Logika matematika
- 1. Logika matematika Pernyataan Pernyataan di dalam logika matematika adalah sebuah kalimat yang di dalamnya terkandung nilai-nilai yang dapat dinyatakan 'benar' atau 'salah' namun kalimat tersebut tidak bisa memiliki kedua-duanya (salah dan benar). Sebuah kalimat tidak bisa kita nyatakan sebagai sebuah pernyataan apabila kita tidak bisa menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah dan bersifat relatif. Di dalam logika matematika di kenal dua jenis pernyataan yaitu pernyataan tertuutp dan terbuka. Pernyataan tertututp adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai benar-salahnya. Pernyataan terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai benar salahnya. Agar lebih mudah memahaminya, perhatikan contoh berikut ini: 30 + 5 = 35 (sudah pasti benar/pernyataan tertutup) 30 x 5 = 200 (sudah pasti salah/pernyataan tertutup) Buah maja rasanya pahit (harus dibuktikan dahulu/ pernyataan terbuka) Jarak antara anyer dan jakarta adalah jauh (pernyataan relatif) Negasi / pernyataan ingkaran Negasi atau biasa disebut dengan ingkaran adalah kalimat berisi sanggahan, sangkalan, negasi biasanya dibentuk dengan cara menuliskan kata-kata 'tidak benar bahwa...' di depan pernyataan yang disangkal/sanggah,. Seperti pada contoh yang ada di bawah ini: Pernyataan A : Becak memiliki roda tiga buah Negasi dari pernyataan A : Tidak benar bahwa becak memiliki roda tiga buah Pernyataan Majemuk Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi , konjungsi , implikasi , dan biimplikasi berikut masing-masing penjelasannya: Konjungsi Di dalam logika matematika, dua buah pernyataan dapat digabungkan dengan menggunakan simbol (^) yang dapat diartikan sebagai ‘dan’ . Tabel berikut ini menunjukan logika yang berlaku dama sistem konjungsi: p q P ^ q Logika matematika B B B Jika p benar dan q benar maka p dan q adalah benar B S S Jika p benar dan q salah maka p dan q adalah salah S B S Jika p salah dan q benar maka p dan q adalah salah S S S Jika p salah dan q salah maka p dan q adalah salah Dari table di atas dapat diambil kesimpulan bahwa di dalam konsep konjungnsi, kedua pernyataan haruslah benar agar dapat dianggap benar selain itu pernyataan akan dianggap salah. Disjungsi Selain menggunakan 'dan', dua buah pernyataan di dalam logika matematika dapat dihubungkan dengan simbol (v) yang diartikan sebagai 'atau'. Untuk memahaminya, perhatikan tabel di bawah ini:
- 2. p q P v q Logika matematika B B B Jika p benar dan q benar maka p atau q adalah benar B S B Jika p benar dan q salah maka p atau q adalah benar S B B Jika p salah dan q benar maka p atau q adalah benar S S S Jika p salah dan q salah maka p atau q adalah salah Karena di dalam disjungsi menggunakan konsep ‘atau’ artinya apabila salah satu atau kedua pernyataan memiliki nilai benar maka logika matematikanya akan dianggap benar. Pernyataan akan dianggap salah bila keduanya memiliki nilai salah. Implikasi Implikasi merupakan logika matematika dengan konsep kesesuaian. Kedua pernyataan akan dihubungkan dengan menggunakan simbol ( => ) dengan makna 'jika p ... Maka q ...'. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan dalam tabel berikut: p q P v q Logika matematika B B B Jika awalnya BENAR lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR B S S Jika awalnya BENAR lalu akhirnya SALAH maka dianggap SALAH S B B Jika awalnya SALAH lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR S S B Jika awalnya SALAH lalu akhirnya SALAH maka dianggap BENAR Biimplikasi Di dalam biimplikasi, pernyataan akan dianggap benar bila keduanya memilki nilai sama-sama benar atau sama-sama salah. Selain itu maka pernyataan akan dianggap salah. Biimplikasi ditunjukan dengan symbol () dengan makna ‘ p ….. Jika dan hanya jika q …..' p q P v q Logika matematika B B B P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap benar) B S S P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap salah) S B B P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap salah) S S B P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap benar) Ekuivalensi pernyataan majemuk Ekuivalensi pernyataan majemuk artinya persesuaian yang bisa diterapkan dalam konsep-taan majemuk yang telah di jelaskan di atas. dengan begitu kita dapat mengetahui negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga biimplikasi. konsep ekuivalensi dinyatakan dalam rumus-rumus tertentu seperti yang ada pada gambar di bawah ini:
- 3. Konvers, Invers dan Kontraposisi Konsep ini dapat diterapkan dalam sebuah pernyataan implikasi. Setiap pernyataan implikasi memiliki sifat Konvers, Invers dan Kontraposisi seperti yang ada pada gambar bawah ini: Kuantor pernyataan Pernyataan berkuantor adalah bentuk pernyataan di mana di dalamnya terdapat konsep kuantitas. Ada dua jenis kuantor yaitu kuanor universal dan kuantor eksistensial. Kuantor universal digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep setiap atau semua. Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep ada, sebagian, beberapa, atau terdapat. Ingkaran dari pernyataan berkuantor Pernyataan berkuantor juga memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial begitu jugas sebaliknya. Seperti pada contoh di bawah ini: Penarikan Kesimpulan
- 4. Kesimpulan dapat dilakukan dengan menelaah premis atau pernyataan-pernyataan yang kebenarannya telah dketahui. Perhatikan beberapa konsep penarikan kesimpulan di dalam logika matematika berikut ini: 1. Pernyataan Yang dimaksud dengan pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus kedua-duanya (benar dan salah). Dan suatu kalimat bukan pernyataan jika kita tidak dapat menentukan kalimat tersebut benar atau salah atau mengandung pengertian relatif. Terdapat dua jenis pernyataan matematika yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka. Pernyataan tertutup merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti sedangkan pernyataan terbuka yaitu pernyataan yang nilai kebenarannya belum pasti. untuk lebih jelasnya perhatikan contoh dibawah ini. contoh :
- 5. 6×5 = 30 ( pernyataan tertutup yang benar ) 6+5=10 ( pernyataan tertutup yang salah ) gula putih rasanya manis ( pernyataan terbuka ) Jarak jakarta bandung adalah dekat ( bukan pernyataan, karena dekat itu relatif ) 2. Ingkaran Pernyataan ( negasi ) Ingkaran merupakan pernyataan yang menyangkal yang diberikan. Ingkaran pernyataan dapat dibentuk dengan menambah ‘Tidak benar bahwa …’ didepan pernyataan yang diingkar dinotasikan ~. contoh : pernyataan B : Sepeda motor beroda dua negasi pernyataan B : tidak benar sepeda motor beroda dua 3. Pernyataan Majemuk 3.1. Konjungsi suatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘dan’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘ p dan q ‘ yang disebut dengn konjungsi nyang dilambangkan dengan Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi pernyataan majemuk konjungsi. Jika menemukan suatu pernyataan, kita pasangkan saja dengan tabel disamping sehingga kita dapat menemukan bagaimana kalimat majemuk konjungsinya. 3.2. Disjungsi suatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘atau’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘ p atau q’ yang disebut dengn disjungsi yang dilambangkan dengan Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat majemuk disjungsi.
- 6. sehingga jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk disjungsi kita tinggal lihat tabel, cari mana yang cocok maka kita akan menemukan bagaimana bentuk kalimat majemuk disjungsinya. 3.3. Implikasi suatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘jika maka’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘ jikap maka q’ yang disebut dengan implikasi dan dilambangkan dengan Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat majemuk implikasi. sehingga jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk implikasi kita tinggal lihat tabel disamping, cari mana yang cocok maka kita akan menemukan bagaimana bentuk kalimat majemuk implikasinyanya. 3.4. Biimplikasi suatu pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung ‘jika dan hanya jika’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘ p jika dan hanya jika q’ yang disebut dengan biimplikasi dan dilambangkan dengan Tabel disamping menunjukan beberapa pernyataan yang digabungkan menjadi kalimat majemuk biimplikasi. sehingga jika kita menemukan suatu pernyataan dan akan kita jadikan kalimat majemuk biimplikasi kita tinggal lihat tabel disamping, cari mana yang cocok maka kita akan menemukan bagaimana bentuk kalimat majemuk biimplikasinyanya. Maka kita akan lebih mudah dalam menyelesaikan soal yang nanti akan kita hadapi. 4. Ekuivalensi pernyataan-pernyataan majemuk
- 7. Ekuivalensi dari pernyataan-pernyataan majemuk ini sangat penting. Kita harus tahu bentuk negasi dari konjungsi, negasi dari disjungsi dan lain sebagainya dalam menyelesaikan berbagai bentuk pernyataan yang nantinya akan muncul. Jadi kita harus hafal bentuk euivalensi pernyataan- pernyataan majemuk disamping. Maka kita akan lebih mudah dalam menyelesaikan berbagai tipe soal yang nantinya akan kita temui. Alangkah baiknya kita hafal ekuivalensi pernyataan-pernyataan disamping. Tidak perlu bingung dan terbebani, kunci dari matematika adalah hafal rumus dan bisa menggunakannya. Jika kita sering latihan soal maka secara otomatis kita akan hafal, dan pastinya kita akan mudah menggunakan rumus tersebut jika diterapkan dalam soal. 5. Konvers, Invers dan Kontraposisi Dari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi tersebut 6. Pernyataan Berkuantor Pernyataan berkuantor merupakan pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas. Ada 2 macam yaitu : 6.1 Kuantor Universal Dalam pernyataan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan ∀(dibaca untuk semua atau untuk setiap). contoh : ∀ x R, x>0 dibaca untuk setiap x anggota bilangan riil maka berlaku x>0. 6.2 Kuantor Eksistensial Dalam pernyataan kuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada, beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor eksistensial dilambangkan dengan ∃ ( dibaca ada, beberapa, terdapat, sebagian ) contoh : ∀ x R, x+5>1 dibaca terdapat x anggota bilangan riil dimana x+5>1. 7. Ingkaran dari pernyataan berkuantor Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial, begitu juga sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan berkuantor universal. contoh : p : beberapa siswa SMA rajin belajar
- 8. ~p : semua siswa SMA tidak rajin belajar 8. Penarikan Kesimpulan Penarika kesimpulan dilakukan dari beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya yang disebut premis. Kemudian dengan menggunakan prinsip-prinsip yang ada diperoleh pernyataan yang baru yang disebut kesimpulan/konklusi yang diturunkan dari premis yang ada. Penarikan kesimpulan seperti itu sering disebut dengan argumentasi. Suatu argumentasi dikatakan sah Jika premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar. Terdapat 3 metode dalam penarikan kesimpulan, yaitu : 8.1 Modus ponens premis 1 : p →q premis 2 : p ( modus ponens) __________________ Kesimpulan: q Arti Modus Ponens adalah “jika diketahui p → q dan p, maka bisa ditarik kesimpulan q“. sebagai contoh : premis 1 : Jika bapak datang maka adik akan senang premis 2 : bapak datang __________________ Kesimpulan: Adik senang 8.2 Modus Tollens premis 1 : p →q premis 2 : ~q ( modus tollens) __________________ Kesimpulan: ~p Modus Tollens berarti “jika diketahu p → q dan ~q, maka bisa ditarik kesimpulan ~p“. sebagai contoh : premis 1 : Jika hari hujan, maka adik memakai payung premis 2 : Adik tidak memakai payung ___________________ Kesimpulan : Hari tidak hujan 8.3 Silogisme premis 1 : p→q premis 2 : q → r ( silogisme) _________________ Kesimpulan: p →r Silogisme berarti “jika diketahu p → q dan q→r, maka bisa ditarik kesimpulan p→r“. sebagai contoh : Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik.
- 9. Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik maka semua orang tidak senang. __________________________________________________ Kesimpulan: Jika harga BBM naik, maka semua orang tidak senang. Catatan Tambahan: Hukum de Morgan: ¬(p Λ q) ≡ (¬p V ¬q) ¬(p V q) ≡ (¬p Λ ¬q) Ekuivalensi implikasi: (p → q) ≡ (¬p V q)