingga diperoleh persamaan: 퐸푛 = 푛2휋2ℏ2 2푚푎2 + 푉0 푬풏 = 풏ퟐ흅ퟐℏퟐ ퟐ풎풂ퟐ
- 11. 2. Fungsi gelombang yang menyatakan keadaan dasar suatu partikel yang terkungkung di dalam potensial “kotak” 1 dimensi adalah: Ψ(푥, 푡) = 2 푎 sin 휋푥 푎 푒−푖 휋2ℏ 2푚푎2 ; 0 ≤ 푥 ≤ 푎 0 ; 푥 ≤ 0 푎푡푎푢 푥 ≥ 푎 Dengan 푚 dan 푎 suatu tetapan. Selidikilah apakah fungsi gelombang tersebut menyatakan keadaan stasioner atau tidak! Hitung nilai harap energi total partikel beserta ketakpastiannya!
- 12. Analisis Fungsi rapat peluang posisi partikel adalah ℘ (x,t) = 2 푎 푠푖푛2 휋푥 푎 ; 0 ≤ 푥 ≤ 푎 0 ; 푥 ≤ 0 푎푡푎푢 푥 ≥ 푎 Ternyata fungsi rapat peluang posisi tersebut tidak bergantung pada waktu. Dengan demikian disimpulkan bahwa fungsi gelombang tersebut menyatakan keadaan stasioner.
- 13. Penyelesaian Nilai Harap Energi Total Karena fungsi gelombang tersebut sudah ternormalkan maka nilaiharap energi dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan: E = ∞ Ψ∗ E Ψ dx −∞ ∞ 2 = −∞ 푎 sin 휋푥 푎 푒푖 휋2ℏ 2푚푎2푡 푖ℏ 휕 휕푡 2 푎 sin 휋푥 푎 푒−푖 휋2ℏ 2푚푎2푡 dx = 2 푎 푖ℏ −푖 ∞ 휋2ℏ 2푚푎2 푡 −∞ 푠푖푛² 휋푥 푎 푑푥 = 2 푎 휋2ℏ² 2푚푎2 푎 2 = 휋2ℏ² 2푚푎2
- 14. Ketakpastian Energi Total Terlebih dahulu menentukan hasil kuadrat dari nilai harap energi total ² = ∞ E Ψ∗ E² Ψ dx −∞ ∞ 2 = −∞ 푎 sin 휋푥 푎 푒푖 휋2ℏ 2푚푎2푡 푖ℏ 휕 휕푡 ² 2 푎 sin 휋푥 푎 푒−푖 휋2ℏ 2푚푎2푡 dx = 2 푎(−ℏ2) − ∞ 휋2ℏ 2푚푎2 ² −∞ 푠푖푛² 휋푥 푎 푑푥 = 2 푎 휋2ℏ² 2푚푎2 2 푎 2 = 휋2ℏ² 2푚푎2 2
- 15. Dari nilai harap energi total dan nilai harap kuadrat energi total tersebut didapatkan nilai ketakpastian energi total sebagai berikut Δ퐸 = 퐸 2 − 퐸 2 = 0 Jadi,nilai harap energi total pada keadaan itu adalah 휋2ℏ2 2푚푎2 dengan ketakpastian sebesar nol. Karena ketakpastiannya nol berarti nilai energi total partikel bersifat pasti. Hal ini dapat memperjelas pernyataan sebelumnya bahwa keadaan stasioner merupakan keadaan dimana enrgi partikel bernilai pasti.
- 16. 3. Tunjukkan bahwa persamaan schrodinger menjamin tetap berlakunya hukum kekekalan energi Hukum kekekalan energi menyatakan bahwa hamiltonian (energi kinetik ditambah energi potensial) sistem konservatif bersifat kekal. Dengan kata lain, hamiltonian sistem tidak berubah terhadap waktu. Oleh sebab itu, untuk menguji apakah persamaan schrodinger menjamin tetap berlakunya hukum kekekalan energi atau tidak, kita selidiki bagaimana nilai harap hamiltonian sistem berubah terhadap waktu.
- 17. Berdasarkan persamaan 푑 푑푡 퐴 Ψ= 1 푖ℏ Â, Ĥ Ψ+ 휕퐴 휕푡 Ψ Perubahan nilai harap terhadap waktu dapat dituliskan 푑 푑푡 퐻 Ψ= 1 푖ℏ 퐻 ,Ĥ Ψ+ 휕퐻 휕푡 Ψ
- 18. Persamaan tersebut menunjukkan bahwa nilai harap hamiltonian sistem konservatif bersifat kekal. Ini berarti bahwa persamaan schrodinger menjamin tetap berlakunya hukum kekekalan energi (secara rata-rata). 퐻 ,퐻 =0 휕퐻 휕푡 = 0 푑 푑푡 퐻 Ψ= 0 퐻 = konstanta