Expresiones algebraicas katiuska mendez maria santeliz 0403
- 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS, FACTORIZACIÓN Y RADICALIZACIÓN Katiuska Alexandra Méndez Álvarez C.I V-26.797.199 María Laura Santeliz Piñango C.I V-27.008.304 República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Barquisimeto – EDO-LARA
- 2. DESARROLLO Como parte de nuestro crecimiento es muy importante desarrollar temas pertenecientes a la matemática la cual es la ciencia que estudia las propiedades de los números y la relación que establecen entre ellos, por esta razón y siguiendo nuestras líneas estudiaremos las expresiones algebraicas que no son más que una combinación de letras y números. Siendo este un tema tan esencial y sobreentendido como un tema difícil desarrollaremos sus conceptos básicos, practicando los conceptos aprendidos a través de la realización de una serie de ejercicios que varían desde la suma y resta, valor numérico, multiplicación y división cabe destacar que estos mismos serán desarrollados de una manera práctica y didáctica para su mejor entendimiento. De igual manera resolveremos algunos ejercidos de productos notables de expresiones algebraicas y factorización por productos notables abarcando así un amplio contenido del mismo con la intensión de generar conocimientos a corto y largo plazo.
- 3. BIBLIOGRAFÍA Enciclopedias •La enciclopedia del estudiante tomo 11: matemáticas 1- 1ª Ed – Buenos aires: Santillana, 2006 •La enciclopedia del estudiante tomo 16: matemáticas 2- 1ª Ed – Buenos aires: Santillana, 2006 Páginas web •https://www.ejemplode.com/5-matematicas/4670-ejemplo_de_suma_algebraica.html#ixzz6lpqOUlyx •https://definicion.de/resta-algebraica/ •https://ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/5-division-algebraica/ •https://ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/suma-algebraica/ •https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/polinomios.html •https://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/08/50b.-EXPRESIONES-ALGEBRAICAS-ENTERAS.pdf • https://sites.google.com/site/expresionesalgebraicasalex/contenido/pr oductos-notables-1
- 4. DEFINICIONES DE CONCEPTOS ¿Que son las expresiones algebraicas? Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas. 8x-78z ¿Qué es la suma? Operación aritmética que consiste en reunir varias cantidades en una sola; se representa con el signo de (+) 1 + 4 + 9 = 14
- 5. ¿Qué es la suma de expresiones algebraicas? Es una de las operaciones fundamentales y la más básica, sirve para sumar monomios y polinomios, La suma algebraica sirve para sumar el valor de dos o más expresiones algebraicas como se trata de expresiones que están compuestas por términos numéricos y literales con exponentes. 2x + 4x ¿Qué es la suma de monomios? La suma de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un polinomio Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la suma 2x + 4x, el resultado será un monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este caso, sin exponente). En este caso sumaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos casos, es lo mismo que multiplicar por x: 2x + 4x = (2+4) x = 6x
- 6. ¿Qué es la resta de expresiones algebraicas? Consiste en establecer la diferencia existente entre dos elementos, Se dice que la resta algebraica es el proceso inverso de la suma algebraica. Lo que permite la resta es encontrar la cantidad desconocida que, cuando se suma al sustraendo (el elemento que indica cuánto hay que restar), da como resultado el minuendo (el elemento que disminuye en la operación). ¿Qué es el valor numérico de expresiones algebraicas? El valor numérico de una expresión algebraica es el numérico que resulta de sustituir las letras por números. ¿Qué es la multiplicación de expresiones algebraicas? La multiplicación algebraica de monomios y polinomios consiste en realizar una operación entre los términos llamados multiplicando y multiplicador para encontrar un tercer término llamado producto. (a + 3) por (3 – a)
- 7. ¿Qué es la multiplicación de monomios por polinomios? La multiplicación de monomios por polinomios consiste en multiplicar el término del monomio por cada uno de los términos que contiene el polinomio 2a por (b + a2) ¿Qué es la multiplicación de polinomios por polinomios? Se recomienda acomodar en forma de columnas, se multiplican los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en consideración “la ley de los signos”, y el acomodo de los términos semejantes. (5 + 3a + 2a2 + 4b) por (5a + b) ¿Qué es la división de expresiones algebraicas? La división algebraica es una operación entre dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor para obtener otra expresión llamado cociente por medio de un algoritmo.
- 8. ¿Qué es la factorización? Se le llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicados entre si dan como producto la primera expresión. Así, multiplicando a por a+b tenemos que; a(a+b)=𝑎2 + 𝑎𝑏 A y a+b, que multiplicadas entre si dan como producto 𝑎2 + 𝑎𝑏, son factores o divisores de 𝑎2 + 𝑎𝑏 También podríamos observar que; (x+2) (x+3)=𝑥2 + 5𝑥 + 6, luego x+2 y x+3 son factores de 𝑥2 + 5𝑥 + 6 ¿Qué son los monomios? Son aquellas expresiones matemáticas donde solo existe como únicos operadores a la potenciación, multiplicación entre variables (parte literal) y coeficientes, tal que los exponentes de las variables sean números naturales, es decir, aquellos números que sirven para contar Por ejemplo: ¿Qué son los polinomios? Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de un número finito de monomios.
- 9. Productos Notables Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Cuadrado de la diferencia de dos cantidades a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
- 10. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados) (a + b) (a – b) = a2 – b2 Producto de dos binomios con un término común, de la forma: x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b) Producto de dos binomios con un término común, de la forma: x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b) Producto de dos binomios con un término común, de la forma: x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b)
- 11. Producto de dos binomios con un término común, de la forma: mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b) Cubo de una suma (Cubo de binomio) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3. Cubo de una diferencia a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3 Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)3.
- 12. Producto notable Expresión algebraica Nombre (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Binomio al cuadrado (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Binomio al cubo a 2 - b 2 = (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + b 2 + ab) Diferencia de cubos a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 + b 2 - ab) Suma de cubos a 4 - b 4 = (a + b) (a - b) (a 2 + b 2 ) Diferencia cuarta (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado
- 13. APLICACIÓN DE EJERCICIOS Sumas y Restas de Monomios Suma 5X+5X = 10X 1xy+5xy = 6xy Resta 5a-a=4ª 3xyz+5xyz-xyz = 7xyz Multiplicación de polinomios 15 ay . 2a = (15. 2) (a.a) .y = 30 a2y -2 vc. -3vcx= (-3.-2) .(v.v) .(c.c). x= 6 v2 c2 x Multiplicación de Monomios 5 · (2x²y³z) = 10x²y³z= (5x²y³z) · (2y²z²) = (2 · 5) x²y3+2z1+2 = 10x²y5z³ 4(2x²y³z) = 8x²y³z= 4x · (3x²y) = 12x³y Cuadrado de la suma de dos cantidades a) 𝒎 + 𝟑 𝟐 = 𝒎𝟐 + 𝟐 𝒎 𝟑 + 𝟑𝟐 𝒎𝟐 + 𝟔𝒎 + 𝟗 B) (a²x+by²) ²= (a²x) ² + 2 (a²x)(by²) + (by²) ² 𝒂𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝟐𝒃𝒙𝒚𝟐 + 𝒃𝟐𝒚𝟒 Cuadrado de la diferencia de dos cantidades a) 𝒂 − 𝟑 𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐 𝒂 𝟑 + (𝟑)𝟐 =𝒂𝟐 − 𝟔𝟗 + 𝟗 b) 𝟏𝟎𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝒚𝟓 𝟐 = 𝟏𝟎𝒙𝟑 𝟐 − 𝟐 𝟏𝟎𝒙𝟑 𝟗𝒙𝒚𝟓 + (𝟗𝒙𝒚𝟓)𝟐 𝟏𝟎𝟎𝒙𝟔 − 𝟏𝟖𝟎𝒙𝟒𝒚𝟓 + 𝟖𝟏𝒙𝟐𝒚𝟏𝟎
- 14. Productos de suma por diferencia de dos cantidades a) 𝒂 + 𝒚 𝒙 − 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝒚 + 𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 b) (𝟑𝒙𝟗 − 𝟓𝒚𝒎 )(𝟓𝒚𝒎 + 𝟑𝒙𝟗 ) = 𝟏𝟓𝒙𝟗 𝒚𝒎 + 𝟗𝒙𝟐𝟗 − 𝟐𝟓𝒚𝟐𝒎 − 𝟏𝟓𝒙𝒂 𝒚𝒎 = 𝟗𝒙𝟐𝟗 − 𝟐𝟓𝟒𝟐𝒎 Cubo de un binomio a) 𝒙 − 𝟐 𝟑 = 𝒙𝟑 − 𝟑(𝒙)𝟐 𝟐 + 𝟑(𝒙)(𝟐)𝟐 − (𝟐)𝟑 = 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟖 b) 𝒚𝒏 + 𝟑 𝟑 = (𝒚𝒏)𝟑 + 𝟑(𝒚𝒏)𝟐 𝟑 + 𝟑 𝒚𝒏 𝟑𝟐 + (𝟑)𝟑 = 𝟔𝟒𝒏𝟑 + 𝟏𝟒𝟒𝒏𝟐 + 𝟑𝟐𝟒𝒏 + 𝟐𝟕 Producto de dos binomios de forma (x+a)(x+b) a) 𝒙 + 𝟐 𝒙 + 𝟒 = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟖 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟖 b) 𝒙 + 𝟓 𝒙 − 𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓𝒙 − 𝟏𝟎 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 Factorización de polinomios por productos notables a) 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟒 = (𝟒𝒙 + 𝟐)(𝟒𝒙 − 𝟐) 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟖𝒙 − 𝟒 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟒 b) 𝟒𝟒𝟐 + 𝟖𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟐 = (𝟐𝟒 + 𝟐𝒙)𝟐 = (𝟐𝟒)𝟐 + 𝟐 𝟐𝟒 𝟐𝒙 + (𝟐𝒙)𝟐 = 𝟒𝟒𝟐 + 𝟖𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟐 Coeficiente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades a) 𝟗−𝒙𝟒 𝟑−𝒙𝟐 = 𝟑 + 𝒙𝟐 b) 𝟏−𝟗𝒙𝟐𝒎+𝟒 𝟏+𝟑𝒙𝒎+𝟐 = 𝟏 − 𝟑𝒙𝒎+𝟐