Лекция 5: B-деревья (B-trees, k-way merge sort)

Лекция 5:
B-деревья (B-trees)
Курносов Михаил Георгиевич
к.т.н. доцент Кафедры вычислительных систем
Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики
http://www.mkurnosov.net

Организация дисковой памяти
2
 Жёсткий диск (hard disk drive, HDD) –
это совокупность пластин (platters), которые хранят данные
в концентрических окружностях – дорожках (tracks)
 Данные считываются/записываются головками (heads)
 Пластины и головки приводятся в движение двигателями
 Сектор (Sector) – часть дорожки (минимально адресуемая
единица жесткого диска)
 Кластер (Cluster) – это совокупность секторов дорожки
 Цилиндр (Cylinder) – множество дорожек, размещенных
на одном и том же месте нескольких пластин

3
 Время доступа к сектору (seek time) зависит от скорости
вращения пластин
Количество вращений в минуту
(Revolutions per minute, RPM)
Время доступа
(Rotational latency)
5400 rpm 0.011 сек.
7200 rpm 0.008 сек.
15 000 rpm 0.004 сек.
 Время доступа к оперативной памяти (≈ 10 нс) в 105 раз меньше
времени доступа к диску

Твердотельные накопители (SSD)
4
 Твердотельный накопитель
(Solid state drive, flash drive, SSD) –
это немеханическое запоминающее
устройство на основе микросхем памяти
 Время поиска блока на SSD (seek time) ≈ 0 сек

5
 Для сокращения времени работы с диском данные читают
и записывают блоками – буферизованный ввод/вывод
 В алгоритмах для внешней памяти необходимо учитывать
количество обращений к диску

Структуры данных для внешней памяти
6
 Имеется бинарное дерево поиска (binary search tree),
в котором каждый узел содержит:
 ключ (key) – строка из 32 символов (char[32], 32 байта)
 значение (value) – целое число (int, 4 байта)
 указатели left и right (по 8 байт)
 Имеется сервер с 16 GiB оперативной памяти
 Сколько узлов дерева поместится в оперативную память?

7
 Имеется бинарное дерево поиска (binary search tree),
в котором каждый узел содержит:
 ключ (key) – строка из 32 символов (char[32], 32 байта)
 значение (value) – целое число (int, 4 байта)
 указатели left и right (по 8 байт)
 Имеется сервер с 16 GiB оперативной памяти
 Сколько узлов дерева поместится в оперативную память?
 Узел дерева занимает 32 + 4 + 8 + 8 = 52 байта
 Пусть нам доступны все 16 GiB (оценка сверху):
16 * 2^30 / 52 ≈ 330 382 099 узлов

8
 Как хранить словарь из 1 000 000 000 записей?
 Количество пользователей Facebook (июль 2013):
1 200 000 000
 Количество пользователей Google Gmail (июнь 2012):
425 000 000
 Количсество пользователей ВКонтакте (февраль 2013):
43 000 000
 Решение: использовать внешнюю память –
HDD/SSD-диски, сетевые хранилища

B-дерево (B-tree)
9
 B-дерево (B-tree) – это сбалансированное дерево поиска,
узлы которого хранятся во внешней памяти (например,
на диске HDD/SSD)
 В любой момент времени в оперативной памяти
находится лишь часть B-дерева (размер дерева может
значительно превышать объем оперативной памяти)
 B-деревья используются в файловых системах и системах
управления базами данных (СУБД)
 Авторы Rudolf Bayer и Edward M. McCreight
Boeing Research Labs, USA, 1971
 Буква “В” в названии B-деревьев: Boeing, Bayer, …
 Bayer R., McCreight E. Organization and Maintenance of Large Ordered Indices //
Math. and Information Sciences Report (Boeing Research Labs). – 1970, No. 20.
 Bayer R. Binary B-Trees for Virtual Memory // Workshop on Data Description, Access
and Control, 1971.

10
 Высота B-дерева не превышает O(logn), где n – количество
узлов в дереве
 Узлы B-дерева могут иметь много дочерних узлов –
до тысяч (сильно ветвящиеся деревья)
 Каждый узел B-дерева может содержать больше 1 ключа
 Если внутренний узел содержит k ключей, то у него k + 1
дочерних узлов
Один ключ
Два ключаДва ключа

11
key1, key2, …, key1000
key1, key2, …, key1000 key1, key2, …, key1000 key1, key2, …, key1000
1 2 … 1001
key1, key2, …, key1000 key1, key2, …, key1000 key1, key2, …, key1000
…
…
1 2 … 1001
root
3 уровня
1 + 1001 + 1001 * 1001 = 1 003 003 узлов
1000 + 1001 * 1000 + 1001 * 1001 * 1000 = 1 003 003 000 ключей

12
 B-дерево (B-tree) – это корневое дерево, обладающее
следующими свойствами:
1) Каждый узел содержит поля:
− количество n ключей, хранящихся в узле
− ключи key1, key2, …, keyn, упорядоченные по
не убыванию key1 ≤ key2 ≤ … ≤ keyn
− флаг leaf, равный true, если узел является листом
− внутренний узел содержит n + 1 указателей c1, c2, …, cn+1
на дочерние узлы (листья не имеют дочерних узлов)

13
2) Ключи разделяют диапазоны ключей, хранящихся
в поддеревьях:
если ki – произвольный ключ в поддереве ci, то
k1 ≤ key1 ≤ k2 ≤ key2 ≤ … ≤ keyn ≤ kn+1
3) Все листья расположены на одинаковой глубине,
равной высоте h дерева

14
4) Имеются нижняя и верхняя границы
количества ключей, хранящихся в узле –
минимальная степень t (minimum degree) B-дерева
− корневой узел содержит от 1 до 2t – 1 ключей
− каждый внутренний узел содержит минимум t – 1
ключей и минимум t дочерних узлов
− каждый узел содержит максимум 2t – 1 ключей и
максимум 2t дочерних узлов (за исключением листьев)
− узел заполнен (full), если он содержит 2t – 1 ключей

…
15
root
…t – 1 t – 1
t – 1
…
…t – 1 t – 1
t – 1
…
t – 1
…
…t – 1 t – 1
t – 1
…
…t – 1 t – 1
t – 1
…
t – 1
1Уровень: # узлов 0: 1
1: 2
2: 2t
3: 2t2

2-3-4-дерево (2-3-4 tree)
16
2-3-4-дерево (2-3-4 tree)
t = 2, каждый узел может иметь 2, 3 или 4 дочерних узла

Высота B-дерева
17
 Утверждение. Высота B-дерева с n ≥ 1 ключами
и минимальной степенью t ≥ 2 в худшем случае
не превышает logt((n + 1) / 2)
 Доказательство. Обозначим высоту B-дерева через h.
 Рассмотрим максимально высокое B-дерево:
в корне такого дерева хранится 1 ключ, а в остальных
узлах по t – 1 ключу (минимально возможное количество)
 На уровне 0 размещен один узел (корень) с 1 ключом
 На уровне 1: 2 узла (у каждого по t – 1 ключу)
 На уровне 2: 2t узлов
 На уровне 3: 2t2 узлов
 …
 На уровне h: 2th-1 узлов

18
 Доказательство.
 Тогда, общее количество ключей есть
𝑛 = 1 + 𝑡 − 1 2 + 2𝑡 + 2𝑡2
+ 2𝑡3
+ ⋯ + 2𝑡ℎ−1
=
= 1 + 2 𝑡 − 1 1 + 𝑡 + 𝑡2 + ⋯ + 𝑡ℎ−1
 Сумма h первых членов геометрической прогрессии
𝑆ℎ =
𝑏1(𝑞ℎ − 1)
𝑞 − 1

19
 Доказательство.
 Следовательно,
𝑛 = 1 + 2 𝑡 − 1
𝑡ℎ
− 1
𝑡 − 1
= 2𝑡ℎ
− 1
𝑛 + 1
2
= 𝑡ℎ
𝒉 = 𝐥𝐨𝐠 𝒕
𝒏 + 𝟏
𝟐
 Утверждение доказано.

Операции с B-деревьями
20
 Во всех операциях предполагаем следующее:
o корень B-дерева всегда находится в оперативной
памяти
o для чтения и записи данных на диск используются
процедуры DiskRead и DiskWrite
 Б-дерево минимизирует количество обращений к внешней
памяти (к DiskRead, DiskWrite)

Поиск элемента (Lookup)
21
1) Поиск начинаем с корня дерева. Для заданного ключа k
среди ключей текущего узла
key1 ≤ key2 ≤ … ≤ keyn
отыскиваем первый ключ keyi, такой что k ≤ keyi
2) Если k = keyi, то прекращаем поиск (узел найден)
3) Иначе, загружаем с диска (DiskRead) дочерний узел ci
и рекурсивного обследуем его ключи
4) Если достигли листа (leaf = true), завершаем работу
(ключ не найден)

22
function BTreeLookup(node, key)
i = 1
while i < n AND key > node.key[i] do
i = i + 1
end while
if i <= n AND key = node.key[i] then
return (node, i)
if node.leaf != TRUE then
child = DiskRead(node.c[i])
return BTreeLookup(child, key)
end if
return NULL
end function

23
i = 1
i = i + 1
end while
return (node, i)
end if
return NULL
end function
O(t)
 Количество чтений с диска: 𝑇𝑅𝑒𝑎𝑑 = 𝑂 ℎ = 𝑂(log 𝑡 𝑛)
 Вычислительная сложность: 𝑇 = 𝑂 𝑡ℎ = 𝑂(𝑡 log 𝑡 𝑛)

24
i = 1
i = i + 1
end while
return (node, i)
end if
return NULL
end function
O(t)
Как ускорить поиск ключа в узле?

25
i = 1
i = i + 1
end while
return (node, i)
end if
return NULL
end function
O(t)
Как ускорить поиск ключа в узле?
Двоичный поиск (Binary search) за время O(log2t)
T = O(log2t ∙ logtn)

Создание пустого B-дерева (Create)
26
function BTreeCreate()
node = DiskAllocateNode()
node.leaf = TRUE
node.n = 0
DiskWrite(node)
end function
 Количество дисковых операций: 𝑇 𝐷𝑖𝑠𝑘 = 𝑂 1
 Вычислительная сложность: 𝑇 = 𝑂 1
1) Выделить на диске место для корневого узла
2) Заполнить поля корневого узла

Добавление ключа (Insert)
27
1) Для заданного ключа key находим лист для вставки
нового элемента
2) Если лист не заполнен (ключей меньше или равно 2t – 1),
то вставляем ключ в узел (сохраняя упорядоченность
ключей)
2 4
31 5
B-дерево
Вставка ключа 6

28
3) Если лист заполнен (содержит 2t – 1 ключей), то
разбиваем его (split) на 2 листа по t – 1 ключей –
среди ключей листа key1 ≤ key2 ≤ … ≤ keyn и ключа key
отыскиваем медиану (median key) – средний ключ
разделитель
4) Ключ медиана вставляется в родительский узел.
Если родительский узел заполнен, то он разбивается и
процедура повторяется по описанной выше схеме.
Подъем вверх по дереву может продолжаться до корня

Добавление ключа (Insert) в 2-3 B-дерево
29
4
5 7
62
1 3
5 6
2 4
1 3
5
2 4
1 3
2
1 3 4
2
1 3
1 2
1
Ключ 1
Ключ 2
Ключ 3
разбиение 1, 2, 3
Ключ 4
Ключ 5
Ключ 6
Ключ 7
разбиение 5, 6, 7;

30
 При проходе от корня дерева к искомому листу
разбиваем (split) все заполненные узлы, через которые
проходим (включая лист).
 Это гарантирует, что если понадобится разбить узел,
то его родительский узел не будет заполнен

Разбиение узла (Split)
31
function BTreeSplitNode(node, parent, i)
z = DiskAllocateNode()
z.leaf = node.leaf
z.n = t – 1
/* Половина ключей перемещаются в новый узел */
for j = 1 to t – 1 do
z.key[j] = node.key[t + j]
end for
if node.leaf = FALSE then
for j = 1 to t do
z.c[j] = node.c[t + j]
end for
end if

Разбиение узла (Split)
/* В node остается меньшая половина ключей */
node.n = t – 1
/* Вставляем ключ в родительский узел */
for j = parent.n + 1 downto i + 1 do
parent.c[j + 1] = parent.c[j]
end for
parent.c[i + 1] = z
for j = parent.n downto i do
parent.key[j + 1] = parent.key[j]
end for
parent.key[i] = node.key[t]
parent.n = parent.n + 1
DiskWrite(node)
DiskWrite(z)
DiskWrite(parent)
end function
32
TSplitNode = O(t)
TDisk = O(1)

33
function BTreeInsert(root, key)
if root.n = 2t – 1 then
newroot = DiskAllocateNode()
newroot.leaf = FALSE
newroot.n = 0
newroot.c[1] = root
BTreeSplitNode(root, newroot, 1)
return BTreeInsertNonfull(newroot, key)
end if
return BTreeInsertNonfull(root, key)
end function

function BTreeInsertNonfull(node, key)
i = node.n
if node.leaf = TRUE then
while i > 1 AND key < node.key[i] do
node.key[i + 1] = node.key[i]
i = i - 1
end while
node.key[i + 1] = key
node.n = node.n + 1
DiskWrite(node)
else
while i > 1 AND key < node.key[i] do
i = i - 1
end while
i = i + 1
DiskRead(node.c[i])
34

35
if node.c[i].n = 2t – 1 then
BTreeSplitNode(node.c[i], node, i)
if key > node.key[i] then
i = i + 1
end if
end if
node = BTreeInsertNonfull(node.c[i], key)
end if
return node
end function
 Вычислительная сложность вставки ключа в B-дерево
в худшем случае (разбиваем узлы на каждом уровне):
𝑇 = 𝑂 𝑡ℎ = 𝑂(𝑡 log 𝑡 𝑛)
 Количество дисковых операций:
𝑇 𝐷𝑖𝑠𝑘 = 𝑂 ℎ = 𝑂(log 𝑡 𝑛)

Удаление ключа (Delete)
36
 Находим узел, содержащий искомый ключ key
 Если ключ key находится в листе, то удаляем ключ из него
 Если количество ключей стало меньше t – 1, выполняем
восстановление свойств B-дерева
 …
Изучить самостоятельно [CLRS, С. 530]

Виды B-деревьев
37
 B+-дерево (B+-tree) – это B-дерево, в котором только листья
содержат информацию, а внутренние узлы хранят только
ключи
 Примнение: храннеие
 B*-дерево (B*-tree) – это B-дерево, в котором каждый узел
(за исключением корня) должен содержать не менее 2/3
ключей, а не 1/2 как в B-дереве

Применение B-деревьев
38
 B+-деревья:
o индексация метаданных в файловых системах
NTFS, ReiserFS, NSS, XFS, JFS
o индексы таблиц в СУБД IBM DB2, Informix, Microsoft
SQL Server, Oracle 8, Sybase ASE, SQLite

Реализация 2-3-4 B-tree
39
/* Minimum degree of B-tree */
#define T 2 /* 2-3-4 B-tree */
struct btree {
int leaf;
int nkeys;
int *key;
int *value;
struct btree **child;
};

Реализация B-tree
40
struct btree *btree_create()
{
struct btree *node;
node = malloc(sizeof(*node));
node->leaf = 1;
node->nkeys = 0;
node->key = malloc(sizeof(*node->key) *
2 * T - 1);
node->value = malloc(sizeof(*node->value) *
2 * T - 1);
node->child = malloc(sizeof(*node->child) *
2 * T);
return node;
}

void btree_lookup(struct btree *tree, int key,
struct btree **node, int *index)
{
int i;
for (i = 0; i < tree->nkeys && key > tree->key[i]; ) {
i++;
}
if (i < tree->nkeys && key == tree->key[i]) {
*node = tree;
*index = i;
return;
}
if (!tree->leaf) {
/* Disk read tree->child[i] */
btree_lookup(tree, key, node, index);
} else {
*node = NULL;
}
} 41

struct btree *btree_insert(struct btree *tree,
int key, int value)
{
struct btree *newroot;
if (tree == NULL) {
tree = btree_create();
tree->nkeys = 1;
tree->key[0] = key;
tree->value[0] = value;
return tree;
}
if (tree->nkeys == 2 * T - 1) {
newroot = btree_create(); /* Create empty root */
newroot->leaf = 0;
newroot->child[0] = tree;
btree_split_node(tree, newroot, 0);
return btree_insert_nonfull(newroot, key, value);
}
return btree_insert_nonfull(tree, key, value);
} 42

void btree_split_node(struct btree *node,
struct btree *parent, int index)
{
struct btree *z;
int i;
z = btree_create();
z->leaf = node->leaf;
z->nkeys = T - 1;
for (i = 0; i < T - 1; i++) {
z->key[i] = node->key[T + i];
z->value[i] = node->value[T + i];
}
if (!node->leaf) {
for (i = 0; i < T; i++)
z->child[i] = node->child[i + T];
}
node->nkeys = T - 1;
43

/* Insert median key into parent node */
for (i = parent->nkeys; i >= 0 && i <= index + 1; i--)
parent->child[i + 1] = parent->child[i];
parent->child[index + 1] = z;
for (i = parent->nkeys - 1; i >= 0 && i <= index; i--) {
parent->key[i + 1] = parent->key[i];
parent->value[i + 1] = parent->value[i];
}
parent->key[index] = node->key[T - 1];
parent->value[index] = node->value[T - 1];
parent->nkeys++;
/* Write to disk: node, z, parent */
}
44

struct btree *btree_insert_nonfull(
struct btree *node, int key, int value)
{
int i;
i = node->nkeys;
if (node->leaf) {
for (i = node->nkeys - 1; i > 0 &&
key < node->key[i]; i--)
{
node->key[i + 1] = node->key[i];
}
node->key[i + 1] = key;
node->nkeys++;
} else {
45

for (i = node->nkeys - 1; i > 0 &&
key < node->key[i]; )
{
i--;
}
i++;
if (node->child[i]->nkeys == 2 * T - 1) {
btree_split_node(node->child[i], node, i);
if (key > node->key[i])
i++;
}
node = btree_insert_nonfull(node->child[i],
key, value);
}
return node;
}
46

int main()
{
struct btree *tree;
tree = btree_insert(NULL, 3, 0);
tree = btree_insert(tree, 12, 0);
return 0;
}
47

Внешняя сортировка слиянием
48
 Внешняя сортировка (External sorting) – это класс алгоритмов
сортировки, которые оперируют данными размещенными на внешней
памяти
 Как отсортировать 300 GiB данных на жестком диске
имея 2 GiB оперативной памяти?

49
памяти
1. Загружаем блок размером 2 GiB в оперативную память
2. Сортируем блок (MergeSort, QuickSort, CountingSort, …) и сохраняем
на нешнюю память (диск)
3. Повторяем шаги 1 и 2, пока на получим 300 / 2 = 150 отсортированных
блоков на внешней памяти
4. Создаем в оперативной памяти 151 буфер по 13 KiB (2 GiB / 151 ≈ 13 KiB)
5. Загружаем в 150 буферов по 13 KiB из отсортированных блоков, 151-й
буфер – это выходной блок
6. В выходной блок сливаем (merge) данные из 150 буферов и записываем
его на внешнюю память
7. Повторяем шаги 5 и 6 пока не сольем все 150 блоков

50
памяти
1. Загружаем блок размером 2 GiB в оперативную память
2. Сортируем блок (MergeSort, QuickSort, CountingSort, …) и сохраняем
на нешнюю память (диск)
3. Повторяем шаги 1 и 2, пока на получим 300 / 2 = 150 отсортированных
блоков на внешней памяти
4. Создаем в оперативной памяти 151 буфер по 13 KiB (2 GiB / 151 ≈ 13 KiB)
5. Загружаем в 150 буферов по 13 KiB из отсортированных блоков, 151-й
буфер – это выходной блок
6. В выходной блок сливаем (merge) данные из 150 буферов и записываем
его на внешнюю память
7. Повторяем шаги 5 и 6 пока не сольем все 150 блоков
k-way merge sort
k = 300 GiB / 2 GiB = 150
150-way merge sort

Задания
51
 Рассмотреть применение B-деревьев в файловых
системах – что содержит поле “ключ” (key)
и поле “значение” (value)
 Привести пример значения t, используемого в файловой
системе Btrfs
 Изучить применение B-деревьев в системах управления
базами данных (MySQL, PostgreSQL, Microsoft SQL Server,
IBM DB2 и др.): какие задачи они решают, что хранится
в поле “ключ” (key) и поле “значение” (value)

Лекция 5: B-деревья (B-trees, k-way merge sort)

Recommended

More Related Content

What's hot (12)

Viewers also liked (20)

Similar to Лекция 5: B-деревья (B-trees, k-way merge sort) (20)

More from Mikhail Kurnosov (20)

Лекция 5: B-деревья (B-trees, k-way merge sort)