X matematika peminatan kd 3.2_final (2)
- 1. Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2 @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 37 KEGIATAN PEMBELAJARAN 3 Ruang Lingkup Vektor pada Bangun Ruang A. Tujuan Pembelajaran Setelah kegiatan pembelajaran 3 ini diharapkan Anda dapat: 1. Menghitung modulus vektor bila diberikan suatu vektor pada bangun ruang. 2. Menentukan vektor posisi suatu vektor pada bangun ruang. 3. Menyatakan bahwa dua vektor pada bangun ruang sama. 4. Menentukan negatif dari suatu vektor pada bangun ruang. 5. Menyatakan pengertian vektor nol pada bangun ruang. 6. Menentukan vektor satuan pada bangun ruang. B. Uraian Materi Setelah pada pembelajaran 1 dan 2 Anda mempelajari vektor pada bidang (R2), pada pembelajaran 3 kita kembangkankan pembahasan kita mengenai vektor pada bangun ruang (R3). Vektor pada bangun ruang (dimensi tiga) adalah vektor yang memiliki 3 buah sumbu yaitu X, Y dan Z yang saling tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbu sebagai pangkal perhitungan vektor 𝑝 pada bangun ruang dapat dituliskan dalam bentuk : 1. Koordinat Cartesius P = (x, y, z) P(x, y, z) Gambar 3.1 Vektor pada Bangun Ruang 2. Vektor kolom p ⃗ = ( x y z ) atau vektor baris p ⃗ = (x, y, z) 3. Kombinasi linear vektor satuan (vektor basis) 𝑝 = 𝑥. 𝑖 + 𝑦. 𝑗 + 𝑧. 𝑘 ⃗ dengan 𝑖 = ( 1 0 0 ) , 𝑗 = ( 0 1 0 ) dan 𝑘 ⃗ = ( 0 0 1 ) 𝑖 = vektor satuan dalam arah OX (searah sumbu X) 𝑗 = vektor satuan dalam arah OY (searah sumbu Y) 𝑘 ⃗ = vektor satuan dalam arah OZ (searah sumbu Z)
- 2. Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2 @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 38 Contoh 1: Pada gambar balok disamping, nyatakanlah vektor-vektor berikut ini dalam bentuk persamaan vektor dan vektor kolom. a. 𝐸𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ b. 𝐷𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Alternatif penyelesaian: a. 𝐸𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐸𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝐶𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐹𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 3 Gambar 3.2 𝐸𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = −3𝑖, dengan 𝑖 vektor satuan searah sumbu X 𝐷𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑗, dengan 𝑗 vektor satuan searah sumbu Y 𝐸𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = −3𝑖 + 4𝑗 Jadi persamaan vektor 𝐸𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = −3𝑖 + 4𝑗 Vektor kolom: 𝐸𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( −3 4 0 ) b. 𝐷𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑖 𝐸𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑗 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑂𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝑘 ⃗ , dengan 𝑘 ⃗ vektor satuan searah sumbu Z 𝐷𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑖 + 4𝑗 + (−2𝑘 ⃗ ) = 3𝑖 + 4𝑗 − 2𝑘 ⃗ Jadi persamaan vektor 𝐷𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑖 + 4𝑗 − 2𝑘 ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Vektor kolom: 𝐷𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 3 4 −2 ) Panjang Vektor (Modulus Vektor) Mari kita perhatikan gambar berikut: Gambar 3.3 Panjang (Modulus) Vektor
- 3. Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2 @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 39 Komponen vektor 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ searah sumbu X sebesar xB – xA, komponen vektor 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ yang searah sumbu Y sebesar yB – yA, dan komponen vektor 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ yang searah sumbu Z sebesar zB – zA. Besar vektor 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah panjang 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ dan disebut modulus vektor 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ . Perhatikan vektor 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ merupakan diagonal ruang maka panjang 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah: |𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴) 2 + (𝑧𝐵 − 𝑧𝐴)2 Contoh 2: Diketahui balok OABC.DEFG dimana O adalah pusat koordinat Cartesius. Jika panjang sisi OA = 4 cm, OC = 7 cm dan OD = 5 cm. Tentukanlah : a. Persamaan vektor 𝐸𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ b. Panjang vektor 𝐸𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ Alternatif Penyelesaian: Perhatikan gambar berikut: Gambar 3.4 Vektor pada bangun ruang balok. a. Persamaan vektor 𝐸𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ =vektor basis dari vektor 𝐸𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐸𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑂𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 5 cm, |𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 7 cm, |𝐵𝐶| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 4 cm 𝐸𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐺𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 5(−𝑘 ⃗ ), dengan 𝑘 ⃗ vektor satuan searah sumbu Z. 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 7𝑗, dengan 𝑗 vektor satuan searah sumbu Y 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 4(−𝑖), dengan 𝑖 vektor searah sumbu X 𝐸𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = −5𝑘 ⃗ + 7𝑗 − 4𝑖 = −4𝑖 + 7𝑗 − 5𝑘 ⃗ b. Panjang vektor 𝐸𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐸𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | 2 = |𝐸𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ | 2 + |𝐺𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | 2 = |𝐸𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 + |𝐷𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2 + |𝐺𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =(−4)2 + 72 + (−5)2 = 16 + 49 + 25 = 90 |𝐸𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √90 = 3√10 Vektor Posisi Vektor pada bangun ruang dapat digambarkan pada ruang koordinat Cartesius. Setiap titik P pada ruang dapat dinyatakan sebagai vektor 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ , yaitu vektor yang berpangkal di titik O(0,0,0) dan berujung di titik P. Vektor 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ disebut vektor posisi dari titik P pada
- 4. Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2 @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 40 P(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) ruang koordinat Cartesius. Koordinat titik P merupakan komponen-komponen dari vektor posisi 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ tersebut. Perhatikan gambar berikut: Gambar 3.5 Pada gambar di atas vektor posisi 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ mempunyai komponen searah sumbu X sebesar 𝑥1, komponen searah sumbu Y sebesar 𝑦1 dan komponen searah sumbu 𝑍 sebesar 𝑧1. Vektor posisi 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑝 = ( 𝑥1 𝑦1 𝑧1 ) dan dalam bentuk vektor basis adalah 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑝 = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘 ⃗ . Contoh 3: Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(0, 3, 5), B(2, 4, 6), dan C(4, 3, 1). Tentukan: a. Vektor posisi titik A, B dan C. b. Vektor 𝑝 yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B c. Vektor 𝑞 yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C d. Vektor 𝑟 yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C e. Keliling segitiga ABC Alternatif Penyelesaian: a. Vektor 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal O ke titik A. Vektor 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏 ⃗ mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal O ke titik B. Vektor 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐 mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal O ke titik C. 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 = ( 0 3 5 ), 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏 ⃗ = ( 2 4 6 ) dan 𝑂𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐 = ( 4 3 1 ) b. 𝑝 = 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏 ⃗ − 𝑎 = ( 2 4 6 ) − ( 0 3 5 ) = ( 2 1 1 ) c. 𝑞 = 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐 − 𝑏 ⃗ = ( 4 3 1 ) − ( 2 4 6 ) = ( 2 −1 −5 ) d. 𝑟 = 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐 − 𝑎 = ( 4 3 1 ) − ( 0 3 5 ) = ( 4 0 −4 ) e. Keliling segitiga ABC = |𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | + |𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | + |𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √22 + 12 + 12 = √6
- 5. Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2 @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 41 𝑎 𝑏 ⃗ 𝑐 𝑑 |𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √22 + (−1)2 + (−5)2 = √30 |𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √42 + 02 + (−4)2 = √32 Jadi, keliling segitiga ABC = |𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ | + |𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | + |𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √6 + √30 + √32. Kesamaan Vektor Dua vektor dalam ruang dikatakan sama jika mempunyai besar dan arah yang sama. Perhatikan gambar berikut: Gambar 3.6 Kesamaan Vektor Vektor 𝑎, 𝑏 ⃗ , 𝑐, dan 𝑑 pada gambar di atas tampak sejajar dan memiliki panjang yang sama. Vektor 𝑎, 𝑏 ⃗ , 𝑐, dan 𝑑 adalah vektor yang sama karena mempunyai besar dan arah yang sama. Misal: 𝑎= 3 2 1 a a a atau 𝑎 = a1𝑖 + a2𝑗 + a3𝑘 ⃗ ,dan 𝑏 ⃗ = 3 2 1 b b b atau 𝑏 ⃗ = b1𝑖 + b2 𝑗+ b3𝑘 ⃗ 𝑎= 𝑏 ⃗ jika dan hanya jika a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3 . Vektor Negatif Vektor di ruang yang besarnya sama dengan vektor 𝑢 ⃗ tetapi arahnya berlawanan disebut vektor negatif dari 𝑢 ⃗ dan ditulis sebagai−𝑢 ⃗ .Perhatikan gambar berikut. Gambar 3.7 Vektor Negatif
- 6. Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2 @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 42 Vektor 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ dengan vektor 𝑆𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ memiliki panjang yang sama dan arah saling berlawanan. Vektor 𝑆𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ merupakan lawan (negatif) dari vektor 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ . Contoh 4: Diketahui vektor 𝑢 ⃗ = ( 3 4 5 ), tentukan negatif dari vektor 𝑢 ⃗ . Alternatif jawaban: Negatif dari vektor 𝑢 ⃗ adalah −𝑢 ⃗ , maka −𝑢 ⃗ = − ( 3 4 5 ) = ( −3 −4 −5 ) Vektor Nol Yang dimaksud dengan vektor nol adalah vektor yang besarnya nol atau tidak mempunyai panjang (berupa titik). Vektor nol tidak mempunyai arah tertentu. Vektor nol dilambangkan dengan 0 ⃗ = ( 0 0 0 ). Pada koordinat ruang Cartesius, vektor nol adalah titik O(0,0,0). Vektor Satuan Vektor yang mempunyai panjang 1(satu) satuan disebut vektor satuan. Vektor satuan dari vektor 𝑎 didefinisikan vektor 𝑎 dibagi dengan besar vektor 𝑎 sendiri, yang dirumuskan dengan 𝑒 = 𝑎 ⃗ |𝑎 ⃗ | Contoh 5: Tentukan vektor satuan dari vektor 𝑎 = 5 4 2 . Alternatif Penyelesaian : Panjang vektor 𝑎 adalah 𝑎 = 5 25 ) 5 ( 4 2 2 2 2 = = + + Jadi, vektor satuan vektor 𝑎 adalah 𝑒 = 𝑎 ⃗ |𝑎 ⃗ | = 1 5 5 4 2 = ( 2 5 4 5 √5 5 ) dan Panjang vektor 𝑒 adalah | 𝑒 | = √( 2 5 ) 2 + ( 4 5 ) 2 + ( √5 5 ) 2 = √ 4 25 + 16 25 + 5 25 = √ 25 25 = 1 C. Rangkuman ❖ Modulus (panjang) vektor pada bangun ruang adalah besar dari vektor yang merupakan panjang segmen garis berarah yang menyatakan vektor tersebut. ❖ Modulus vektor 𝑎 = ( 𝑎1 𝑎2 𝑎3 ) dinyatakan dengan |𝑎| = √𝑎1 2 + 𝑎2 2 + 𝑎3 2 ❖ Vektor posisi adalah vektor yang menyatakan kedudukan setiap titik di ruang koordinat Cartesius. Vektor posisi berpangkal di titik O(0,0,0) dan berujung di titik pada ruang koordinat.
- 7. Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2 @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN 43 ❖ Dua vektor dikatakan samajika mempunyai besar dan arah yang sama. Vektoryang besarnya sama dengan 𝑢 ⃗ tetapi arahnya berlawanan dengan 𝑢 ⃗ dikatakan vektor negative 𝑢 ⃗ . ❖ Vektor nol adalah vektor yang besarnya nol dan tidak mempunyai arah. ❖ Vektor satuan adalah vektor yang besarnya 1. Vektor satuan yang searah dengan suatu vektor 𝑣 ditentukan dengan rumus: 𝑒 = 𝑣 ⃗ |𝑣 ⃗ | D. Latihan Soal 1. Tentukan modulus dari vektor-vektor berikut. a. 𝑢 ⃗ = − − 3 5 4 b. 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ dengan titik A (–2 , 3 , –1) dan titik B (2 , 1 , –4) 2. Diketahui titik P (2 , 5 , –4) dan Q (1 , 0 , –3). Tentukan : a. Koordinat titik B jika 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ sama dengan vektor 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ dan titik A(2 , –2 , 4) b. Koordinat titik S jika 𝑅𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ merupakan negatif vektor 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ jika titik R(–1 , 3 , 2) 3. Tentukan vektor satuan dari vektor-vektor berikut. a. 𝑢 ⃗ = ( 0 0 −1 ) b. 𝑣 ⃗⃗⃗ = ( −1 1 −1 ) c. 𝐶𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ dengan C(3 , –2 , 1) dan D(2 , –2 , 1) d. 𝐹𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ dengan F(2 , 1 , 2) dan G(2 , 0 , 3) 4. Tentukan besar vektor berikut beserta vektor satuannya. a. 𝑣 = 1 4 2 b. 𝑤 ⃗⃗ = −𝑖 + 5𝑗 + 𝑘 ⃗ c. 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ = − 5 0 3 5. Gambarlah vektor dengan titik P (2 , -3 , 1) dan Q (1 , 3 , -2) a. Hitung modulus vektor 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ b. Buat vektor negatif dari 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ , kemudian hitung modulusnya/besarnya !