Sub grup normal dan grup fakto

1
STRUKTUR ALJABAR
SUBGRUP NORMAL DAN GRUP FAKTOR
TEOREMA CAUCHY
A. Subgrup Normal
Pada Bab ini akan dibahas mengenai himpunan faktor yang merupakan suatu grup
dengan perkailan yang didefinisikan dalam G. Misalkan G adalah merupakan suatu grup
dengan H adalah merupakan subgrup dari G dan relasi a b mod Hadalah sustu relasi
ekivalensi pada G. Akan kita tunjukkan himpunan faktor yang merupakan suatu grup
dengan perkalian yang didefinisikan dalam G berlaku bila dan hanya bila koset kiri dari H
dalam G, aH = {ah, h ∈ H } sama dengan koset kanan Ha = {ha, h ∈ H }.
1. Definisi-definisi
Definisi I:
Misalkan H adalah suatu Subgrup dari Grup G, Subgrup H dikatakan Subgrup
Normal dari G bila ghg-1 ∈ H untuk setiap g ∈ G dan h ∈H.
Definisi 2:
Misalkan H adalah suatu Subgrup Normal dari Grup G, maka setiap koset kiri dari H
dalam G juga merupakan koset kanannya (aH = Ha)
Dari definisi di atas dapat dikatakan untuk menentukan bahwa suatu Subgrup H
adalah Subgrup Normal dari Grup G, maka harus dibuktikan bahwa koset-koset
kiri dari H dalam G sama dengan koset- koset kanan dari H dalam G (aH = Ha).
2. Teorema-teorema
Teorema 1:
Apabila H subgrup dari G, maka H Δ G jika dan hanya jika untuk setiap g ∈ G dan
untuk setiap h ∈ H, ghg-1 ∈ H.
Bukti:
Misalkan H Δ G maka gH=Hg, untuk setiap g ∈ G, sehingga gHg-1 = H.
Apabila h ∈ N, maka ghg-1 ∈ gHg-1, sehingga ghg- 1 ∈ H, untuk setiap g ∈ G.
Sebaliknya, apabila untuk setiap g ∈ G dan untuk setiap h ∈ H, ghg- 1 ∈ H,
maka ghg- 1 (g) ∈ H, yaitu gh ∈ Hg. Karena gh ∈ gH, maka gH ⊂ Hg. Dari

2
ghg- 1 ∈ H, untuk setiap g ∈ G, karena g-1 ∈ G, maka g-1hg ∈ H, sehingga g(g-
1hg) ∈ gH, yaitu hg ∈ gH. Tetapi, karena hg ∈ Hg, maka Hg ⊂ gH. Jadi
gH=Hg.
Teorema 2:
Apabila H subgrup dari G, maka H Δ G jika dan hanya jika hasil kali setiap dua koset
kanan (kiri) dari H dalam G merupakan koset kanan (kiri) dari H dalam G juga.
Bukti:
Misalkan H Δ G, maka Ha=aH dan Hb = bh, untuk setiap a,b ∈ G
(Ha)(Hb) = H(aH)b
= HHab
= (HH)ab
= Hab, karena H subgrup dari G
Karena a,b ∈ G, maka ab ∈ G. Sehingga Hab ∈ G/H, yaitu Hab suatu koset
kanan dari H dalam G. Sebaliknya ambil sembarang (h1a) (h2b) ∈ (Ha) (Hb)
dengan h1, h2 ∈ H dan (h1a) (h2b) = (h1a h2a-1) ab =h3ab, maka a h2a-1 ∈ H
untuk a ∈ G, ini berarti H subgrup normal dari G.
Teorema 3:
Jika G suatu grup berhingga dan H subgrup dari G, maka ◦(G/H)= ◦G/◦H
Bukti :
◦(G/H) = iG(H), yaitu banyaknya koset kanan dari H dalam G. Menurut
teorema langrange, karena G grup berhingga dan H subgrup dari G, maka ◦(H)
| ◦(G), maka ◦(G/H)=◦(G)/◦(H).
Contoh:
Misalkan (G,+) = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu Grup dan
H = {0, 2, 4} adalah merupakan Subgrup dari G. Tunjukan apakah H termasuk
subgrup normal dari G atau bukan ?
Jawab :
(G,+) = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, generatornya 0, 1, 2, 3, 4 dan 5
Koset kiri :
0 + H = 0 + {0, 2, 4} = {0, 2, 4}
1 + H = 1 + {0, 2, 4} = {1, 3, 5}
2 + H = 2 + {0, 2, 4} = {2, 4, 0}
18

3
3 + H = 3 + {0, 2, 4} = {3, 5, 1}
4 + H = 4 + {0, 2, 4} = {4, 0, 2}
5 + H = 5 + {0, 2, 4} = {5, 1, 3}
Koset kanan:
H + 0 = {0, 2, 4} + 0 = {0, 2, 4}
H + 1 = {0, 2, 4} + 1 = {1, 3, 5}
H + 2 = {0, 2, 4} + 2 = {2, 4, 0}
H + 3 = {0, 2, 4} + 3 = {3, 5, 1}
H + 4 = {0, 2, 4} + 4 = {4, 0, 2}
H + 5 = {0, 2, 4} + 5 = {5, 1, 3}
Sehingga :
0 + H = H + 0 = {0, 2, 4}
1 + H = H + 1 = {1, 3, 5}
2 + H = H + 2 = {2, 4, 0}
3 + H = H + 3 = {3, 5, 1}
4 + H = H + 4 = {4, 0, 2}
5 + H = H + 5 = {5, 1, 3}
Maka : koset kiri = koset kanan
sehingga : Subgrup dari H = {0,2,4} merupakan Subgrup Normal
B. Grup Faktor
Jika H adalah merupakan Subgrup Normal dari Grup (G,*) dan G/N adalah
himpunan semua koset-koset kiri atau koset-koset kanan dari N dalam G, yang
didefinisikan : (gH)*(nH) = (g*n)H. Dari penjelasan tersebut, maka adapun definisi dari
Grup Faktor .
Definisi :
Bila H adalah Subgrup Normal dari Grup (G,*), himpunan dari koset- koset G/H = {H*g |
g ∈ G} membentuk Grup (H/G,*) yang didefinisikan oleh H(g1) * H(g2) = H(g1 * g2),
disebut Grup Faktor G oleh H.
Orde dari Grup Faktor (G/H,*) adalah banyaknya koset-koset dari H dalam G,
sehingga :

4
Ind|G/H| = Ind|G : H| =
H
G
.
Contoh :
Dari soal pada contoh diatas diketahui bahwa koset kanan sama dengan koset kiri
yaitu :
0 + H = H + 0 = {0, 2, 4}
1 + H = H + 1 = {1, 3, 5}
2 + H = H + 2 = {2, 4, 0}
3 + H = H + 3 = {3, 5, 1}
4 + H = H + 4 = {4, 0, 2}
5 + H = H + 5 = {5, 1, 3} Sekarang Tentukan Grup Faktor dari G oleh H, yaitu
(G/H) ?
Jawab :
Karena Subgrup dari H = {0,2,4} merupakan Subgrup Normal
Jadi
Ind|G/H| = Ind|G : H| =
H
G
=
3
6
= 2, Unsur-unsur dari Grup Faktor tersebut adalah 2.
Misalkan kita ambil koset kiri :
0 + H = {0, 2, 4}
1 + H = {1, 3, 5}
2 + H = {2, 4, 0}
3 + H = {3, 5, 1}
H + 4 = {4, 0, 2}
H + 5 = {5, 1, 3}
Maka :
0 + H = 2 + H = 4 + H = {0, 2, 4}
1 + H = 3 + H = 5 + H = {1, 3, 5}
Unsur-unsur dari Grup Faktor tersebut adalah 2 :
0 + H = {0, 2, 4} = H
1 + H = {1, 3, 5}
Sehingga G / H = { H, 1+H }

5
RANGKUMAN
1. Bila G adalah suatu grup berhingga, dan H adalah merupakan subgrup dari G,
maka banyaknya kosetyang berbeda dari H dalam G (disebutindeks dari H dalam
G), yaitu :
Ind | G : H | =
H
G
2. Misalkan H adalah suatu Subgrup dari Grup G, Subgrup H dikataka Subgrup
Normal dari G bila g-1hg ∈ H untuk setiap g ∈G dan h ∈H Misalkan H adalah
suatu Subgrup Normal dari Grup G, maka setiap kosetkiri dari H dalam G juga
merupakan kosetkanannya (aH = Ha).
3. Bila H adalah Subgrup Normal dari Grup (G,*), himpunan dari koset- kosetG/H =
{H*g | g ∈ G} membentuk Grup (H/G,*) yang didefinisikan oleh H(g1) * H(g2) =
H(g1 * g2), disebutGrup Faktor G oleh H
Tabel Grup Faktor G = Z6 oleh H = {0, 2, 4}
+ H 1+H
H H 1+H
1+H 1+H H
KeyWords:
SubgrupNormal  Koset kiri = Koset Kanan (aH=Ha)
GrupFaktor  Ind|G/H|= Ind|G:H| = dan G/H

6
Latihan
1. Jika H subgrup dari grup berhingga G, buktikan bahwa :
   
 H
G
HiG



2. Misalkan S3 = {(1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}, yaitu grup simetri tingkat 3
dan H = {(1), (1 2)} subgrup dari grup S3, tuliskan semua elemen dari
H
S3
dan berapa
indeks dari H dalam S3
3. Misalkan (G, x) = { e, a1, a2, a3, a4, a5 } adalah Suatu Grup dan H = { e, a2, a4 } adalah
merupakan subgrup dari G. Tunjukkan :
a. Apakah H merupakan subgrup normal ?
b. Grup faktor dari G oleh H, yaitu ( G/H ) ?
4. Diketahui G = {1,2,3,4}, dengan perkalian modulo 5, dan H = {1,4}, dimana H < G.
Tentukan:
a. iG(H)
b. Koset-koset kiri
c. Koset-koset kanan
d. G/H
5. Diberikan S = {1,2,3}, dengan fungsi komposisi:







321
321
 , 






312
321
 , 






123
321
 , dan   ,,H







231
321
 , 






132
321
 






213
321

Tentukan: a. iG(H). b. Koset-koset Kiri H.
c. Koset-koset kanan H d. G/H.

7
TEOREMA CAUCHY
Dalam grup simetri kita telah mempelajari orbit dari suatu elemen yang
dipermutasikan misalkan S suatu himpunan yang tidak kosong dan A(S) adalah himpunan
semua pemetaan bijektif dari S kedirinya sendiri. Jika a, b ∈ S didefinisikan relasi a ~ b jika
dan hanya jika fn (a) = b, dengan suatu bilangan bulat dan f ∈ A(S), maka telah menunjukkan
bahwa relasi-relasi adalah suatu relasi ekuivalensi Sehingga mengakibatkan terbentknya
partisi pada S dan terdapat kelas-kelas ekuivalensi dalam S.
A. Pengertian Orbit
Orbit dari a oleh f adalah kelas [a] ={ x∈ S| x =fn a, n∈ B}. Apabila fka=a, untuk suatu
bilanan bulat k, maka fkt(a)=a,untuk semua bilangan bulat t.
Definisi:
Misalkan G suatu grup dan himpunan tak kosong X. Suatu tindakan dari G pada X adalah
suatu representasi permutasi: G ! Sx. Umumnya ditulis gx untuk (g)(x). Fakta bahwa _
adalah suatu homomorpisma berarti bahwa g(hx) = (gh)x untuk semua g; h 2 G dan x 2 X
sedangkan ex = x dengan e 2 G adalah elemen identitas.
Berkenaan dengan sebarang x 2 X ada Gx _ X dan suatu subgrup G(x) dari G yang
didifinisikan sebagai berikut:
a. Gx = fgx j g 2 Gg dinamakan orbit dari dari x.
b. G(x) = fg 2 Gj gx = xg dinamakan stabiliser dari x.
Misalkan x1; x2 2 X dikatakan bahwa x1 berelasi dengan x2 yaitu x1 _ x2 bila ada g 2
G yang memenuhi gx1 = x2. Relasi ini adalah relasi ekivelen. Kelas ekivelen dari x1
adalah Gx1.
Berikutnya misalkan x1 _ x2 dan x2 _ x3, maka untuk g1; g2 2 G yang sesuai didapat
g1x1 = x2 dan g2x2 = x3. Sehingga diperoleh (g2g1)x1 = g2(g1x1) = g2x2 = x3. Jadi
x1 _ x3. Selanjutnya kelas dari x1 adalah fgx1 jg 2 Gg = Gx1.
B. Teorema-teorema
Teorema 1:

8
Jika f ∈ A(S) dan °(f) = p (prima), maka orbit dari sembarang elemen S oleh f mempunyai
1 atau p elemen.
Bukti:
Misalkan a∈S dan (f)a = a, maka orbit dari a oleh f hanya terdiri dari a sendiri,
sehingga hanya mempunyai satu elemen. Misalkan bahwa f (a) ≠ a, dan elemen-
elemen a, f(a), …,fp-1 (a) adalah elemen-elemen yang berbeda satu dengan lainnya dan
membentuk orbit dari a oleh f. sebab jika tidak, maka fi(a) = fj(a) dengan 0≤ i< j≤ p-
1, akan memberikan fj-i(a) = a. Jika j-i = m dengan 0<m≤p-I, maka fm(a) = a. karena p
prima maka (m, p) =1 sehingga ada bilangan-bilangan bulat u, v sedemikian hingga
mu + pv = 1.
Teorema 2:
Misalkan G suatu grup berhingga, p suatu bilangan prima dan p⃒ ° (G), maka memuat
elemen yang berperiode p.
Bukti:
Jika p = 2 maka ° (G) genap, sehingga G memuat elemen yang berperiode 2, sehingga
diasumsikan bahwa p ≠ 2.
Misalkan S adalah himpunan semua pasangan terurut p-tupel (a1, a2, …,ap-1, ap) dengan
a1,…, ap ∈ G dan a1, a2 … ap-1 ap = e. Apabila ° (G = n maka S mempunyai np-1
elemen.
Perhatikan bahwa jika a1a2 … ap-1 ap = e, maka ap a1a2 … ap-1 = e (sebab jika xy = e maka
yx = e). kita membentuk pemetaan f : S → S yang didefinisikan oleh f (( a1, a2, …, ap))
= (ap a1 a2 … ap-1). Maka f suatu pemetaan bijektif, sehingga f ∈ A (S). jelas bahwa f≠
i (pemetaan identitas ) dan fp = I atau ° (f)= p.
Teorema 3:
Misalkan G grup berorder pq dengan p dan q dua bilangan prima yang berbeda dan p>q.
jika a∈G °(a)= p dan H = (a), maka H⊲ G.
Bukti:
H = (a), maka H subgroup dari G dan karena °(a) = p, maka °(H) = p.
H adalah satu-satunya subgroup dari G yang berorder p. sebab, jika K subgroup dari G
dan °(K) = p, maka HK = {xy⃒x∈H dan y∈K} berorder p2, yaitu HK akan memuat p2
elemen yang berbeda. Sebab apabila ac=bd dengan a,b ∈H dan c, d ∈K maka b-1a =
22

9
dc-1 dan b-1a∈H, dc-1 ∈K serta b-1a ∈H∩K. karena H ≠ K dan H∩K subgrup dari H
dan karena °(H) = p maka H∩K = {e}. Jadi b-1a = e, yaitu a= b. begitu pula c = d.
Teorema 4:
Jika G suatu grup, aG dan (a) = m, bG dan  (b) = n dan ab = ba serta (m, n) = 1
maka (ab) = mn.
Bukti:
Misalkan H = (a) subgroup dari G dan (H) = m. K = (b) adalah subgrup dari G dan 
(K) = n. Karena (m, n) = 1, maka H  K = {e}, sebab menurut teorema Lagrange  (H
 K) | m dan (H  K) | n. Sedemikian hingga (ab)t = e. Karena ab = ba, maka (ab)t =
at bt = e atau at = b-t
(H  K) = {e}, hal ini dikarenakan at = e dan  (a) = m, maka m |
t. Karena (b-t)-1 = bt = e, dan (b) = n, maka n | t.
Selanjutnya karena (m, n) = 1, m | t dan n | t maka mn | t, sehingga mn  t. Karena
(ab)mn = amn bmn = e dan (ab) = t maka t | mn dan t  mn. Sehingga t = mn. Jadi, 
(ab) = mn.
Contoh:
Misalkan G suatu grup dan  (G) = 15, maka G mempunyai elemen-elemen yang
berorder 5 dan 3. Misalnya a, bG dan (a) = 5,  (b) = 3. Maka b-1ab = at dengan 0
 t < 5. Sehingga
b-2 ab2 = b-1 (b-1ab)b = b-1 at b = (b-1 ab)t = (at)t = a
2
t
sejalan dengan ini diperoleh b-3 ab3 =
3
t
a , tetapi karena b3 = e (karena  (b) = 3), maka
3
t
a = a, sehingga
3
t
a -1 = e dan karena (a) = 5), maka 5 | t3 -1, yaitu t3 1 (mod 5).
Selanjutnya, oleh teorema Fermat, t4 1 (mod 5), maka diperoleh t 1 (mod 5) dan
karena 0  t < 5, maka t = 1. Jadi b-1 ab = at = a yang berarti bahwa ab = ba.
Selanjutnya, karena (a) = 5 dan (a) = 3, maka menurut teorema 3,  (ab) = 15. Ini
berarti G adalah grup siklik dengan generator ab.
Teorema 5:
Misalkan G suatu grup yang berorder pq dengan p dan q primab dan p > q. Apabila q
tidak habis membagi p – 1, maka G siklik.
Bukti:
Karena (G) = pq dengan p dan q prima dan p > q, menurut teorema Cauchy, ada a, b
G dengan (a) = p dan (b) = q dan akibatnya b-1ab = at untuk suatu t dengan 0 < t

10
< p. Seperti argumentasi pada contoh di atas diperoleh bahwa b-r abr = a
r
t
, untuk
setiap bilangan bulat r 0. Demikian pula b-q abq =
a
q
t
, tetapi karena bq = e (sebab (b) = q), maka a
q
t
= a atau a
1tq

= e dan karena  (a) =
p, maka p | tq-1, sehingga tq 1(mod p).
Menurut teorema Fermat, karena p prima dan (t, p) = 1 (sebab 0 < t < p) maka tp-1 
1(mod p), karena q tidak habis membagi (p - 1) maka (p -1, q) = 1, sehingga ada m, n
B sedemikian hingga m(p – 1) + nq = 1, sehingga
t1  tm(p-1)+nq (mod p)
 (tp-1)m (tq)n (mod p)
t  1 (mod p) dengan 0 < t < p
jadi t = 1
Maka b-1ab = at = a sehingga ab = ba. Selanjutnya menurut teorema 4 maka  (ab) =
pq, dank arena (G) = pq, maka G adalah grup siklik.
Contoh :
a) Misalkan diketahui s = {1,2}
Mencari :
A1 = ( 1 2, 1 2 )
A2 = ( 1 2 , 2 1 )
Orbit a1 = (1)
Orbit a2 = (2)
Sehingga s2 = G = {a1, a2}
= {(1) , (1 2) }
P = 2
o(G) / p = 2/2 = 1
b) Misalkan G suatu Grup dan ° (G) =15. Maka G mempunyai elemen-elemen yang
berorder 5 dan 3. Misalnya a,b ∈ G dan ° (a) = 5, ° (b) = 3, maka b-1ab=at, dengan
0 ≤ t ≤ 5 sehingga:
b-2ab= b-1(b-1ab)b= b-1atb = (b-1ab)t = (at)t
Sejalan dengan ni diperoleh b-3ab3 = at3 , tetapi karena b3 = e (karena° (b)=3 ),
maka at3 = a, sehingga (((at)t)t-1= e dan karena ° (a) = 5, maka 5 |t3-1, yaitu t3 
1(mod 5). Selanjutnya, t4 1(mod 5) mka diperoleh t  1(mod 5) dan karena 0 ≤
t ≤ 5,maka t=1 . Jadi b-1ab = at = a yang berarti bahwa ab=ba. Selanjutnya , karena
Key Words
Teorema CauchyG berhingga,P
prima, P|G, P G

11
° (a) = 5, ° (b) = 3, maka manurut teorema B.3 ° (ab) = 15. Ini berarti grup siklik
dengan generator ab.
Latihan 7.1
1. Buktikan bahwa grup yang berorder 35 adalah siklik !
2. Tentukan order dari S3= {1,2,3} dengan S3 =n !
Rangkuman
Teorema Cauchy merupakan hipunan G yang berhingg dan P merupakan prima
dimana P habis membagi order dari G atau cardinal G sehingga G memuat elemen
order P

Sub grup normal dan grup fakto

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Sub grup normal dan grup fakto (20)

More from Yadi Pura (18)

Recently uploaded (20)

Sub grup normal dan grup fakto